级数复习课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第十一章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念和性质,1.,常数项级数的定义：,为,(,常数项,),（无穷）级数,.,一般项,级数的（前,n,项）部分和数列：,级数的（前,n,项）部分和：,一、常数项级数的概念,2.,常数项级数的收敛与发散的定义,:,推论,二、收敛级数的基本性质,级数的收敛性不变,.,性质,1,级数的每一项同乘一个不为零的常数,性质,2,即,收敛级数可以逐项相加和逐项相减,.,性质,3,在级数中任意去掉、加上、改变有限项,级数的收敛性不变,.,性质,4,推论,1,如果加括号后所成的级数发散,则原级数发散,.,推论,2,如果两种加括号后所成的级数都收敛,但和不同,则原级数发散,.,四、级数收敛的必要条件,定理,1.,定义,:,这种级数称为,正项级数,.,2.,正项级数收敛的充要条件,:,基本定理,第二节 常数项级数的审敛法,一、正项级数及其审敛法,3.,比较审敛法,证明,例,4.,比较审敛法的极限形式,(,比较极限法）,:,解,故原级数发散.,例,故原级数,收敛,.,5.,比值审敛法,(,达朗贝尔,D,Alembert,判别法,),：,解,例,6.,根值审敛法,(,柯西判别法,),：,解,例,三、交错级数及其审敛法,:,定义,:,称正负相间或负正相间的级数为交错级数,.,莱布尼茨定理,解,由莱布尼茨定理知,例,原,级数收敛.,对于一般的级数,四、绝对收敛与条件收敛,定理,例,解,定义,:,例,解,故原级数收敛,且为条件收敛,.,练习题,第三节 幂级数,一、函数项级数的概念,1.,定义,:,2.,收敛点、发散点，收敛域、发散域,:,2.,收敛点、发散点，收敛域、发散域,:,余项,(,对于收敛域上的任何,x,),注意,函数项级数在某点,x,处,的收敛问题,实质上就是,常数项级数的收敛问题,.,3.,和函数,:,解,例,1.,定义,:,2.,收敛域,:,二、幂级数及其收敛性,定理,1,阿贝尔,(Abel),定理,几何说明,:,收敛,发散,发散,收敛半径的定义,:,则称,R,为幂级数的,收敛半径,.,称开区间,(-,R,R,),为幂级数的,收敛区间,.,规定,定理,2,例,求下列幂级数的收敛域,:,解,发散，,收敛，,故收敛域为：,故收敛域为：,故收敛域为：,发散,收敛,所以所求收敛域为,(0,1.,三、幂级数的运算,和函数的分析运算性质,:,性质,1,性质,2,性质,3,习 题,四、求幂级数 的收敛域,.,五,、,习题求解提示,提示,:,提示,:,提示,:,提示,:,提示,:,提示,:,提示,:,提示,:,四、求幂级数 的收敛域,.,五,、,解,:,