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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,弧度制及其与角度制的换算,弧度制及其与角度制的换算,1,问题情境,问题,1,在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量类似地，角除了使用角度来度量外，有没有其他的度量方法呢？,问题情境问题1在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准,问题情境,问题,2,如图是一种折叠扇折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？,O,A,B,B,A,问题情境问题2如图是一种折叠扇折叠扇打开、合拢的过程可以,新知探究,一般地，如果角,是由射线,OP,绕它的端点旋转形成的，如图所示，,A,B,O,A,B,l,l,则在旋转过程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，,不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角,，,可以猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即,定值,事实上，设,n,，弧,AB,的长为,l,，半径,OA,r,，则 ，因此,这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与,的大小有关,新知探究一般地，如果角是由射线OP绕它的端点旋转形成的，如,弧度制,我们称弧长与半径比值的这个常数称为,圆心角的弧度数,，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为,1,弧度的角，记作,1 rad,，这种以弧度为单位来度量角的制度称为,弧度制,新知探究,O,A,B,r,r,如图，因为,的长度等于半径,r,，所以,所对的圆心角,AOB,就是,1,弧度的角,弧度制我们称弧长与半径比值的这个常数称为圆心角的弧度数，长度,新知探究,【,想一想,】,圆心角的弧度数与所在圆的半径、弧长之间的关系是什么？,由此也可得到弧长公式为,l,r,在半径为,r,的圆中，若弧长为,l,的弧所对的圆心角为,弧度，则,，,说明,：,今后我们在用弧度制表示角时，,“,弧度,”,二字或,rad,可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数,例如，,2,表示,是,2 rad,的角，,表示,的角的正弦,新知探究【想一想】圆心角的弧度数与所在圆的半径、弧长之间的关,新知探究,（,2,）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？,问题,3,（,1,）按照弧度的定义，一个周角对应的弧度数应是多少？,把圆周等分成,360,份，称其中每一份所对的圆心角为,1,度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制，角度制还规定,1,度等于,60,分，,1,分等于,60,秒,（,1,）因为半径为,r,的圆周长为,2,r,，,所以周角的弧度数是,2,，于是,360,2,rad,，因此,180,rad,；,（,2,）设一个角的角度数为,n,，弧度数为,，则,新知探究（2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？问题3,新知探究,角度与弧度的关系：,180,rad,；设一个角的角度数为,n,，弧度数为,，则,新知探究角度与弧度的关系：180 rad；设一个角的角,新知探究,练,说出,0 rad,、,rad,、,rad,、,rad,对应角的度数，并指出终边位置,0 rad,角就是,0,角，它的终边在,x,轴的正半轴上；,rad,角就是,180,角，它的终边在,x,轴的负半轴上；,rad,角就是,90,角，它的终边在,y,轴的正半轴上；,rad,角就是,270,角，它的终边在,y,轴的负半轴上,新知探究练说出0 rad、rad、rad、,新知探究,【,做一做,】,试完成下列表格,角度,0,30,45,60,90,120,135,150,180,270,360,弧度,0,2,新知探究【做一做】试完成下列表格角度03045609,新知探究,若扇形的弧长为,l,，半径为,r,，设扇形的圆心角为,rad,，,问题,4,尝试推导焦点在,y,轴上的椭圆的标准方程？,则扇形的面积为：,又因为,l,ar,，所以,新知探究若扇形的弧长为l，半径为r，设扇形的圆心角为 ra,初步应用,例,1,把,210,，,405,，,60,，,330,化成弧度（用,表示）,解答：,设,210,角的弧度数为,，则,所以,，即,210,；,类似地，有,450,，,60,，,330,初步应用例1把210，405，60，330化成,初步应用,解答：,设,n,，则,因此,n,180,288,，即,288,类似地，有,390,例,2,把,化成角度数,初步应用解答：设 n，则因此n180,初步应用,例,3,把下列各角化成,2,k,（,0,2,，,k,Z,）的形式，并指出是第几象限角？,解答：,（,1,）因为,1 725,5360,75,，,（,1,）,1 725,；（,2,）；（,3,）,8,所以,1 725,角与,角的终边相同,又因为,是第一象限角，所以,1 725,是第一象限角,所以,1 725,10,初步应用例3把下列各角化成2k（02，kZ,初步应用,例,3,把下列各角化成,2,k,（,0,2,，,k,Z,）的形式，并指出是第几象限角？,（,1,）,1 725,；（,2,）；（,3,）,8,（,2,）因为,所以,角与,角的终边相同,又因为,是第二象限角，所以,是第二象限角,（,3,）,8,2,（,8,2,），所以,8,与,8,2,终边相同，,又因为,8,2,，所以,8,2,是第二象限角，,所以,8,是第二象限角,初步应用例3把下列各角化成2k（02，kZ,初步应用,例,4,已知扇形的周长为,20 cm,，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？,解答：,设扇形的半径为,r,，弧长为,l,，面积为,S,当半径,r,5 cm,时，扇形的面积最大，为,25 cm,2,则,l,20,2,r,，,S,（,20,2,r,）,r,r,2,10,r,（,r,5,）,2,25,（,0,r,10,）,此时 （,rad,）,当它的半径为,5 cm,，圆心角为,2 rad,时，扇形面积最大，最大值为,25 cm,2,初步应用例4已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角,练习,练习：,教科书第,11,页练习,A1,，,2,，,3,，,4,，,5,题,练习练习：教科书第11页练习A1，2，3，4，5题,归纳小结,本节课你还有收获了哪些研究经验？,本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（,1,）弧度与弧度制的含义；（,2,）弧度制与角度制的互换公式；（,3,）弧长公式与扇形面积公式,归纳小结本节课你还有收获了哪些研究经验？本节课收获了哪些知识,作业布置,作业：,教科书第,12,页练习,A 4,，练习,B1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,作业布置作业：教科书第12页练习A 4，练习B1，2，3，4,谢谢大家,敬请各位老师提出宝贵意见！,谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！,20,再见,再见,21,
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