高中数学教案 条件概率

,*,2.2.1,条件概率,我们知道求事件的概率有加法公式：,注,:,1.,事件,A,与,B,至少有一个发生的事件叫做,A,与,B,的,和事件,记为,(,或,);,复习引入：,若事件,A,与,B,互斥，则,.,那么怎么求,A,与,B,的积事件,AB,呢,?,2.,事件,A,与,B,都发生的事件叫做,A,与,B,的,积事件,记为,(,或,);,3.,若 为不可能事件,则说,事件,A,与,B,互斥,.,P,(A,B,)=?,P,(,A,)=?,例,如,，,掷一颗均匀骰子，,A,=,掷出2点，,B,=,掷出偶数点，,P,(,A,|,B),=？,掷骰子,已知事件,B,发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是,B,，,于是,P,(,A,|,B,)= 1/3.,B,中共有,3,个元素，它们的出现是等可能的，其中只有,1,个在集,A,中，,容易看到,P,(,A,|,B,),探究问题,P,(,B,)=?,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息,(,条件,),下求事件的概率,.,如在事件,B,发生的条件下求事件,A,发生的概率，将此概率记作,P,(,A,|,B,).,A,B,事件是有联系的,P,(,A,)=3/10,，,又如，,10,件产品中有,7,件正品，,3,件次品，,7,件正品中有,3,件一等品，,4,件二等品,.,现从这,10,件中任取一件，问在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？,B,=,取到正品,记,A,=,取到一等品，,P,(,A,|,B)=,？,P,(,A,|,B,),P,(,A B,)=3/10,，,P,(,A,)=3/10,，,B,=,取到正品,P,(,A,|,B),=3/7,本例中，计算,P,(,A,),时，依据的前提条件是,10,件产品中一等品的比例,.,A,=,取到一等品，,计算,P,(,A,|,B),时，这个前提条件未变，只是加上,“,事件,B,已发生,”,这个新的条件,.,这好象给了我们一个“,情报,”，使我们得以在新增的条件下导致的某个缩小了的范围内来考虑问题,.,【,问题,】,一般 情况下，,P(,|,) P(,),，那么,P(,|,),？,二、条件概率的定义（计算公式）,定义,设,A,、,B,是两个事件，,且,则称,(1),为在事件,A,发生的条件下，,事件,B,的,条件概率,.,若在事件,A,已发生的条件下，,基本事件空间由,缩小为事件,A,，,为使,B,也,发生,试验结果必须是既在,A,中又在,B,中的基本事件,即此点必属于,AB,.,深化理解,1,、准确把握公式的形式。,在,A,发生的条件下事件,B,的概率,在,B,发生的条件下事件,A,的概率,2,、计算条件概率的两种思维。,(1),用上面的公式计算,;,(2),根据加入条件后改变了的情况来计算,.,2),从加入条件后改变了的情况去算,1),用定义计算,:,掷骰子,例：,A,=,掷出2点，,B,=,掷出偶数点,P,(,A,|,B,）=,B,发生后的,缩减样本空间,所含样本点总数,在缩减样本空间,中,A,所含样本点,个数,例,1,掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出,6,点,问“掷出点数之和不小于,10”,的概率是多少,?,解法,1:,解法,2:,解,:,设,A,=,掷出点数之和不小于,10,B,=,第一颗掷出,6,点,应用定义,在,B,发生后的,缩减样本空间,中计算,例,2:,甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为,20%,和,18%,，两地同时下雨的比例为,12%,，求：,（,1,）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；,（,2,）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率,.,解,设,A,=,甲市是雨天,，,B,=,乙市是雨天,，,P,(,A,)=0.2，,P,(,B,)=0.18，,P,(,A,B,)=0.12，,则,【,例题讲解,】,例,3,某种动物出生之后活到,20,岁的概率为,0.7,，活到,25,岁的概率为,0.56,，求现年为,20,岁的这种动物活到,25,岁的概率。,解 设,A,表示“活到,20,岁”,(,即,20),，,B,表示“活到,25,岁”,(,即,25),则,所求概率为,0.56,0.7,5,例,4,在,6,道题中有,4,道理科题和,2,道文科题，如果不放回,的依次抽取,2,道题,（,1,）第一次抽到理科题的概率,（,2,）第一次与第二次都抽到理科题的概率,（,3,）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科,题的概率,.,三、,两个事件,同时发生概率计算公式,例,5,条件概率,P,(,A,|,B,),与,P,(,A,),的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设,A,是随机试验的一个事件，则,P,(,A,),是在该试验条件下事件,A,发生的可能性大小,.,P,(,A,),与,P,(,A,|,B,),的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同,.,而条件概率,P,(,A,|,B,),是在原条件下又添加“,B,发生”这个条件时,A,发生的可能性大小，即,P,(,A,|,B,),仍是概率,.,一场精彩的足球赛将要举行，,5,个球迷好不容易才搞到一张入场券,.,大家都想去,只好用抽签的方法来解决,.,入场,券,5,张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写,.,将它们放在一起，洗匀，让,5,个人依次抽取,.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大,. ”,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大,?,“大家不必争先恐后，你们一个一个,按次序来，谁抽到入场券的机会都,一样大,.”,我们用,A,i,表示“第,i,个人抽到入场券”,i,1,2,3,4,5.,显然，,P,(,A,1,)=1/5,，,P,( ),4/5,第,1,个人抽到入场券的概率是,1/5.,也就是说，,则 表示“第,i,个人未抽到入场券”,因为若第,2,个人抽到,了入场券，第,1,个人,肯定没抽到,.,也就是要想第,2,个人抽到入场券，必须第,1,个人未抽到，,由于,由乘法公式,计算得：,P,(,A,2,)= (4/5)(1/4)= 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答,.,同理，第,3,个人要抽到“,入场券,”，必须第,1,、第,2,个人都没有抽到,.,因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“,入场券,” 的概率都是,1/5.,抽签不必争先恐后,.,也就是说，,我们说，在事件,B,发生的条件下事件,A,的条件概率一般地不等于,A,的无条件概率,.,但是，会不会出现,P,(,A,)=,P,(,A,|,B,),的情形呢？这个问题留待下一节讨论,.,这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握,.,