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,8.4,能量均分定理 理想气体的内能,实际气体分子具有一定 的大小和比较复杂的结构,不能看作质点。因此，分子的运动不仅有平动,还有转动,以及分子内原子间的振动。分子热运动的能量应把这些运动的能量都 包含在内。为了说明分子无规则运动的能量所遵从的统计规律,并在此基础上计算理想气体的内能,下面将介绍力学中自由度的概念。,一、自由度,i,:,决定一个物体在空间的位置所需的,独立坐标,的个数。,1.,自由质点的自由度：,i,=3,（,x,、,y,、,z,）；,2.,自由刚体自由度：,i,=6,（,x,、,y,、,z,、,、,、,）。,o,Y,X,Z,P,(,x,y,z,),自由运动刚体位置的确定共需要六个自由度！,确定刚体上某一点位置,:,确定刚体转轴的方位,:,确定刚体绕转轴转过的角度,需要一个自由度,(,);,需要二个自由度,(,);,需要三个自由度,(,x,y,z,);,自由度数目,3.,气体分子模型自由度,单原子分子模型,:,质心需要三个平动自由度,;,两原子连线方位需要二个转动自由度,一共五个自由度,;,刚性双原子分子模型,:,弹性双原子分子模型,:,质心需要三个平动自由度,;,两原子连线方位需要二个转动自由度,一个沿连线方位的振动自由度。,如氦原子,如氧气分子,i=t+r=,3+2=5,三个平动自由度,i=t=,3;,i=t+r+s=,3+2+1=6,刚性三原子以上分子模型,:,i=t+r=,3+3=6,O,H,H,H,2,O,He,O,2,这说明平动自由度对能量而言是等价的。还可进一步证明：,在温度为,T,的平衡态下，气体分子每一个自由度的平均动能都相等，而且等于,kT,/2,。,这就是,能量均分定理,。,在经典物理学中这一结论同样适用于液体和固体分子热运动。,二、能量均分定理,三、理想气体的内能,一个系统内所有分子的动能（质心系）和分子间相互作用势能的总和称为系统的内能。,对理想气体而言，其分子间无相互作用，其内能就是其所有分子动能之和。设,N,为理想气体分子总数，则其内能为：,单元子分子（,i,=3,）：,双原子分子（,i,=5,）：,多原子分子（,i,=6,）：,几种分子结构的平均总动能：,说明,：,（,1,）,内能完全决定于分子的自由度和气体的热力学温度。,（,2,）“不计分子间的相互作用力”是上述结论成立的条件。,（,3,）理想气体再不同的状态变化过程中，只要温度变化量,相等，则它们的内能变化也相等，即：内能与过程无关,1,摩尔气体的内能,(),。,分子的平均平动动能,();,分子的平均总动能,();,分子的平均总能量,();,1,摩尔气体分子的总转动动能,();,2.,写出下列各量的表达式：,某种刚性双原子分子的理想气体处于温度为,T,的平衡态下,:,1.,三个容器内分别储有,1mol,氦气,(He),1mol,氢气,(H,2,),1mol,氨气,(NH,3,)(,三种气体均 视为刚性分子的理想气体,),若它们的温度都升高,1K,则三种气体内能的增加分别是多少？,思考题：,(,答案,:,12.5J,20.8J,24.9J,),(,答案,:1:8;1:1;5:24),（答案,:,不变,变,),（答案,:3/5,倍,),3.,有一个处于恒温条件下的容器,其内贮有,1mol,某种理想气体,若容器发生缓慢漏气,试问容器内气体分子的平均平动动能是否改变,?,气体的内能是否改变,?,4.,两个容器中分别贮有理想气体氦和氧，已知氦气的压强是氧气的,1/2,氦气的容积是氧气的,2,倍。试问氦气的内能是氧气内能的多少倍,?,5.,质量相等的的理想气体氧和氦,分别装 在两个容积相等的容器内,在温度相同的情况下,氧和氦的压强之比为,;,氧分子和氦分子的平均平动动能之比为,;,氧和氦内能之比为,_.,练习,1,、一容器被中间的隔板分成相等的两半,一半装有氦气,温度为,250K;,另一半装有氧气,温度为,310K,，二者压,强相等。求：去掉隔板两种气体混合后的温度。,混合前,对于氦,:,由于压强相同,:,混合前,对于氧,:,解：,混 合前的总内能,:,混 合后的总内能,:,由于混合前后的总内能不变,:,T=284K,练习,2:,一个大热气球的容积为,2.110,4,m,3,气球本身和负载质量共,4.5 10,3,Kg,若外部空气温度为,20C,要想使气球上升,其内部空气最低要加热到多少度,?,标准状态下空气的密度,:,由于热气球内外空气压强相同,(,均取一个大气压,):,设热气球外空气的密度,:,温度,:,设热气球内空气的密度,:,温度,:,温度,:,T,1,T,2,1,2,由热气球所受浮力与负载重量平衡可得,:,T,1,T,2,1,2,8.5,气体分子的速率分布率,处于平衡态下的气体，并非所有分子都以方均根速率运动，方均根速率只是分子速率的一种统计平均值，实际上个别分子的速度大小和方向是毫无规则的或是偶然的，因而分子热运动速率是由,0,的连续随机变量。