第九讲 巧妙求和(二)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第9讲 巧妙求和(二),一、知识要点,某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。,在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。,二、精讲精练,【,例题,1】,刘俊读一本长篇小说，他第一天读,30,页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多,3,页，第,11,天读了,60,页，正好读完。这本书共有多少页？,【,思路导航,】,根据条件“他每天读的页数都比前一天多,3,页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即,30,、,33,、,36,、,57,、,60,。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项,=30,，末项,=60,，项数,=11.,因此可以很快得解：,（,30,60,）,112=495,（页）,想一想：如果把“第,11,天”改为“最后一天”该怎样解答？,练习,1,：,1.,刘师傅做一批零件，第一天做了,30,个，以的每天都比前一天多做,2,个，第,15,天做了,48,个，正好做完。这批零件共有多少个？,2.,胡茜读一本故事书，她第一天读了,20,页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多,5,页。最后一天读了,50,页恰好读完，这本书共有多少页？,3.,丽丽学英语单词，第一天学会了,6,个，以后每天都比前一天多学,1,个，最后一天学会了,16,个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？,【,例题,2】,30,把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？,【,思路导航,】,开第一把锁时，如果不凑巧，试了,29,把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试,29,次；同理，开第二把锁至多需试,28,次，开第三把锁至多需试,27,次,等打开第,29,把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试,29,28,27,2,1=,（,29,1,）,292=435,（次）。,练习,2,：,1.,有,80,把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？,2.,有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试,28,次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？,3.,有,10,只盒子，,44,只羽毛球。能不能把,44,只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？,【,例题,3】,某班有,51,个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？,【,思路导航,】,假设,51,个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了,50,次，第二个依次和剩下的人握手，共握了,49,次，第三个人握了,48,次。依次类推，第,50,个人和剩下的一人握了,1,次手，这样，他们握手的次数和为：,50,49,48,2,1=,（,50,1,）,502=1275,（次）,.,练习,3,：,1.,学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有,21,人参加比赛，一共要进行多少场比赛？,2.,在一次同学聚会中，一共到,43,位同学和,4,位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？,3.,假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了,78,次电话，问有多少位同学相约互通电话？,【,例题,4】,求,1,99,这,99,个连续自然数的所有数字之和。,【,思路导航,】,首先应该弄清楚这题是求,99,个连续自然数的数字之和，而不是求这,99,个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把,0,算进来（它不影响我们计算数字之和）计算,0,99,这,100,个数的数字之和。这,100,个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是,9+9=18,，一共有,1002=50,对，所以，,1,99,这,99,个连续自然数的所有数字之和是,1850=900,。,练习,4,：,1.,求,1,199,这,199,个连续自然数的所有数字之和。,2.,求,1,999,这,999,个连续自然数的所有数字之和。,3.,求,1,3000,这,3000,个连续自然数的所有数字之和,【,例题,5】,求,1,209,这,209,个连续自然数的全部数字之和。,【,思路导航,】,不妨先求,0,199,的所有数字之和，再求,200,209,的所有数字之和，然后把它们合起来。,0,199,的所有数字之和为（,1+92,）,（,2002,）,=1900,，,200,209,的所有数字之和为,210+1+2+9=65,。所以，,1,209,这,209,个连续自然数的全部数字之和为,1900+65=1965,。,练习,5,：,1.,求,1,308,连续自然数的全部数字之和。,2.,求,1,2009,连续自然数的全部数字之和。,3.,求连续自然数,2000,5000,的全部数字之和。,