5 直线与平面及两平面的位置关系-48

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,直线与平面及两平面的相对位置,西南科技大学 付蓓,直线与平面、平面与平面,的相对位置,平面与平面相交,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与平面相交,直线与平面平行,几何条件,：若直线平行于平面内一直线，则直线 与平面平行。,若直线与,投影面垂直面,平行，则该平面的投影面垂直面的积聚投影与该直线的同面投影平行。,P,H,D,C,B,A,P,H,A,B,V,H,a,b,a,b,C,D,c,c,d,d,a,b,a,b,P,H,O,X,AB,平行于,P,平行,AB,CD,AB,P,X,O,a,b,a,b,c,d,d,c,e,e,f,f,g,g,AB,CD,AB,EFG,线面平行,例,判断直线,AB,与,CDE,是否平行。,在三角形内作,df,平行于,ab,，,求出,d,f,因,d,f,不,平行于,a,b,可知,AB,与,CDE,不平行。,a,b,a,b,O,X,c,d,d,e,e,c,f,f,例,不平行,平行,在三角形内作一水平线,DF,（,df,d,f,），,并过点,a,作,ab,平行于,df,，使,ab,长为,20mm,并求出,a,b,。,例,过点,A,作水平线,AB,平行于,CDE,，,AB,长,20mm,.,c,c,d,d,e,e,b,20 mm,b,f,a,a,f,平行,O,X,例,平面与平面平行,几何条件,：若平面内有两条相交直线与另一平面内的两条相交直线对应平行，则这两平面平行。,X,O,c,f,c,f,b,e,a,d,a,d,e,b,H,P,Q,A,C,D,F,B,E,P,Q,两平面平行,Q,H,P,H,Q,P,X,O,当两个投影面垂直面相互平行时，它们的积聚投影也互相平行。,两平面的积聚投影平行,面面平行,KN CB,KM AB,平面与平面平行,例,判断,ABC,与,DEF,是,否平行。,a,c,a,b,c,b,d,f,f,d,e,e,X,O,n,n,m,k,m,k,过,DEF,内的任意点,K,的水平投影,k,作,km,ab,，作,kn,cb,，,并求出相应的,k,m,k,n,;,由图中可看出，,k,m,a,b,k,n,c,b,所以,两三角形互相平行。,两三角形,平面,互相平行,例,两直线垂直,空间两直线相交（或交叉）垂直，当一直线（或两直线）平行于某投影面时，它们在该投影面上的投影才反映直角。,反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，而且其中一条直线平行于该投影面，则这两条直线在空间一定相互垂直。,X,O,V,H,O,X,c,C,c,a,b,a,b,B,A,c,c,b,b,a,a,c,1,b,1,(,c,1,),B,1,C,1,(b),c,1,b,1,(c),(b),AB,与,BC,相交垂直,AB,与,B,1,C,1,交叉垂直,两直线垂直,MK,平面,P,直线与平面垂直,直线与一般面垂直,几何条件,：若一直线,(,相交,或交叉,),垂直于平面上的任意两,条相交直线，则此直线必垂直,于该平面。,在投影图上作平面的垂线,时，可作出平面的水平线和正,平线作为面上的相交二直线。,此时所作垂线与水平线所夹的,直角，其,H,投影仍为直角；垂线与正平线所夹的直角，其,V,投影仍为直角。,d,d,e,e,a,b,c,a,b,c,O,X,k,m,m,k,MK,ABC,H,P,C,E,A,D,K,M,A,1,C,1,D,1,E,1,MK,AE,MK,CD,线面垂直,直线与平面垂直（续）,直线垂直于某投影面的垂直面时，它必然是该投影面的平行线（,与,铅垂面,垂直的直线必为,水平线,，与,正垂面,垂直的直线必为,正平线,）。直线在该投影面的投影必垂直于该垂直面的积聚投影。,直线与投影面垂直面垂直,A,B,P,H,a,b,X,O,a,b,b,a,p,p,d,d,e,e,a,c,c,b,a,b,AB,是水平线,CD,是正平线,AB,是水平线,DE,是正平线,X,O,a,b,a,b,P,H,Q,V,d,c,d,c,X,O,X,O,线面垂直,n,n,直线与平面垂直（续）,例,过,M,点作一直线,MN,垂直,于,ABC,。,e,e,a,c,a,b,c,b,O,X,d,d,m,m,1,在,ABC,内任作水平线,CE,和正平线,AD,，,并过,m,及,m,点分别作,mn,ce,，,m,n,a,d,，,则直线,MN ABC,。