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菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么正方形,邻边相等,矩形,正方形,菱 形,一个角是直角,正方形,正方形定义：,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫,正方形,.,归纳总结,邻边相等矩形正方形 菱 形一个角是直角正,已知：如图,四边形,ABCD,是正方形,.,求证：正方形,ABCD,四边相等,四个角都是直角,.,A,B,C,D,证明：四边形,ABCD,是正方形,.,A,=90,AB,=,AC,（正方形的定义）,.,又正方形是平行四边形,.,正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形,(,菱形的定义,).,A,=,B,=,C,=,D,=90,AB=BC,=,CD,=,AD,.,证一证,已知：如图,四边形ABCD是正方形.ABCD证明：四边形A,已知：如图,四边形,ABCD,是正方形,.,对角线,AC,、,BD,相交于点,O,.,求证,：,AO,=,BO,=,CO,=,DO,AC,BD,.,A,B,C,D,O,证明：正方形,ABCD,是矩形,AO,=,BO,=,CO,=,DO,.,正方形,ABCD,是菱形,.,AC,BD,.,已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点,矩形,菱形,正,方,形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形,.,所以矩形、菱形有的性质,正方形都有,.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：,性质：,1.,正方形的四个角都是直角,四条边相等,.,2.,正方形的对角线相等且互相垂直平分,.,归纳总结,矩形菱形正平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是,正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心,.,正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴,.,由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：,知识要点,A,B,C,D,正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.,例,1,求证,:,正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形,.,A,D,C,B,O,已知,:,如图,四边形,ABCD,是正方形,对角线,AC,、,BD,相,交于点,O,.,求证,:,ABO,、,BCO,、,CDO,、,DAO,是全等的,等腰直角三角形,.,证明,:,四边形,ABCD,是正方形,AC,=,BD,AC,BD,AO,=,BO,=,CO,=,DO,.,ABO,、,BCO,、,CDO,、,DAO,都,是等腰直角三角形,并且,ABO,BCO,CDO,DAO,.,典例精析,例1 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全,例,2,如图，在正方形,ABCD,中，,BEC,是等边三角形，,求证：,EAD,EDA,15,.,证明：,BEC,是等边三角形，,BE,=,CE,=,BC,EBC,=,ECB,=60,，,四边形,ABCD,是正方形，,AB,=,BC,=,CD,ABC,=,DCB,=90,，,AB,=,BE,=,CE,=,CD,ABE,=,DCE,=30,，,ABE,，,DCE,是等腰三角形，,BAE,=,BEA,=,CDE,=,CED,=75,，,EAD,=,EDA,=90,-75,=15,.,例2 如图，在正方形ABCD中，BEC是等边三角形，,【变式题,1,】,四边形,ABCD,是正方形，以正方形,ABCD,的一边作等边,ADE,，求,BEC,的大小,解：当等边,ADE,在正方形,ABCD,外部时，如图,，,AB,AE,，,BAE,90,60,150.,AEB,15.,同理可得,DEC,15.,BEC,60,15,15,30,；,【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作,当等边,ADE,在正方形,ABCD,内部时，如图,，,AB,AE,，,BAE,90,60,30,，,AEB,75.,同理可得,DEC,75.,BEC,360,75,75,60,150.,综上所述，,BEC,的大小为,30,或,150.,易错提醒：因为等边,ADE,与正方形,ABCD,有一条公共边，所以边相等本题分两种情况：等边,ADE,在正方形的外部或在正方形的内部,当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图，易错提醒：因为,【变式题,2,】,如图，在正方形,ABCD,内有一点,P,满足,AP,=,AB,，,PB,=,PC,，连接,AC,、,PD,（1）求证：,APB,DPC,；,解：四边形,ABCD,是正方形，,ABC,=,DCB,=90,AB,=,DC,PB,=,PC,，,PBC,=,PCB,ABC,-,PBC,=,DCB,-,PCB,，,即,ABP,=,DCP,又,AB,=,DC,，,PB,=,PC,，,APB,DPC,【变式题2】