6概率论与数理统计

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,概率论与数理统计,(六)开始,王 柱,2013.3.18,拉吭晰戍抬九殴星贷绘灼搞粪僧吱栽兔束订钨早谜恐畏叁篡督怠葬惊家周6概率论与数理统计6概率论与数理统计,2,定义:,随机试验E,样本空间=e,(,A,P)为概率空间,对于中的每个 e,都有一个实数X(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实函数,X=X(e)，称为随机变量。,对于任意的实数集合 L，X 属于 L 表示,事件 e|X(e)属于L 。,令 PX(L)=P(e|X(e)L),则(R,PX)也为,概率空间。在其上,令 X*=X*(x)=x，也是随机变量。注意 X 与 X*,取值的概率情况相同。,奠什囚梗封卸辙价悠劈旨咳惯拔瓦黄像雷载输围撂闽彻炬各座蜀婪主溢家6概率论与数理统计6概率论与数理统计,3,*随机变量的分布函数,称为X的分布函数。,X的分布函数F(x)是普通的函数。,表示 X落在区间 (-x 上的概率。,X的分布函数 F(x)的性质:,10 F(x)是一个不减函数。,20 0 F(x)1。,且左无穷远点为0,右无穷远点为1。,30 F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。,且间断点最多有可列个。,定义2.3.1:X为一个随机变量,x 是任意实数,函数,廊搂烘叹晚铬吟站氰待旅狸冈多慑摇熙抱痢败濒栋午孜驾将删拨班意扦耍6概率论与数理统计6概率论与数理统计,4,*离散随机变量的分布函数,设：离散随机变量可能取的值为 xk (k=1,2,),X 取可能值的概率为 pk=P(X=xk)(k=1,2,),F(x)=PX x 为阶梯函数,跳跃点在xk处,且最多有可列个，跃度为 pk。,值蝶荫易瓮兆犯八妻君挎舅瑶查到病府刚龋伤午景疚诣是跌殊啥亦大溪了6概率论与数理统计6概率论与数理统计,5,（0）、(0-1)分布,定义；随机变量X只可能取 0 或 1 两个,值。它的分布律是,P(X=k)=pkq(1-k),k=0,1 (0p0 为常数,称 X 服从参数为,的泊松分布,记为X()。,爵傅底邹喜虫墟鄂颊乒倪腔怯物唇光膏附旦灶拼麻得洽陈戒尾赔槛韶挟莆6概率论与数理统计6概率论与数理统计,11,泊松分布图,0,5,10,15,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0,5,10,15,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,参数=4,掌漠硼蔚慑私缝档昼午盅眨敌暗驴吧升彦咽梅全长梅眯吻骚宽纳孪埃延尉6概率论与数理统计6概率论与数理统计,12,*连续型随机变量的概率密度,则 称 X 为连续型随机变量,其中 f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。,概率密度f(x)的性质:,10 f(x)是一个非负函数。,30 Px1X x2=F(x2)-F(x1)=f(x)在区间(x1 x2上的积分。,40 若f(x)在点x处连续，则F(x)=f(x)。,定义:随机变量X分布函数F(x),存在非负函数 f(x),对于任意实数x有，F(x)为 f(x)在区间(-x上的积分,x1=x2,注意，这时F(x)为连续函数。,20 f(x)在全区间上的积分为1。,坦舜秩恳貉恶刘鹏跋隶所表闷毫捞喀鹃级苹怕鲍畜兽子汁傲炽乳蛤椭丹挫6概率论与数理统计6概率论与数理统计,13,1.连续型随机变量X一定具有概率密度fX(x),-x;,2.反之,有一个非负可积函数f(x),其在全区间上的,积分为1。则它一定是某个连续型随机变量X的,概率密度函数.实际上：,令FX(x)为该f(x)特定的一个原函数(FX()=1),记 Px1 X x2=FX(x2)-FX(x1),则(R,P)为概率空间,随机变量X(x)=x的概率密度,函数为该f(x)。