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,*,中考数学专题,复习,圆的切线的证明,中考数学专题 复习圆的切线的证明,2,一、本课主要知识点,1.,定义：,与圆只有一个,_,的直线叫做圆的切线，这个,公共点叫做切点,.,2.,切线的性质定理：,圆的切线垂直于过,_,的半径,.,3.,切线的判定定理：,经过半径的外端并且,_,于这条半径,的直线是圆的切线,.,4.,证明一条直线是圆的切线方法：,主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于,_,，二,是利用切线的,_,，即常作的辅助线是：已知切点，,_,证,_,或未知切点，作,_,证,_.,公共点,切点,垂直,半径,判定定理,连半径,垂直,垂直,半径,2一、本课主要知识点1.定义：与圆只有一个_,A,o,(1),当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径,也就是,“,”。,切线的判定方法,(2),当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线，,也就是,“,”。,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,.,C,D,作垂直,证半径,连半径,证垂直,Ao (1)当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共点,4,：直线与圆有交点，连半径，证垂直,.,1.,图中有,90,角时：,证垂直的方法及常见图形如下：,（,1,）利用等角代换,：通过互余的两个角之间的等量代换得证；,切线的判定方法,类型一,4 ：直线与圆有交点，连半径，证,5,（,2,）,利用平行线性质证明垂直,：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；,（,3,）,利用三角形全等或相似,：通过证明切线所在三角形与含,90,角的三角形全等或相似得证,.,5（2）利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线,6,2.,图中无,90,角时：,利用等腰三角形性质，通过证明切线为所在等腰三角形的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证,.,62.图中无90角时：利用等腰三角形性质，通过证明切线为,7,：直线与圆无交点，作垂直，证半径,.,类型二,7 ：直线与圆无交点，作垂直，证半径.类,8,证明：,作直径,AD,，连接,CD,，,ACD,=90,，,D,+,DAC,=90,，,B,=,D,，,CAE,=,B,，,D,=,CAE,，,CAE,+,DAC,=,D,+,DAC,=90,，,即,DAE,=90,，,AE,是,O,的切线,.,二、例题讲解,1.,如图,ABC,内接于,O,，,AB,是弦，,CAE,=,B,，,求证：,AE,是,O,的切线,.,A,E,O,B,D,C,OA,AE,，,8证明：作直径AD，连接CD，二、例题讲解1.如图ABC,9,证明：,作,CE,AB,于,E,，,连接,AC,、,OC,、,BC,，,AB,是,O,的直径，,ACB,=90,，,又,CD,是,O,的切线，,1+,ACO,=,DCO,=90,，,又,OC,=,OB,，,二、例题讲解,2.,如图，,AB,是半圆,O,的直径，,C,为半圆上的一点，,CD,切,O,于点,C,，,AD,CD,于,D,，以,C,为圆心,CD,为半径作圆,C,，,求证：,AB,是,C,的切线,.,E,O,D,A,B,C,（,1,2,（,（,3,2+,ACO,=90,，,OC,DC,，,1=2,，,2=,B,，,1=,B,，,9证明：作CEAB于E，二、例题讲解2.如图，AB是半圆,10,又,3+,CAE,=90,，,B,+,CAE,=90,，,3=,B,，,又,AC,=,AC,，,CDA,=,CEA,=90,，,ACD,ACE,，,CE,=,CD,，,AB,是,C,的切线,.,二、例题讲解,2.,如图，,AB,是半圆,O,的直径，,C,为半圆上的一点，,CD,切,O,于点,C,，,AD,CD,于,D,，以,C,为圆心,CD,为半径作圆,C,，,求证：,AB,是,C,的切线,.,证明：,1=3,，,E,O,D,A,B,C,（,1,2,（,（,3,10又 3+CAE=90，二、例题讲解2.,11,三、巩固练习,1.,如图，已知,AOB,=30,，,M,是,OA,边上任意一点，以,M,为,圆心，,2 cm,为半径作,M,，当,OM,=_ cm,时，,M,与,OB,相切,.,分析：,作,MC,OB,于,C,，,当,MC,=2 cm,时，,M,与,OB,相切，,O,=30,，,OM,=2,MC,=22=4(cm),C,）,30,M,A,B,O,4,11三、巩固练习1.如图，已知AOB=30，M是O,12,三、巩固练习,2.,如图,AB,是,O,的直径，,OD,BC,与弦,BC,于点,F,，交,O,于,E,，,AEC,=,ODB,，,（,1,）判断直线,BD,与,O,的位置关系，并给出证明；,解：,直线,BD,是,O,的切线,.,理由：,OF,BC,，,OFB,=90,，,1+2=90,，,又,1=3,，,又,3=,D,，,OBD,=180,-,90=90,，,直线,BD,是,O,的切线,.,3+2=90,，,D+2=90,，,OB,BD,，,O,A,B,E,D,C,3,（,1,（,）,2,F,12三、巩固练习2.如图AB是O的直径，ODBC与弦B,13,三、巩固练习,2.,如图,AB,是,O,的直径，,OD,BC,与弦,BC,于点,F,，交,O,于,E,，,AEC,=,ODB,，,（,2,）当,AB,=10,，,BC,=8,时，求,BD,的长,.,解：,AO,=,BO,=,AB,=10=5,，,CF,BC,，,BF,=,FC,=,BC,=8=4,，,2=2,，,OFB,=,OBD,=90,，,OBF,ODB,，,O,A,B,E,D,C,3,（,1,（,）,2,F,13三、巩固练习2.如图AB是O的直径，ODBC与弦B,14,三、巩固练习,2.,如图,AB,是,O,的直径，,OD,BC,与弦,BC,于点,F,，交,O,于,E,，,AEC,=,ODB,，,（,2,）当,AB,=10,，,BC,=8,时，求,BD,的长,.,，,，,3,DB,=20,，,DB,=.,解：,O,A,B,E,D,C,3,（,1,（,）,2,F,14三、巩固练习2.如图AB是O的直径，ODBC与弦B,15,三、巩固练习,3.,如图，,AB,是,O,的直径，,AE,平分,BAF,，交,O,于,E,，过,E,作直线,ED,AF,，交,AF,的延长线于点,D,，交,AB,的延长线,于点,C,，求证：,CD,是,O,的切线,.,O,A,B,C,E,D,F,（,（,2,1,3,（,证明：,连接,OE,，,AE,平分,BAF,，,1=2,，,又,OA,=,OE,，,1=3,，,OE,AD,，,又,ED,AD,，,CD,是,O,的切线,.,2=3,，,OE,ED,，,15三、巩固练习3.如图，AB是O的直径，AE平分BA,同学们，再见！,同学们，再见！,
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