插值、拟合与数值微积分建模案例课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/9/14,#,插值、拟合与数值微积分建模案例,1、,估计水塔的水流量,2、,录像机计数器的用途,3、,汽车刹车距离,插值、拟合与数值微积分建模案例1、估计水塔的水流量,1,问,题,估计水塔的水流量,某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）,和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高,12.2m,，塔的直径为,17.4m,。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约,8.2m,时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约,10.8m,时，水泵停止工作。,表,1,给出的是某一天的测量数据，测量了,28,个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。,问估计水塔的水流量某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单,2,表1 水塔中水位原始数据,表1 水塔中水位原始数据,3,分析,日用水量,用水速度,每个时刻水塔中水的体积,每个时刻水塔中水的体积？,居民的用水速的？,日用水量？,思考,数值微分,分析日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积 每个时刻水塔中水,4,模型假设,影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求,；,水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小,；,水泵充水速度恒定，且远大于水塔的水流速度,；,水塔的水流量与水泵状态独立,；,水流量曲线是一条连续光滑的曲线,；,表1,数据是准确的,；,模型假设 影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传,5,表2 水塔中水的体积,（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径）,模型建立与求解,表2 水塔中水的体积（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径,6,图1 水塔中水体积的散点图,图1 水塔中水体积的散点图,7,图2 水塔中水流速度的散点图,图2 水塔中水流速度的散点图,8,图3 预测水塔中未知的流速,图3 预测水塔中未知的流速,9,图4 样条插值得到的水流速度曲线,图4 样条插值得到的水流速度曲线,10,结果,模型检验,返回,模型稳定性分析,运用数值求积公式可得,结果模型检验返回模型稳定性分析运用数值求积公式可得,11,问,题,在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为,4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与,录像带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,录像机计数器的用途,经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。,问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为要求不仅回答问,12,录像机计数器的工作原理,主动轮,压轮,0000,左轮盘,右轮盘,磁头,计数器,录像带,录像带运动方向,录像带运动,右轮盘半径增大;,问题分析,观察,计数器读数增长越来越慢！,计数器读数增长变慢;,右轮转速(角速度)不是常数;,录像带运动速度(线速度)是常数.,录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数,13,录像带的运动速度是常数,v,；,计数器读数,n,与右轮转数,m,成正比，记,m,=,kn,；,录像带厚度（加两圈间空隙）为常数,w,；,空右轮盘半径记作,r,；,时间,t,=0,时读数,n,=0,.,建模目的,建立,时间,t,与读数,n,之间的关系,（设,v,k,w,r,为已知参数）,模型假设,录像带的运动速度是常数 v；计数器读数 n与右轮转数,14,模型建立,建立,t,与,n,的函数关系有多种方法,1.右轮盘转第,i,圈的半径为,r,+,wi,m,圈的总长度,等于录像带在时间,t,内移动的长度,vt,所以,请解释?,模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第 i,15,2.考察右轮盘面积的,变化，等于录像带厚度,乘以转过的长度，即,3.考察,t,到,t+dt,录像带在,右轮盘缠绕的长度，有,模型建立,2.考察右轮盘面积的3.考察t到t+dt录像带在模型建立,16,思 考,3种建模方法得到同一结果,模型中有待定参数,一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。,思 考,思 考3种建模方法得到同一结果模型中有待定参数一种确定参数的,17,参数估计,另一种确定参数的方法测试分析,将模型改记作,只需估计,a,b,理论上，已知,t,=184,n,=6061,再有一组,(,t,n,),数据即可!,实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合,现有一批测试数据：,t,0 20 40 60 80,n,0000 1141 2019 2760 3413,t,100 120 140 160 184,n,4004 4545 5051 5525 6061,用最小二乘法可得,参数估计另一种确定参数的方法测试分析将模型改记作只需估计,18,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出的问题：由模型算得 n=4450 时 t=116.4分，,剩下的录像带能录 184-116.4=67.6分钟的节目。,揭示了,“,t,与,n,之间呈二次函数关系”,这一普遍规律，,当录像带的状态改变时，只需重新估计,a,b,即可。,返回,模 型 检 验应该另外测试一批数据检验模型：模 型 应 用回,19,汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，,后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是,“2秒准则”,：,后车司机从前车经过某一标志开始默数,2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样?,并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。,汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问,20,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(,16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(,9米),车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”,规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作,匀减速,运动。,车速,常数,反应距离,制动距离,常数,问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/,21,假 设 与 建 模,1.刹车距离,d,等于反应距离,d,1,与制动距离,d,2,之和,2.反应距离,d,1,与车速,v,成正比,3.刹车时使用最大制动力,F,，,F,作功等于汽车动能的改变;,F d,2,=,m v,2,/2,F,m,t,1,为反应时间,且,F,与车的质量,m,成正比,假 设 与 建 模 1.刹车距离 d 等于反应距离 d,22,反应时间,t,1,的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合,k,模 型,最小二乘法,k=,0.0255,（,用2、3列数据,）,计算刹车距离、,刹车时间,其中s为刹车距离,刹车时间计算：,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒参数估计 利用,23,车速,(英里/小时)(英尺/秒),实际(最大)刹车距离（英尺）,计算刹车距离（英尺）,刹车时间,（秒）,10,14.7,-,16.5,1.5,20,29.3,42（44）,44,2.25,30,44.0,73.5（78）,82.5,3,40,58.7,116（124）,131.9,3.75,50,73.3,173（186）,192.4,4.5,60,88.0,248（268）,263.8,5.25,70,102.7,343（372）,346.3,6,80,117.3,464（506）,439.7,6.7,90,132.0,-,544.1,7.5,100,146.7,-,659.6,8.2,计算结果,车速实际(最大)刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间,24,“2秒准则”应修正为“,t,秒准则”,模 型,车速,(英里/小时),刹车时间,（秒）,10,1.5,20,2.25,30,3,40,3.75,50,4.5,60,5.25,70,6,80,6.7,车速（英里/小时）,010,1030,3060,6080,t,（秒）,2,3,5,7,“2秒准则”应修正为“t 秒准则”模 型车速刹车时间101,25,思考：,（1）在不同量纲下得到的拟合系数k是否相同。,（2）可以将反应时间作为拟合系数，并将计算结果和经验结果比较。,结论：在英里/秒下得到k=1.0407e-005。,结论：t1=0.0883,k=0.0322。,作图,比较可知，与实测数据拟合效果更好！,返回,思考：（1）在不同量纲下得到的拟合系数k是否相同。（2）可以,26,结束语,当,你尽了自己的最大努力,时,，,失败,也是伟大,的，所以不要放弃，坚持就是正确的。,When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The,End,结束语,27,谢谢,大家,荣幸,这,一路，与你同行,ItS An Honor To Walk With You All The,Way,演讲人：,XXXXXX,时 间：,XX,年,XX,月,XX,日,谢谢大家演讲人：XXXXXX,28,