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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,9.5,子空间,2 标准正交基,3 同构,4 正交变换,1 定义与根本性质,6 对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7 向量到子空间的,距离最小二乘法,小结与习题,第九章 欧氏空间,5 子空间,一、正交子空间,9.5 子空间,二、子空间的正交补,一、,欧氏空间中的正交子空间,1定义：,1)与 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对,则称子空间 与 为,正交的,，记作,则称向量与子空间 正交，记作,恒有,2)对给定向量 如果对 恒有,注：,当且仅当 中每个向量都与 正交,当 且 时，必有,证明：设子空间 两两正交，,2,两两正交的子空间的和必是直和,要证明,中零向量分解式唯一,只须证：,设,由内积的正定性，可知,二、,子空间的正交补,1定义：,如果欧氏空间V的子空间 满足并且,则称 为 的,正交补,.,2,维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补.,证明：当 时，V就是 的唯一正交补,当 时，也是有限维欧氏空间.,取 的一组正交基,由定理1，它可扩充成V的一组正交基,记子空间,显然,又对,即 为 的正交补.,再证唯一性.,设 是 的正交补，则,由此可得,对 由上式知,即有,又,从而有,即有,同理可证,唯一性得证.,维欧氏空间V的子空间W满足:,子空间W的正交补记为即,i),ii),iii),注：,)W的正交补 必是W的余子空间.,但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.,称 为在子空间W上的,内射影,.,3内射影,设W是欧氏空间V的子空间，由,对 有唯一的使,
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