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,广东省近年中考命题分析,考点梳理,速记速填,考点例析,疑难突破,广东,3,年中考真题,考点过关,当堂演练,第二十讲等腰三角形,广东省近年中考命题分析,考点梳理,速记速填,(,一,),等腰三角形,1.,定义,:_,的三角形叫做等腰三角形,.,有两边相等,2.,性质,:,(1),等腰三角形是轴对称图形,_,是它的对称轴,.,(2),等边对等角,:,两底角相等,.,已知底角,顶角,=_;,已知顶角,底角,=_.,(3),三线合一,:_.,顶角平分线、底边上的高、底边上的中线,180,-2,底角,(180,-,顶角,),等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,3.,判定,:,(1),依据定义,:,两边相等,.,(2),等角对等边,:_.,有两个内角相等的三角形是等腰三角形,(,二,),等边三角形,1.,定义,:_,相等的三角形叫做等腰三角形,.,2.,性质,:,(1),等边三角形是轴对称图形,有,_,条对称轴,.,(2),具有等腰三角形的所有性质,.,(3),三个角相等,都是,_.,三边相等,三,60,3.,判定,:,(1),依据定义,:,三边相等,.,(2),两个角是,_,的三角形是等边三角形,.,(3),有一个角是,_,的等腰三角形是等边三角形,.,60,60,考点例析,疑难突破,考点一,等腰三角形的性质,【例,1,】,(1),已知实数,x,y,满足,|x-5|+(y-8),2,=0,则以,x,y,的值为两边长的等腰,三角形的周长是,_.,(2)(2016,随州,),已知等腰三角形的一边长为,9,另一边长为方程,x,2,-8x+15=0,的根,则该等腰三角形的周长为,_.,【,思路点拨,】,题目中的等腰三角形没有明确腰、底分别是多少,所以要进行,讨论,且要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形,.,18,或,21,19,或,21,或,23,【,例,2,】,(2020,临沂,),如图,在,ABC,中,AB=AC,A=40,CDAB,则,BCD=(,),A.40,B.50,C.60,D.70,【,思路点拨,】,根据等腰三角形的性质可求,ACB,再根据平行线的性质可求,BCD.,D,【,例,3,】,如图,在,ABC,中,AB=AC,点,D,在,AC,上,且,BD=BC=AD,则,A=_.,【,思路点拨,】,设,A=x,利用等边对等角可得,ABD=A=x,利用三角形外角的性质可得,BDC=2x,根据等边对等角可得,C=BDC=2x,从而可得,ABC=C=2x.,根据三角形内角和,定理列出方程,求出,x,值即可,.,36,【,例,4,】,(2019,杭州,),如图,在,ABC,中,ACABBC.,(1),已知线段,AB,的垂直平分线与,BC,边交于点,P,连接,AP,求证,:APC=2B.,(2),以点,B,为圆心,线段,AB,的长为半径画弧,与,BC,边交于点,Q,连接,AQ.,若,AQC=3B,求,B,的度数,.,【,思路点拨,】,(1),根据线段垂直平分线的性质可知,PA=PB,根据等腰三角形的性质可得,B=BAP,根据三角形的外角性质即可证得,APC=2B;,(2),根据题意可知,BA=BQ,根据等腰三角形的性质可得,BAQ=BQA,再根据三角形的内角和公式即可解答,.,【,解析,】,(1),线段,AB,的垂直平分线与,BC,边交于点,P,PA=PB,B=BAP,APC=B+BAP,APC=2B.,(2),根据题意可知,BA=BQ,BAQ=BQA,AQC=3B,AQC=B+BAQ,BQA=2B,BAQ+BQA+B=180,5B=180,B=36,.,【,例,5,】,如图,在,ABC,中,ABC,和,ACB,的平分线交于点,E,过点,E,作,MNBC,交,AB,于,M,交,AC,于,N.,若,AMN,的周长为,18,BC=6,则,ABC,的周长为,(,),A.21B.22C.24D.26,C,【,方法小结,】,1.,当等腰三角形的腰和底、顶角、底角不明确时,需