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#,1,(3),求和，,(4),求极限，,相应的曲边梯形被分为,n,个小窄曲边梯形，,小窄曲边梯形的面积为,则,(2),计算,的近似值，,而第,i,个,(1),把区间,a,b,分成,n,个长度为,的小区间,得,A,的近似值,得,A,的精确值,.,回顾：,曲边梯形的,面积,表示为,定积分,的步骤：,a,b,x,y,o,2,a,b,x,y,o,对以上过程进行简化,:,的面积，,则,取,面积元素,若用,表示任一小区间,上的窄曲边梯形,这种简化以后的定积分方法叫,“,微元法,”或“元素法”,3,一、定积分的,元素法,1.,什么问题可以用定积分（元素法）解决,?,表示为,1),所求量,U,是与区间,a,b,上有定义的,f,(,x,),有关的,2),U,对区间,a,b,具有,可加性,即可通过,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定义,一个整体量,;,4,第一步，,根据具体情况,，,选取积分变量，,确定,x,的变化,区间,a,b,.,第二步，,把区间,a,b,分成,n,个小区间，,取一代表区间,求出该区间上所求量的部分量的,称为量,U,的微元,.,第三步，,写出定积分的表达式：,近似表达式,这个方法通常叫做,元素法,元素的几何形状常取为,:,条,带,段,环,扇,片,壳,等,先作图,2.,应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：,5,3.,使用元素法时应注意：,(1),U,是与一个变量,x,的变化区间,a,b,有关的量,.,(2),U,对于区间,a,b,具有可加性，,则,U,相应地分成许多,即如果把区间,a,b,分成许多部分区间，,部分量，,而,U,等于所有部分量之和,.,则,U,在,a,b,上的值可由定积分,示为,(3),在,a,b,中任取的小区间,上的部分量,与区间长度,可以通过,x,的某函数,乘积近似表,来计算,.,6,1.,直角坐标系下平面图形面积的计算,梯形的面积为,A,.,X,型,(2),由曲线,所围图形的面积,.,其面积元素为：,则面积为,上曲线,下曲线,二、定积分在几何学上的应用,7,(4),由曲线,所围图形的面积,.,其面积元素为：,则面积为,右曲线,左曲线,x,o,y,c,d,x,y,o,c,d,y+,d,y,y,y+,d,y,y,的面积,A.,Y,型,8,总之,9,回顾：极坐标系,1.,极坐标系的定义：,在平面上取定一点,o,，,叫做,极点,.,从极点出发引一条射线,Ox,叫,极轴,，,并取定一个,长度单位,和计算角度的,正方向,(,通常取,逆时针方向作正方向,),这样,就建立了一个,平面极坐标系,.,x,1,2,3,4,o,.,2.,极坐标与直角坐标的互化,x,o,y,y,x,10,过点,M,(,a,0),且垂直于极轴的直线的极坐标方程,过极点且倾角为,的射线的极坐标方程为,x,o,y,x,o,.,M,b,y,极坐标与直角坐标的,关系,:,轴的直线方程为,过点,M,且平行于极,3.,几个常用曲线的极坐标方程,x,o,y,M,(,a,0),11,x,o,r,y,圆极坐标方程,o,x,y,2,a,o,x,y,2,a,圆极坐标方程,圆极坐标方程,12,2.,极坐标系下平面图形面积的计算,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积,.,解,:,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,13,3.,已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于,x,轴的截面面积为,A,(,x,),则在小区间,的体积元素为：,立体体积为：,上连续,x,A,(,x,),x,a,b,14,(1),曲边梯形,旋转一周围成的旋转体的体积为：,(2),曲边梯形,绕,y,轴旋转一周围成的旋转体体积为：,4.,旋转体的体积,15,a,b,y,x,o,x,d,x,生成的旋转的体积,.,求旋转体体积,x,+d,x,内表面积：,柱壳法,16,a,b,y,x,o,x,d,x,生成的旋转的体积,.,求旋转体体积,柱壳法,x,+d,x,底面积：,17,围成的曲边梯形绕,y,轴旋转一周,所以：由连续曲线,类似地，,如果旋转体是由,连续曲线,而成的立体的体积,.,而成的立体的体积,.