但就大量分子整体来看，在平衡态下，它们的速率分布遵从一定的统计规律。,“,伽尔顿板,”,统计规律实验图,:,一、测定气体分子速率分布的实验,实验装置,金属蒸汽,显示屏,狭缝,接抽气泵,1921,年毕业于南京高等师范工科，,1929,年自费赴,美留学，在南加洲大学攻读物理，,1930,年获硕士学位,后，入旧金山柏克莱加洲大学研究院攻读博士学位，,研究课题是“,用分子束方法证明麦克斯韦波尔兹,曼分子速率分布定律实验,”,，,1933,年完成重要学术论,文,用分子束方法证明麦克斯韦波尔兹曼分子速,率分布定律，并测定双原子的铋分子的分解热,获物,理学博士及美国物理学会和数学学会金钥匙各一枚。,1933,年回国，先后在武汉大学解放军第二军医大学任教，积极从事教学、科研工作指导制成国内第一架脑电波直流放大器，装配成,50,万倍的场效应发射电子显微镜并与一机部、上海照相器材厂等合作研制静电复印机。,1984,年加入中国共产党。,1988,年,3,月因病逝世。,分子速率分布图,：,分子总数,为速率在 区间的分子数,.,表示速率在 区间的分子数占总数的百分比,.,二、分布函数,表示速率在 区间的分子数占总分子数的百分比,.,归一,化条件,表示在温度为,T,的平衡状态下，速率在,v,附近,单位速率区间 的分子数占总数的百分比,.,物理意义,:,速率位于 内分子数,速率位于 区间的分子数,:,速率位于 区间的分子数占总数的百分比,麦氏,分布函数,:,三、麦克斯韦气体速率分布定律,反映理想气体在热动,平衡条件下，各速率区间,分子数占总分子数的百分,比的规律,.,四、三种统计速率,1,）,最概然速率,根据分布函数求得,:,气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多,.,物理意义,2,）,平均速率,3,）,方均根速率,同一温度下不同气体的速率分布,N,2,分子在不同温度下的速率分布,1.,气体处于平衡态时,分子速率分布曲线如图,(1),所示,图中,A,、,B,两部分的面积之比为,1:2,则它们的物理意义是什么,?,3.,某气体分子在温度,T,1,时的方均根速率等于温度为,T,2,时的平均速率,则该二温度之比为,T,2,/T,1,=?,2.,在图,(2),中,两条曲线分别表示相同温度下,氢气和氧气分子的速率分布曲线,则,a,表示什么 气体分子的速率分布曲线,;,b,表示什么 气体分子的速率分布曲线,又氧气分子和氢气分子的最概然速率之比为,v,pO,2,:v,pH,2,=?,图,(2),f,（,v,）,v,o,a,b,f,（,v,）,v,o,图,(1),A,B,v,p,思考题：,(,答案,:3:8),(,答案,:,氧,;,氢,;1:4),练习,1,、,N,个假象的气体分子，其速率分布如图所示,（当,v,2,v,0,时，粒子数为零）。,（,1,）由,N,和,v,0,求,a,=?,（,2,）求：速率在,1.5,v,0,到,2.0,v,0,之间的分子数。,（,3,）求：分子的平均速率。,N,f,(,v,),v,0,2,v,0,a,0,v,解：,利用归一条件：,练习,2:,有,N,个粒子，其速率分布函数为,（,1,）作速率分布曲线,（,2,）由,v,o,求常 数,C,（,3,）求粒子的平均速率,f,（,v,）,v,o,v,o,（,1,）速率分布曲线,（,2,）由归一化条件,（,3,）粒子的平均速率,解：,8.6,气体分子的平均自由程与平均碰撞次数,每两次连续碰撞之间一个分子自由运动的平均路程。,一、平均自由程,：,单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数。,二、平均碰撞频率,Z,：,设分子的平均速率为,v,d,d,d,围绕分子的中心,以,d,为半径画出的球叫做分子的作用球。,(1),假定每个分子都是直径为,d,的刚性小球,;,(2),假定一个,A,分子以相对速率,u,运动,其它分子都静止不动,;,当,A,分子与其它分子作一次弹性碰撞时,两个分子的中心相隔距离就是,d,。,围绕分子的中心,以,d,为半径画出的截面叫做分子的碰撞截面。,以,A,分子中心的运动轨迹为轴线,以,d,为半径做一曲折的圆柱体,d,d,2,d,A,u,d,2,d,A,u,在,t,时间内,分子,A,走过的路程为,:,t,时间内,以,A,分子中心的运动轨迹为轴线,以,d,为半径的圆柱体体积,:,设单位体积内的分子数为,n,则该体积内的分子总数为,:,即在,t,时间内,分子,A,碰撞的次数为,:,平均碰撞频率,Z,：,平均自由程,：,所以平均自由程与温度成正比,与压强成反比。,例、计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞,频率。,取分子的有效直径为：,空气的平均摩尔质量：,解：对于空气分子,在标准状态下,:,气体分子动理论,能量均分定理,状态,
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