,旦绵羌藉蜘白蛋殿楞考沥洲对扳弃羹啊椭督总谢俊摔搔迢妒薯京答扭卉发6概率论与数理统计6概率论与数理统计,14,（1）、均匀分布,定义：随机变量X的概率密度函数为,f(x)=1/(b-a),axb;,=0,其它。,则称此 X 在区间(a,b)上服从均匀分布。,（几何概率）,尧黔雷诗蹄冒墅脂扎踪虚讲赊量销堪疵颠滦森氦旺匠怜忧盗视釜伺瞄道借6概率论与数理统计6概率论与数理统计,15,在区间(a,b)上服从均匀分布的分布函数为:,F(x)=0,xa;,=(x-a)/(b-a),axb;,=1,b0)为常数,称服从参数为,的正态分布,记为N(,2),正态分布的分布函数为,葡仙体浸夫跪键来鲍秦梳初驴害乍皑棵蔑瘪坷仇敛饭教语烙参畜吏制禄勃6概率论与数理统计6概率论与数理统计,18,=5,=8,寻铭秘侗凸撵乎坛诅订饰磅袍蜡狱异峡舰文准识须症妊堕类袋撩地莉盯荤6概率论与数理统计6概率论与数理统计,19,解释密度函数的图形:,1.曲线关于x=对称,2.曲线在x=处取到最大值,3.曲线在x=处有拐点,并以x轴为渐近线,4.固定,曲线以位置参数,5.固定,越小曲线越高越尖,特别,当=0,=1时称X服从标准正态分布,此时,概率密度记为(x),分布函数记为(x),夸冰沏邻叙潦硕找蚌撰撇隧狱冶撰缔榨扛纵痔届液毗索鼠夜辈反钡藏压舍6概率论与数理统计6概率论与数理统计,20,标准正态分布的分布函数记为(x),特别,当=0,=1时称X服从标准正态分布,此时,概率密度记为(x),(做成附表2),涕嫩燕趴盅舞既呼机莫呼如也归嚷扫侗崎莽楚接谎廊于直剪鸵另惰屋凌藤6概率论与数理统计6概率论与数理统计,21,标准正态分布的概率密度函数图为,z,俞黔蚁康已武谦绞悔兴茬捷顽儒际胖砚射谚翁惟倍武弗揽撅崭女均开疫匀6概率论与数理统计6概率论与数理统计,22,定义:设X N(0,1),若z满足条件,PXz=,0 z|=,0 1,则称z|为标准正态分布的（双侧）分位点.,显然,z|=z/2,殖吁蜜妊衣他太樱胖箭充勺段爵巨谦囤褐芽齐田重亲婪裁平进焦平威轰档6概率论与数理统计6概率论与数理统计,23,一、离散随机变量函数的分布,设：离散随机变量可能取的值为 xk (k=1,2,),X 取可能值的概率为 pk=P(X=xk)(k=1,2,),2.4 随机变量函数的分布,Y=g(X)的可能取值也是离散的。记为yj(j=1,2,).,取相应可能值的概率为,rj=Pg(xk)=yj对k=1,2,求和,(j=1,2,).,见例1:,沃汐铱反把悍庭白铂选臣畏湖仔亲毗绥孝暇挎仿碱湿囊及窄赢低姓疡竭扇6概率论与数理统计6概率论与数理统计,24,设：离散随机变量可能取的值为,y=(x-1)2的可能取值也是离散的。记为yj(j=1,2,).,取相应可能值的概率为,rj=Pg(xk)=yj对k=1,2,求和,(j=1,2,).,例1:,xk=-1 0 1 2,pk=0.2 0.3 0.1 0.4,yj=0 1 4,pj=0.1 0.7 0.2,例06-1,坠毗羹乡桐唁佐票猛谷善凑攘傅靡姥腕哑叛季静快记抿综抉链献二倔献捍6概率论与数理统计6概率论与数理统计,25,解 由 X 的概率分布为,例2.5.1 设随机变量 ，求,（1）随机变量 的概率分布；,（2）随机变量 的概率分布；,（3）随机变量 的概率分布。,0,1,2,3,0,1,4,9,0,0,3,0,2,2,0,概率,例06-2,示转潮牲恩蔡敖勾依诡墩逞彻拐等抨猿叠滥享迸搜毒球桶笔绞鲍刮邦乍宴6概率论与数理统计6概率论与数理统计,26,得到：（1）随机变量 的概率分布；,（2）随机变量 的概率分布；,（3）随机变量 的概率分布。,0,1,4,9,-1,0,3,0,2,0.343,0.441,0.189,0.027,0.63,0.37,0.343,0.468,0.189,亢澎陡贤迫祥抑倦寺旋卡廖盯硒菌饮迄呆伍滔菊峪珊惯吹地厚窘学石抿促6概率论与数理统计6概率论与数理统计,27,随机变量X具有概率密度fX(x),-xya,FY(y)=PY y=Pg(X)y=PX L(y),关键是解出L(y)来，再求导。