,例,AB,Q,平面与平面垂直,几何条件,:,若一个平面通过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。也就是说,一平面上如有一直线垂直于另一平面,则这两个平面相互垂直,.,e,e,X,O,d,d,a,c,b,b,c,a,n,m,p,m,p,n,MN,ABC,H,Q,P,1,P,2,例,判断平面,P,是否,垂直于,ABC,。,A,B,P,1,Q P,2,Q,平面,P,ABC,二平面垂直,例,判断平面,P,与,ABC,是否垂直。,因过,ABC,上的,M,点所作的,P,平面的垂线,MN,不在,ABC,内，所以两平面不垂直,。,n,p,p,b,a,c,b,a,c,O,X,n,m,m,例,e,e,ABC,平面,P,d,d,p,p,O,X,a,c,a,b,c,b,ABC,平面,P,例,判断,ABC,与铅垂面,P,是否垂直。,因过,ABC,内能作直线,AD,平面,P,，,所以两平面相互垂直,。,例,直线与平面相交,一般线与投影面垂直面相交：,可利用平面有积聚性的投影求出交点。,例,求直线,AB,与铅垂面,CDE,的交点。,X,O,c,d,e,c,e,d,a,b,k,k,d,c,e,V,H,a,b,k,C,D,E,A,B,k,K,b,a,垂直面与一般线相交,由,AB,与平面,CDE,的交点，,向上作垂线，与,a b,交于,k,，,则点,K,（,k,，,k,）,即为交点。,可见性判断,：线面相交，交点把直线,AB,分为,AK,和,BK,两段。由水平投影可看出，,AK,在平面之前，所以,a k,为可见，,b k,与平面重影部分为不可见（用虚线画出）。,e,c,d,b,a,直线与平面相交,投影面垂直线与一般面相交：可利用直线有积聚性的投影,求交点,例,求铅垂线,AB,与平面,CDE,的交点。,因交点的,H,面投影与直线,AB,的积聚投影重合，又因交,点也属于平面，故可用平面,内取点的方法，求交点的,V,面投影。过,a,（,b,）,作辅助线,df,，,并求出,d,f,与,a,b,的交点,k,。,从,H,投影可看出,m,在前，,n,在后，故,b,k,可见，,a,k,与平面的重影部分为不可见。,X,O,（k）,f,f,e,e,c,d,d,C,k,重影点,a,b,a(b),可见性判断：,n,（m）,（利用重影点,m,和,n,来判断）,m,（n,）,垂直线与一般面相交,直线与平面相交,一般线与一般面相交,n,m,a,b,c,b,a,c,m,n,e,d,d,e,k,k,作图步骤：,1,。包含已知直线作一辅,助垂直面（如图的铅,垂面,P,）；,2,。求此辅助面与已知平,面的交线（如图的,DE,）,;,3,。求此交线与已知直线的,交点，此交点即为所求；,4,。利用重影点分别判断两,投影中直线的可见性。,3,(4),3,4,作图原理,M,N,A,B,C,a,b,c,m,n,d,e,D,E,K,k,P,H,P,H,重影点,一般线与一般面相交：,平面与平面相交,关键是求平面与平面的公有线,交线,两投影面垂直面相交,交线是一条垂直于该投影面的垂直线。,H,X,O,R,V,Q,Q,H,S,V,c,d,（d,）,c,P,H,P,A,B,交线垂直,于,H,面,Q,H,P,H,a,b,a,（b）,X,O,交线是,铅垂线,交线是,正垂线,二垂直面相交,平面与平面相交,关键是求平面与平面的公有线,交线,例,求铅垂面,P,与三角形,ABC,的交线，并判断其投影的可见性。,一般面与投影面垂直面相交,可利用平面有积聚性的投影求出两平面的交线。,分别过,ac,与,p,的交点,m,和,bc,与,p,的交点,n,向上作垂线，与,a,c,和,b,c,分别相交于,m,和,n,；,连接,m,n,即为交线。,从,H,投影可知，,amnb,在平,面,p,之前，所以,V,投影,a,m,n,b,为可见,。,m,c,n,与,p,的重影,部分为不可见。,a,b,c,X,O,p,H,p,c,b,a,m,m,n,n,不可见,垂直面与一般面相交,可见,平面与平面相交,例,求正六棱锥被正垂,面,P,V,截切后的截交线。,只需分别求出正垂面,P,V,与,正六棱锥各棱面的交线。,为求交线，可求出,P,V,与各,条棱线的交点后依次连之,。,P,V,s,s,a,f,b,c,e,c,(e,),b,(f,),a,d,d,注意应画出,H,投影中仍,存在的棱线。,AB,是,P,V,与左前,棱面的交线,BC,是,P,V,与前,棱面的交线,CD,是,P,V,与右前,棱面的交线,DE,是,P,V,与右后,棱面的交线,EF,是,P,V,与后,棱面的交线,FA,是,P,V,与左后,棱面的交线,例,