分类讨论,.,2.,等腰三角形的性质,“,等边对等角,”,是三角形中边与角关系转化的纽带,.,当利用方程思想求角度时,等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到关键作用,.,3.,等腰三角形常常与线段垂直平分线的性质定理结合运用,在证明线段或角相等时可以减少证明全等的次数,提高做题效率,.,考点二,等边三角形的性质和判定,【例,6,】,(2020,台州,),如图,等边三角形纸片,ABC,的边长为,6,E,F,是边,BC,上的三等分点,.,分别过点,E,F,沿着平行于,BA,CA,方向各剪一刀,则剪下的,DEF,的周长是,_.,【,思路点拨,】,根据三等分点的定义可求,EF,的长,再根据等边三角形的判定与性质即可求解,.,6,【,例,7,】,(2019,大连,),如图,ABC,是等边三角形,延长,BC,到点,D,使,CD=AC,连接,AD.,若,AB=2,则,AD,的长为,_.,【,思路点拨,】,根据等边三角形的性质得出,B=BAC=ACB=60,根据等边对,等角及三角形外角定理得出,CAD=D=30,进而根据三角形的内角和得出,BAD=90,根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值,由,AD=,即可算出答案,.,【,例,8,】,(2019,哈尔滨,),如图,在四边形,ABCD,中,AB=AD,BC=DC,A=60,点,E,为,AD,边上一点,连接,BD,CE,CE,与,BD,交于点,F,且,CEAB,若,AB=8,CE=6,则,BC,的长为,_.,【,思路点拨,】,连接,AC,交,BD,于点,G,利用垂直平分线的判定定理,可证,AC,垂直平分,BD,就可得到,BG,DG,的长,易证,ABD,是等边三角形,利用等边三角形的性质,可证得,BAG=GAD=30,ADB=60,AB=AD=BD,再利用平行线的性质去证明,EFD,是等边三角形,就可求出,DF,GF,的长,利用勾股定理求出,CG,的长,然后在,RtBCG,中,利用勾股定理求出,BC,的长,.,【,例,9,】,(2018,嘉兴、舟山中考,),已知,:,在,ABC,中,AB=AC,D,为,AC,的中点,DEAB,DFBC,垂足分别为点,E,F,且,DE=DF.,求证,:ABC,是等边三角形,.,【,思路点拨,】,(1),根据,OC=CD=DE,可得,O=ODC,DCE=DEC,根据三角形的外角性质可知,DCE=O+ODC=2ODC,根据三角形的外角性质即可求出,ODC,的度数,进而求出,CDE,的度数,.,(2),分两种情形分别求解,:,当,AQ=PQ,QPB=90,时,当,AQ=PQ,PQB=90,时,.,(3),由等腰三角形的性质得到,B=C.,再用,HL,证明,RtADERtCDF,得到,A=C,从而得到,A=B=C,即可得到结论,.,【,自主解答,】,AB=AC,B=C,DEAB,DFBC,DEA=DFC=90,D,为,AC,的中点,DA=DC,又,DE=DF,RtADERtCDF(HL,),A=C,A=B=C,ABC,是等边三角形,.,【,方法小结,】,1.,等边三角形是一种特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质,包括具有,“,三线合一,”,的性质,等边三角形也是轴对称图形,并且有,3,条对称轴,.,2.,等边三角形有一个特殊的角,60,所以当等边三角形出现高时,往往会结合直角三角形,30,角的性质,.,3.,等边三角形的判断方法的选择,:,(1),若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定,;,(2),若已知三角关系,则根据,“,三个角都相等的三角形是等边三角形,”,进行判定,;,(3),若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于,60,即可,.,广东,3,年中考真题,考点过关,当堂演练,
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