第二章 单自由度系统的振动part4

Dr.Hongmei Xu College of Engineering,Huazhong Agriculture University Page,*,华中农业大学,Huazhong Agriculture University,机械振动基础,Foundation of Mechanical Vibration,2.3 单自由度振系的强迫振动,2.3.1 概述,2.3.2 简谐鼓励作用下的强迫振动,2.3.3 振动隔离,2.3.4 测振传感器的根本原理,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,2.3.3 振动隔离,拉普拉斯变换,2.3.3 振动隔离,拉普拉斯变换,2.3.3 振动隔离,2.3.3 振动隔离,例题：如图示的往复机械，有一周期激振力由电机转速引起，机械加支架总质量m为250kg，弹簧刚度k为5kN/m，阻尼比 为0.2。,求：1什么转速范围，传到根底的力大于激振力？,2什么转速范围，传到根底的力小于激振力的20%？,2.3.3 振动隔离,解：1当 ，传递率a1，即传到根底的力大于激振力,2传到根底的力小于激振力的20%，即隔振系数小于20%,解得,2.3.3 振动隔离,发动机悬置Powertrain Mount初步设计,1刚度选择,时才有隔振效果，即,2.3.3 振动隔离,2阻尼比选择,阻尼比较小，隔振效果较好。但可能导致共振区附近振幅过大。,3共振区选择,发动机转速区段：起动、怠速、加速过渡、常用工作转速区。一般希望共振区发生在起动阶段，也就是悬置系统具有较低的固有频率。,2.3.4 测振传感器的根本原理,x代表质量m的绝对位移，xb代表被测物体的绝对位移支座位移，那么质量m的运动微分方程为：,测振传感器所记录的是两者的相对位移,设待测物体的位移,2.3.4 测振传感器的根本原理,1.位移传感器 低固有频率,所记录的相对运动振幅近似等,于待测物体振幅。,2.加速度传感器 高固有频率,压电式传感器正是利用了这个特性。传感器的固有频率,0,越大，测量精度就越高。压电陶瓷晶体的固有频率可高达数千赫兹。,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,满足以下条件，可展开为傅立叶级数(Fourier series)：,(1)函数在同一周期内连续或只有有限个第一类间断点；,(2)在一个周期内只有有限个极大、极小值。,式中，基频,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,A,n,，,n,分别称为振幅频谱图和相位频谱图，上述方法用于振动分析称为,频谱分析,。,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,例题：,对图示的矩形波进行谐波分析。,解：,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,以T为周期的单位矩形波，其傅立叶级数表示为：,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,对以T为周期的单位矩形波的正弦谐波叠加逐次逼近：,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,线性系统的叠加原理,对于线性定常微分方程，假设：,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,假设f(t)为周期激振力,稳态振动的解可以按照叠加原理，可得：,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,例题：一个弹簧质量单自由度系统，受到力幅为一个单位力的矩形波周期函数的鼓励作用，求系统的稳态强迫振动响应。,解：,2.3.5 一般性周期鼓励作用下的强迫振动,于是,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,在工程实际中，对振动系统的鼓励作用往往既不是简谐的，也不是周期的，而是任意的时间函数，包括作用时间很短的冲击时间。在这种鼓励下，系统通常没有稳态振动而只有瞬态振动。在这种激振停止后，系统就将按照其固有频率进行自由振动，即所谓的剩余振动。系统在任意激振下的瞬态振动包括剩余振动在内统称为任意激振的响应。,对汽车系统来说，经常受到任意鼓励的作用。如：汽车离合器结合过程引起的传动系的扭振，汽车换档过程中的齿轮冲击，汽车遇到凸起或凹坑路面引起的颠簸，发动机气门和凸轮机构的振动，都是任意鼓励引起的振动。,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,1.杜哈美积分法,a.杜哈美积分法又称为卷积积分法或叠加积分法。,b.根本思想：把任意激振分解为一系列微冲量的连续作用，分别求系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，把它们叠加起来，即得系统对任意激振的响应。,c.杜哈美积分法很容易利用计算机来计算，适用于解决复杂问题及数值问题。,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,单位脉冲可以用,函数表示，定义为：,单自由度系统在单位脉冲作用下的运动微分方程为：,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,系统的初始条件为 ，两边从0,-,到0,+,进行积分得：,考虑到在趋于零的时间间隔内，系统的位移x来不及变化，即,x,(0,+,)=0，故上式左边各项的积分为：,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,小阻尼，初始条件 情况下单位脉冲所引起的响应为：,t,=,时作用在系统上,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,1.杜哈美积分,全响应,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,例题：,用杜哈美积分计算无阻尼单自由度系统在矩形脉冲作用,下的响应。,解：激振函数如下图，表达式为：,(1)0 t T,(2)t T,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,2.傅式积分法,知识回忆：,傅氏变换,傅氏反变换,非周期函数,x,(,t,)可以用傅氏积分式表示为：,式中，,是响应,x,(,t,)的傅氏变换对。,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,非周期函数可以看成是由无数个复振幅为 的谐波分量所组成，求出对应每个谐波分量的响应后，再根据线性系统的叠加原理，就可求得系统的总响应。,线性单自由度系统的频响函数为：,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,单位脉冲函数的傅氏变换,求得输出函数的傅氏变换,脉冲响应函数为,傅式变换对,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,例题：用傅式积分法计算图示无阻尼单自由度系统在阶跃鼓励作用下的响应。,解：,激振函数的傅式变换为：,由于无阻尼，频响函数为,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,对此式进行,傅式反变换：,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,3.拉氏变换法,定义,方程,两边作,拉氏变换并有,定义机械阻抗,定义机械导纳,响应,2.3.6 任意鼓励作用下的响应,例题：应用拉氏变换计算图示无阻尼单自由度系统在阶跃鼓励,作用下的响应。,解：,激振函数的拉式变换为：,由于无阻尼，频响函数为,对此式进行拉氏反变换，得系统响应为：,本 章 结 束,