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,证明：四边形,ABCD,是正方形，,BAC,=,DAC,=45,APB,DPC,，,AP,=,DP,又,AP,=,AB,=,AD,，,DP,=,AP,=,AD,APD,是等边三角形,DAP,=60,PAC,=,DAP,-,DAC,=15,BAP,=,BAC,-,PAC,=30,BAP,=2,PAC,（2）,求证：,BAP=2PAC,证明：四边形ABCD是正方形，（2）求证：BAP=2P,例,3,如图，在正方形,ABCD,中，,P,为,BD,上一点，,PEBC,于,E,，,PF,DC,于,F,.,试说明：,AP,=,EF,.,A,B,C,D,P,E,F,解,:,连接,PC,，,AC,.,又,PE,BC,，,PF,DC,四边形,ABCD,是正方形,FCE,=90,AC,垂直平分,BD,四边形,PECF,是矩形,PC,=,EF,.,AP,=,PC,.,AP,=,EF,.,在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明,.,归纳,例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEB,1.,正方形具有而矩形不一定具有的性质是,(),A.,四个角相等,B.,对角线互相垂直平分,C.,对角互补,D.,对角线相等,2.,正方形具有而菱形不一定具有的性质（）,A.,四条边相等,B.,对角线互相垂直平分,C.,对角线平分一组对角,D.,对角线相等,B,D,练一练,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (,2.,如图，四边形,ABCD,是正方形，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,，,AO,2,，求正方形的周长与面积,解：,四边形,ABCD,是正方形，,AC,BD,，,OA,OD,2.,在,Rt,AOD,中，由勾股定理，得,正方形的周长为,4,AD,，,面积为,AD,2,8.,2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O,正方形的判定,二,活动,1,准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证,.,正方形,猜想,满足怎样条件的矩形是正方形？,矩形,正方形,一组邻边相等,对角线互相垂直,正方形的判定二活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,已知：如图,在矩形,ABCD,中,AC,DB,是它的两条对角线,AC,DB,.,求证：四边形,ABCD,是正方形,.,证明：四边形,ABCD,是矩形,AO,=,CO,=,BO,=,DO,.,AC,DB,AD,=,AB,=,BC,=,CD,矩形,ABCD,是正方形,.,证一证,A,B,C,D,O,对角线互相垂直的矩形是正方形,.,已知：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,活动,2,把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状,.,量量看是不是正方形,.,正方形,菱形,猜想,满足怎样条件的菱形是正方形？,正方形,一个角是直角,对角线相等,活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱,已知：如图,在菱形,ABCD,中,AC,DB,是它的两条对角线,AC,=,DB,.,求证：四边形,ABCD,是正方形,.,证明：,四边形,ABCD,是菱形,AB,=,BC,=,CD,=,AD,AC,DB,.,AC,=,DB,AO,=,BO,=,CO,=,DO,AOD,AOB,COD,BOC,是等腰直角三角形，,DAB,=,ABC,=,BCD,=,A,D,C,=90,菱形,ABCD,是正方形,.,证一证,A,B,C,D,O,对角线相等的菱形是正方形,.,已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,正方形判定的几条途径：,正方形,正方形,+,+,先判定菱形,先判定矩形,矩形条件,(,二选一,),菱形条件,(,二选一,),一个直角，,一组邻边相等，,总结归纳,对角线相等,对角线垂直,平行四边形,正方形,一组邻边相等,一内角是直角,正方形判定的几条途径：正方形正方形+先判定菱形先判定矩形矩,在四边形,ABCD,中，,O,是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）,A,AC,=,BD,，,ABCD,，,AB,=,CD,B,ADBC,，,A,=,C,C,AO,=,BO,=,CO,=,DO,，,AC,BD,D,AO,=,CO,，,BO,=,DO,，,AB,=,BC,练一练,C,A,B,C,D,O,在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方,例,4,在正方形,ABCD,中，点,E,、,F,、,M,、,N,分别在各边上，且,AE,=,BF,=,CM,=,DN,四边形,EFMN,是正方形吗,?,为什么,?,解：四边形,ABCD,是正方形，,AB,=,BC,=,CD,=,DA,，,A,=,B,=,C,=,D,=90,.,AE,=,BF,=,CM,=,DN,，,AN,=,BE,=,CF,=,DM,.,分析：由已知可证,AEN,BFE,CMF,DNM,，得四边形,
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