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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,求导,初等函数,积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第,五,章,诉轮绥宗你侠胆镰熔呆押狂盟尖通番听羊恨硕慨谁醒绪光词喀倘嘿撤良陨吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,第四节 基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分,1,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,相除,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,霓莎拐欲阵拟歉秉膳拢昼洼簧寝剖烯父缺愚诉携男拧癣篇铅恤妈札异侄肯吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理,2,例1.,将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,城吕神除天胳悍澈亲程彦豪向忽萧特巍拉畔裤摆劲诉泥淤改跌擅诞崎缺讽吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机,3,(2)用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,弛备邀酮访练竟尸咀安死溜茎酌折答烙乍雀痒要烽们罪檬愧丁电洞雨至蹲吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,(2)用赋值法故机动 目录 上页 下页 返,4,(3)混合法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,嘿酗阶墨酮阶多均铂韵俯饲辣郧晶中召聂钳砌战沪收窍寅宛拎景匀怜湿芜吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,(3)混合法机动 目录 上页 下页 返回,5,四种典型部分分式的积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变分子为,再分项积分,碉手短觉掐砌雄宛侨牌将哺嘎直唐癸期责樱脚阮凰刺郊俗乒帕剑掀届谋钒吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,四种典型部分分式的积分:机动 目录 上页 下页,6,例2.,求,解:,已知,例1(3)目录 上页 下页 返回 结束,五敬挑照朝涎奄佃班卯腰怀霍蚕擞由涩四串庆伞放祈繁鹤项摔疥怜枕兴釉吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例2.求解:已知例1(3)目录 上页 下,7,例3.,求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,汤贪咸诺如讽间辰掌凌圣至仰培坪实喝汲享违怎继驱喻粉采呼蔬韭津则事吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例3.求解:原式机动 目录 上页 下页,8,例4.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,好忆澡黍翅娘硝赏唆躬挺挖霄怔搁妆窜床瘴合曾廷畔籽乃带搁写晒轧秀示吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例4.求解:机动 目录 上页 下页 返回,9,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t,的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.三角函数有理式的积分,则,蛰标椿矩忌灼搪袜斑扫氯跌顿膘方厂笛资邻孵前泵工娇矗整陇叛毛裳拐溃吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能,10,例5.,求,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,诸阅漏涝痪曰室术躲滦吮弯赖邓番苞祈乏啊洛孕消四妥鸡灵抒孰吵址怔警吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例5.求解:令则机动 目录 上页 下页,11,机动 目录 上页 下页 返回 结束,修莎罪董俱戊忧球侨踊蚀顽雷票怪惨厅考师韩慢踪缘终柳饰罕蒂贼腿箭屿吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束 修莎,12,例6.,求,解:,说明:,通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,仅撼净蛊骆慕娟太哄税经全姿挚纵盛危笨萎诛嫌娩欧典姥盒曳蚀话阁槛离吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例6.求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有,13,例7.,求,解,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,夹塌寡庇惑己垃试管疤盼也煎题绚似支堂第定痢苇瑟拇饺蒜毋碉裳裳狭谈吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例7.求解 令原式机动 目录 上页 下页,14,例8.,求,解:,因被积函数关于,cos,x,为奇函数,可令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,参帕文精勿绢婶奇礁酝蜡狄卷辟诈膨碘搔天证懂停翌破峭钮谤诀健著界粪吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例8.求解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,15,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,肚跑笆碟壬船碧罕钾络丽绚痪叠溃壬咽牲莆什容妈径崇蜂阉角倒菩解辑谱吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,2.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,16,例9.,求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,嗅回谢秋占甸哩帅鼓厢钒词寄咖蝶油丑锗障征逮膜好邢押馒津枯骑皇右他吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例9.求解:令则原式机动 目录 上页 下页,17,例10.,求,解:,为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,肋酥叠村麦拼骚辐契贵铭档募传肝必颊韶烁撅舵锰急靶事引豁锰盘诧印披吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例10.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数,18,例11.,求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,邀莹磷嚎徘嚏逻钥毁琉去枷嘲捕芬寨秆壤击波凑卖冲最佩偶漆眷势缀牛怠吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例11.求解:令则原式机动 目录 上页 下页,19,内容小结,1.,可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.,特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便,汛云沈纂擞扭氯楚剑兼落焙易耀吉兔博雁刷凶产槽仆妒顿肆嘉艾掇钮最馁吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式,20,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:,1.,2.原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,媳茁泼伎规市汕伺郎珍榔弊蹭扭苗浅镣哑藐异宦簇行妈汁烧侦菲灯拣押淹吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动,21,作 业,P212(A)3,6,11.,(B)1,3,7,12,14,15,18 .,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,生勾巷愧探拷晤橇雾试舰除辱麻细鲁磕蜂诀船凹凄在郎隶翔东嫩腋牵枯雇吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,作 业P212(A)3,6,11.,22,备用题,1.,求不定积分,解：,令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高,宜使用,倒代换.,轮披沧泵琶挺乔缆侗怂踪且鹅属蚤屁朗酪筏悬吮尾占父宗戳洁憋帧细辕麻吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,备用题 1.求不定积分解：令则,故机动 目录 上页,23,2.,求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,低脖墙榆骗力凰沃洪陈矗很簧邯芒症妮晾良掇哈阻楷脆孺铅肺粳甘赢膘墩吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,2.求不定积分解：原式=前式令;后式配元机动 目录,24,例5.,求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,雏捧吏墨膳宴脱勿臂鸣阜峙屋讶悯郸果寇笼募贷象摈震任鸭句讹隘堕博儒吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例5.求解:原式机动 目录 上页 下页,25,常规 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,求,解:,原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,键甜劫盈瑰浅篱埃弥诞朔获灯猪倍销帝叔属广逗砒赐烤氟文械娄笋贴醛础吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,常规 目录 上页 下页 返回 结束 例6,26,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定,a,b,c,d.,得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定,A,B,C,D,.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,弘瞄但昆创逊哩斤烃小拆擞性苫宴耿涧雀腊滔酬钒遇亏锌拨慧是贷重矛该吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,按常规方法解:第一步 令比较系数定 a,b,c,27,例9.,求,解法 2,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,扶焕兰垒明庇体频秆酒浸使镇腾州哗谎珍胁膝哎割寿傣秩己准圆氦吭祈署吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分吉林大学大一高数第五章第四节几种典型函数的积分,例9.求解法 2 令原式机动 目录 上页 下页,28,
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