计算方法9192

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第九章 常微分方程数值解,数值计算方法,1,2024/11/21,2024/11/21,2,9.1,欧拉方法,第九章 常微分方程数值解,9.2,梯形方法,9.3,误差估计与稳定性,2,9.4,龙格库塔方法,9.5,线性多步法,9.6,一阶常微分方程组的数值,包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中,自变量的个数只有一个,称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数,y,及其各阶导数,都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。,2024/11/21,3,对常微分方程初值问题的数值解法，就是要算出精确解,y(x),在区间,a,b,上的一系列离散节点,处的函数值 的近似值,。相邻两个节点的间距 称为步长，步长可以相等，也可以不等。本章总是假定,h,为常数，称为定步长，这时节点可表示为,数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。,2024/11/21,4,初值问题,对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息 计算 的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题,中的导数 进行不同的离散化处理。,2024/11/21,5,对于初值问题,的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算,y,i,+1,时只用到,x,i,+1,x,i,和,y,i,，即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为,单步法,；其代表是龙格,-,库塔法。另一类是计算,y,i,+1,时，除用到,x,i,+1,x,i,和,y,i,以外，还要用到 ，即前面,k,步的值，此类方法称为,多步法,；其代表是阿当姆斯法。,2024/11/21,6,9.1.1 Euler,公式,欧拉（,Euler,）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题,的解,y=y(x),代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率 等于函数 在这点的值。,9.1,欧拉方法,2024/11/21,7,Euler,法的求解过程是,:,从初始点,P,0,(,即点,(,x,0,y,0,),出发,作积分曲线,y=y(x),在,P,0,点上切线,(,其斜率为,),与,x=x,1,直线相交于,P,1,点,(,即点,(,x,1,y,1,),得到,y,1,作为,y(x,1,),的近似值,如上图所示。过点,(,x,0,y,0,),以,f,(,x,0,y,0,),为斜率的切线方程为,切线与直线,x,=,x,1,的交点,得,这样就获得了,P,1,(,x,1,y,1,),点的坐标。,x,0,x,1,x,2,P,0,P,1,P,2,2024/11/21,8,同样,过点,P,1,(,x,1,y,1,),作积分曲线,y=y(x),的切线交直线,x=x,2,于,P,2,点,切线方程为,切线与直线,x,=,x,2,的交点,得,由此获得了,P,2,(,x,2,y,2,),的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点,:,P,1,P,1,P,n,。这样,从,x,0,逐个算出,x,1,x,1,x,n,对应的数值解,y,1,y,1,y,n,。从图形上看就获得了一条近似于曲线,y=y(x),的折线，因此，,欧拉法也称为折线法,。,2024/11/21,9,通常取,(,常数,),则,Euler,法的计算格式,i,=0,1,n,还可用数值微分、数值积分法和泰勒展开法推导,Euler,格式。以数值积分为例进行推导。,将方程 的两端在区间 上积分得，,选择不同的计算方法计算上式的积分项,就会得到不同的计算公式。,2024/11/21,10,用左矩形方法计算积分项,代入,并用,y,i,近似代替式中,y(x,i,),即可得到向前欧拉（,Euler,）公式,由于数值积分的矩形方法精度很低，所以欧拉（,Euler,）公式当然很粗糙。,Euler,公式计算,y,n+1,是用已知的或已算出,x,n,y,n,表示，称为显式方法。又因计算公式中不涉及,y,n-1,y,n-2,因此也称为单步法。,2024/11/21,11,12,例,1.,解,:,由,Euler,公式,2024/11/21,13,得,依此类推,有,0 1.0000,0.1000 1.1000,0.2000 1.1918,0.3000 1.2774,0.4000 1.3582,0.5000 1.4351,0.6000 1.5090,0.7000 1.5803,0.8000 1.6498,0.9000 1.7178,1.0000 1.7848,2024/11/21,13,9.2,梯形法,2024/11/21,14,如果不用矩形法计算积分项,用梯形公式求积分项，得到,上式的右端含有未知的,y,i+1,它是一个关于,y,i+1,的函数方程,这类数值方法称为隐式方法，隐式法需要用迭代法求解。,梯形公式,在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为,称为改进欧拉法。,改进欧拉法的第一步,称为欧拉预估,-,校正公式，其中第一式称为预估公式，第二式称为校正公式。,2024/11/21,15,例,2,在区间,0,1.5,上,，,取,h,=0.1,，,求解,。,本题的精确解为，可用来检验近似解的精确程度。计算结果如下表,x,n,欧拉法,y,n,迭代一次,改进欧拉法,y,n,准确解,0,1,1,1,0.1,1.1,1.095909,1.095445,0.2,1.191818,1.184096,1.183216,0.3,1.277438,1.260201,1.264911,0.4,1.358213,1.343360,1.341641,0.5,1.435133,1.416102,1.414214,0.6,1.508966,1.482956,1.483240,0.7,1.580338,1.552515,1.549193,0.8,1.649783,1.616476,1.612452,0.9,1.717779,1.678168,1.673320,1.0,1.784770,1.737869,1.732051,1.1,1.85118,1.795822,1.788854,1.2,1.917464,1.852242,1.843909,1.3,1.984046,1.907323,1.897367,1.4,2.051404,1.961253,1.949359,1.5,2.120052,2.014207,2.000000,2024/11/21,17,