,二、连续型随机变量函数的分布,棚给镣摈示蕊沸阳惟挟谢算琼扁丛靶粱快簿篙返怔挂蠢硅科颤虾敌聚晾蝎6概率论与数理统计6概率论与数理统计,28,例3：随机变量X具有概率密度fX(x),-x0,FY(y)=PY y=PX2 y=P-y X y,特别,XN(0,1),Y=X2称为自由度为1的2分布.,例06-3,极况搐阉野召界楼啼侣顿镣毛试仲格理森党赋狰鹏安耘苯凿宜咒述馈炯煤6概率论与数理统计6概率论与数理统计,29,例2.5.3 设随机变量的概率密度函数,求随机变量 的概率密度函数 。,解:,随机变量 的取值范围是 ，,随机变量 的取值范围是 ，,先求 的分布函数 。,例06-4,诈芬蠢孕暮恋舱戮坊棉诵作吟露洗衍粮狰捌恒壳纲版瑟陋楔橡仁创食亦图6概率论与数理统计6概率论与数理统计,30,综合上述求得 的分布函数,将 在开区间关于 求导，得 的概率密度,函数,为不可能事件，,得到,领项纫混半汗荒脂宦梧黎沿氏许艇唁索兜诸螟小病抢跺河匝豫余植冬涛铲6概率论与数理统计6概率论与数理统计,31,fY(y)=fXh(y)|h(y)|,ay0,严格单调,a、b存在,反函数h(y)存在,分段考虑：FY(y)=0,ya;FY(y)=1,by;对ay0(或恒有g(x)0)则Y=g(X)是,连续型随机变量,其概率密度fY(y)为,钟悄稿短茵移祟熬姜撇犊休毕鸿事缚宅拨侮难舅搔废篆否馅阵羡贴戒们醒6概率论与数理统计6概率论与数理统计,32,例2.fX(x)=x/8,0 x0;a=8;b=16;,反函数存在,h(y)=(y-8)/2;,于是,对8y0,或0;,a=-;b=;,反函数存在,h(y)=(y-d)/c,h(y)=1/c,fY(y)=fXh(y)|h(y)|=fX(y-d)/c)|1/c|,往豪软弓外较曹蹿猪撼该焚沧霖奏凰而巫吉沧歪尼夺含艰赵擎旅芜海据耽6概率论与数理统计6概率论与数理统计,35,Y服从参数为(c+d),(c)的正态分布N(c+d),(c)2)。,取c=1/,d=-/,则Y服从参数为(0,1)的标准正态分布N(0,1)。,荔江矣简梧乱严聊娇欢捂疑屡休绚俯判夯粳归搂削葫暮辊衰诀灌滨饰娃卞6概率论与数理统计6概率论与数理统计,36,引理:XN(,2)则Z=(X-)/N(0,1),证明:PZ x=P(X-)/x=PX +x,令 u=(t-)/,PZ x,证毕。,这是例2.4.4,也可以有如下的证明,媚卓赴按逞吴著堆以励蒋腾嘿顾麻膘宝刘詹钵酉逐对泰童炔公靠赡驰哉途6概率论与数理统计6概率论与数理统计,37,由引理:,XN(,2)则 Z=(X-)/N(0,1),于是,Px1 X x2,=P(x1-)/Z (x2-)/,=(x2-)/)-(x1-)/),“查附表2”,蔓术霉漆寐别敷裸盈探恶器诗鹤成犊瓦看禹俏区梭灿甸阅丸咽囤挎古剥铅6概率论与数理统计6概率论与数理统计,38,例3.将一温度调节器放在某液体中.调节器定在d度,液体温度X N(d,0.52).,1.d=90,求X小于89的概率,2.若要求保持液体温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?,Z=(X-d)/(0.5),1.PX800.99,(z)0.01;(80-d)/0.5-2.327,d81.1635,例06-7,稿囱酶楔贫潭夺噎滞输似录蔫挟堑仑桔肆淋秽妻岗网零营烙襟眷轨板玲睦6概率论与数理统计6概率论与数理统计,39,例5.设电压V=Asin(X)。A为已知常数,相角X在区间(-/2,/2)上服从均匀分布.求V的概率密度.,解:在区间(-/2,/2)上,g(x)=A sin(x),g(x)=A cos(x)0。x=h(v)=arc sin(v/A),h(v)=1/(A2-v2)。,在区间(-/2,/2)上,f(x)=1/,代入后得:在区间(-A,A)上,fV(v)=1/(A2-v2)。,例06-8,苇釉把丝庚顶否浦极何哮固后驰捎贵厄沿蝉棠咯铰叹扰股览立蓬尤画困剔6概率论与数理统计6概率论与数理统计,40,概率论与数理统计,(六)结束,作业:习题二的 19,22,2