资源描述
单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,9.4,正交变换,2,标准正交基,3,同构,4,正交变换,1 定义与根本性质,6,对称矩阵的标准形,8,酉空间介绍,7,向量到子空间的,距离最小二乘法,小结与习题,第九章 欧氏空间,5,子空间,一、,一般欧氏空间中的正交变换,9.4,正交变换,二、,n,维欧氏空间中的正交变换,一、,一般欧氏空间中的正交变换,1,.,定义,即，,欧氏空间,V,的线性变换 如果保持向量的内积不变，,则称 为,正交变换,.,注：,欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度,不变的正交变换的推广,.,2,.,欧氏空间中的正交变换的刻划,下述命题是等价的：,（,定理,4,）设是欧氏空间,V,的一个线性变换,.,3,）保持向量间的距离不变，即,2,）保持向量长度不变，即,1,）是正交变换；,证明：首先证明,1),与,2),等价,即，,两边开方得，,若是正交变换，则,有，,(1),(2),若保持向量长度不变，则对,把,(3),展开得，,再由,(1)(2),即得，,(3),是正交变换,再证明,2),与,3),等价,根据）,故 3成立.,若,则有，,即，,故 2成立.,二、,维欧氏空间中的正交变换,1,.,维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基,不变的线性变换,是,V,的标准正交基，则 也是,V,的标准正交基,.,1),.,若 是 维欧氏空间,V,的正交变换，,事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质,即有，,2),.,若线性变换 使,V,的标准正交基 变成,变换,标准正交基 ，则 为,V,的正交,证明：任取 设,由 为标准正交基，有,故 是正交变换,又,由于为标准正交基，得,2,.,维欧氏空间,V,中的线性变换是正交变换,在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵,设 为,V,的标准正交基，且,证明：,的标准正交基，,当 是正交变换时，由,1,知，也是,V,而由标准正交基 到标准,正交基 的过渡矩阵是正交矩阵,.,设 为,V,的标准正交基，且,再由,1,即得为正交变换,由于当,A,是正交矩阵时，也是,V,的,即，,标准正交基，,所以，,A,是正交矩阵,1正交变换的逆变换是正交变换；,2正交变换的乘积还是正交变换,3,.,欧氏空间,V,的正交变换是,V,到自身的同构映射,因而有，,由同构的对称性可得之,由同构的传递性可得之,4.,维欧氏空间中正交变换的分类：,设维欧氏空间,V,中的线性变换在标准正交基,1,）如果 则称为,第一类的,（,旋转,）,;,2,）如果 则称为,第二类的,下的矩阵是正交矩阵,A,，则,例,、在欧氏空间中任取一组标准正交基,定义线性变换为：,则为第二类的正交变换，也称之为,镜面反射,
展开阅读全文