资源描述
,考点清单,方法技巧,栏目索引,专题九平面解析几何,9.1,直线方程与圆的方程,高考理数,考点一直线方程,考点,清单,考向基础,1.直线的倾斜角与斜率,名称,定义,求法,范围,倾斜角,当直线,l,与,x,轴相交时,x,轴,正方向,与直线,l,向上方向,之间所成的角,叫做直线,l,的倾斜角.,当直线,l,与,x,轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0,解法一:构造三角形求角,;,解法二:利用斜率求角,即由,k,=tan,(,90,)求,0,0,则圆的半径为|,r,|,实数,r,可以取负值.,(2)方程,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0中,若,D,2,+,E,2,-4,F,=0,方程表示点,;若,D,2,+,E,2,-,名称,方程,圆心,半径,标准方程,(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,(,r,0),(,a,b,),r,一般方程,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,(,D,2,+,E,2,-4,F,0),-,-,4,F,0),则圆心(,a,b,)到直线,x,-,y,-3=0的距离,d,=,r,2,=,+,即2,r,2,=(,a,-,b,-3),2,+3.,由于所求圆与直线,x,-,y,=0相切,=,r,(,a,-,b,),2,=2,r,2,.,又圆心在直线,x,+,y,=0上,a,+,b,=0.,联立,解得,故圆,C,的方程为(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=2.,解法三:设所求圆的方程为,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,则圆心为,半径,r,=,圆心在直线,x,+,y,=0上,-,-,=0,即,D,+,E,=0,又圆,C,与直线,x,-,y,=0相切,=,即(,D,-,E,),2,=2(,D,2,+,E,2,-4,F,),D,2,+,E,2,+2,D,E,-8,F,=0.,又知圆心,到直线,x,-,y,-3=0的距离,d,=,由已知得,d,2,+,=,r,2,(,D,-,E,+6),2,+12=2(,D,2,+,E,2,-4,F,),联立,解得,故所求圆的方程为,x,2,+,y,2,-2,x,+2,y,=0,即(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=2.,答案,(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=2,方法1,对称问题的处理方法,常见对称问题的处理方法:,(1)中心对称,若点,M,(,x,1,y,1,)与,N,(,x,y,)关于,P,(,a,b,)对称,则由中点坐标公式得,若直线关于点对称,则在已知直线上取一点,求出对称点,再利用两直线,平行,斜率相等,由点斜式得到所求直线方程.,(2)轴对称,点关于直线的对称,若两点,P,1,(,x,1,y,1,)与,P,2,(,x,2,y,2,)关于直线,l,:,Ax,+,By,+,C,=0对称,则线段,P,1,P,2,的中点在,对称轴,l,上,而且过点,P,1,P,2,的直线垂直于对称轴,l,由方程组,方法技巧,可得到点,P,1,关于,l,对称的点,P,2,的坐标(,x,2,y,2,)(其中,A,0,x,1,x,2,).,直线关于直线的对称,此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已知,直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,例1,已知直线,l,:2,x,-3,y,+1=0,点,A,(-1,-2),求:,(1)点,A,关于直线,l,的对称点,A,的坐标;,(2)直线,m,:3,x,-2,y,-6=0关于直线,l,的对称直线,m,的方程;,(3)直线,l,关于点,A,(-1,-2)对称的直线,l,的方程.,解题导引,(1)设点,A,(,x,y,),利用垂直平分列关于,x,y,的方程组,解方程组得点,A,的坐标.,(2)在直线,m,上取一点,M,(2,0),求出点,M,关于直线,l,的对称点,M,的坐标,再求出,直线,m,与,l,的交点,N,的坐标,从而由两点式求出直线,m,的方程.,(3)利用相关点法求出直线,l,的方程.,解析,(1)设,A,(,x,y,),由已知得,解得,A,.,(2)在直线,m,上取一点,如,M,(2,0),则,M,(2,0)关于直线,l,的对称点必在,m,上.,设,M,的对称点为,M,(,a,b,),则,解得,则,M,.,易知,m,与,l,不平行,设,m,与,l,的交点为,N,则由,得,N,(4,3).,又,m,经过点,N,(4,3),由两点式得直线,m,的方程为9,x,-46,y,+102=0.,(3)设,P,(,x,y,)为,l,上任意一点,则,P,(,x,y,)关于点,A,(-1,-2)的对称点为,P,(-2-,x,-4-,y,),P,在直线,l,上,2(-2-,x,)-3(-4-,y,)+1=0,化简得2,x,-3,y,-9=0,直线,l,的方程为2,x,-3,y,-9=0.,例2,(2018豫北六校联考,15)已知点,P,在直线,l,:3,x,-,y,-1=0上,A,(4,1),B,(0,4),则,|,PA,|-|,PB,|最大时点,P,的坐标为,.,解题导引,解析,设点,B,(0,4)关于直线,l,的对称点为,B,(,x,0,y,0,),则有,解得,即,B,(3,3),直线,AB,的方程为2,x,+,y,-9=0,易知当点,P,与,B,、,A,共线时,|,PA,|-|,PB,|最大.,由,得,P,(2,5),即|,PA,|-|,PB,|取最大值时点,P,的坐标为(2,5).,答案,(2,5),方法2,解与圆有关的最值问题的方法,涉及与圆有关的最值问题,一般要借助图形性质,利用数形结合和函数思想,求解,一般地:,(1)最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题;,(2)圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到圆外的点(直,线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值;,(3),u,=,型的,转化为直线斜率的最值问题求解;,(4),t,=,ax,+,by,型的,转化为动直线截距的最值问题求解;,(5),m,=(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,型的,转化为两点间的距离平方的最值问题求解.,例3,已知实数,x,、,y,满足方程,x,2,+,y,2,-4,x,+1=0.,(1)求,的最大值和最小值;,(2)求,y,-,x,的最大值和最小值;,(3)求,x,2,+,y,2,的最大值和最小值.,解题导引,解析,(1)原方程化为(,x,-2),2,+,y,2,=3,表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆.,设,=,k,则,y,=,kx,当直线,y,=,kx,与圆相切时,斜率,k,取最值,此时有,=,解,得,k,=,故,的最大值为,最小值为-,.,(2)设,y,-,x,=,b,则,y,=,x,+,b,当直线,y,=,x,+,b,与圆相切时,纵截距,b,取得最值,此时,=,解得,b,=-2,.所以,y,-,x,的最大值为-2+,最小值为-2-,.,(3),x,2,+,y,2,表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在过原点与,圆心的直线和圆的两个交点处取得最值.,又圆心到原点的距离为2,所以,x,2,+,y,2,的最大值是(2+,),2,=7+4,最小值是(2,-,),2,=7-4,.,
展开阅读全文