,18,5.,弧长,(,数,1,、数,2),y,x,o,a,b,(2),参数方程,(3),极坐标方程,注意,:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,19,6.,旋转体的侧面积,(,数,1,、数,2),设平面光滑曲线,求,它绕,x,轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积,.,积分后得旋转体的侧面积,取侧面积元素,:,(,注意在不同坐标系下,ds,的表达式,),20,X,型,Y,型,请熟记以下公式：,21,注意：,1),以上公式都要求,2),复杂图形应学会分割,.,3),不能用公式时应会元素法,.,4),若曲边梯形的曲边为参数方程,则上述公式可以用定积分的换元法处理,.,5),若曲边梯形的曲边为极坐标方程,则可转化为直角坐标系下的参数方程：,6),与弧长有关时,其限应上大下小,.,22,解,:,典型例题分析,23,解,:,24,x,y,o,A,B,解：,依题意有,25,例,4.,计算抛物线,解：,如图，,求两曲线的交点,26,而成的,旋转体的体积,.,分析：,无公式可用,可用元素法,.,如图,:,例,5.,解法,1:,选择,y,作积分变量,解法,2:,选择,x,作积分变量,27,思考,:,过坐标原点作曲线,轴围成平面图形,D.,解,:,(1),设切点的横坐标为,则所求切线方程为,由切线过原点知,的切线,.,该切线与,故切线方程为,1,(2003,考研,),(1),求,D,的面积,;,(2),求,D,绕直线,x,=,e,旋转一周所得旋转体的体积,.,28,(2),求,D,绕直线,x,=,e,旋转一周所得旋转体的体积,.,(2),切线、,x,轴及直线,所围三角形绕直线,旋转所得圆锥的体积为：,曲线、,x,轴及直线,所围图形绕直线,旋转所,因此所求旋转体体积为：,得旋转体体积为：,1,29,解,:,30,解,:,31,解,:,32,解,:,33,(1),求由摆线,的一拱与,x,轴所围平面图形的面积,.,(2),计算摆线,的一拱与,y,0,所围,成的图形分别绕,x,轴,y,轴旋转而成的立体体积,.,(3),计算摆线,的一拱的长度,.,练习题：,34,提示,:,计算摆线,平面图形分别绕,x,轴,y,轴旋转而成的立体体积,.,解：,绕,x,轴旋转而成的体积为,P280,例,8,用柱壳法求 较好,35,证,:,设正弦线的弧长等于,设椭圆的弧长等于,例,7.,证明正弦线,的弧长等于,椭圆,的周长,.,故原结论成立,.,36,试用定积分求圆,上,半圆为,下,求体积,:,解,:,方法,1,利用对称性,而成的环体体积,V,及表面积,S,.,方法,2,用柱壳法,例,8.,37,上,半圆为,下,解,:,求侧面积,:,试用定积分求圆,而成的环体体积,V,及表面积,S,.,例,8.,38,解：如图,立体的体积,.,例,9.,39,例,10.,在,x,0,时为连续的非负函数,旋转一周所成旋转体体积,证明,:,证,:,利用柱壳法,则,故,40,思考,:,求曲线,与,x,轴围成的封闭图形,绕直线,y,3,旋转得的旋转体体积,.,(94,考研,),解：,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,41,回顾：变力沿直线所作的功,二、定积分在物理上的应用,设物体在连续变力,F,(,x,),作用下沿,x,轴从,x,a,移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功,.,在其上所作的功元素为,因此变力,F,(,x,),在区间,上所作的功为,解：,42,0,1,x,解,:,设木板对铁钉的阻力为,第一次,锤击时所作的功为,例,1.,用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成,正比,在击第一次时,将铁钉击入木板,1,厘米,如果,铁锤,每次锤击,铁钉,所作的功相等,问锤击第 二 次时,又将铁钉击入多少？,h,设两次击入的总深度为 厘米,依题意知,:,故第二次击入的深度为,P292,第,5,题,43,谢 谢 大 家！再见,例,2.,设有一长度为,l,线密度为,(,x,),的细直棒,求该棒的质量,m,及平均密度,.,解：,建立坐标系如图,.,细棒上小段,对应的质量微元为,:,平均密度为：,
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