6-8二重积分2

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,返回,一、二重积分的概念与性质,二、二重积分在直角坐标系中计算,三、二重积分在极坐标系中的计算,四、二重积分的几何应用,第八节 二重积分,二重积分的计算,一)二重积分在直角坐标系下的计算,在直角坐标系二重积分 的计算,化二重积分为二次积分或累次积分,把二重积分化为二次积分的关键：,1选择积分次序,2确定定积分的上、下限,根据,积分区域,D,的图形,和,被积函数,f(x,y),的特点,从左端点,a,值到右端点,b,值,.,累次积分中积分限确实定方法,y,x,a,b,y,x,d,c,区域,D,为,X,-,型区域,区域,D,为,Y,-,型区域,从穿入的边界方程 作为下限，穿出的边界方程 作为上限,.,第二次积分,:,第一次积分,:,从左端点,c,值到右端点,d,值,.,从穿入的边界方程 作为下限，穿出的边界方程 作为上限,.,第二次积分,:,第一次积分,:,X,-,型积分,Y,-,型积分,在计算二重积分时,，,甚至是积分区域,D,造成的困难是主要的,。,有时,而且还在于,积分区域,D,求积分的困难不仅在于,例,计算,其中,x,y,o,因此,针对不同形状的积分区域,D,以及被积函数,的特点,选择,不同的坐标系,来计算二重积分是一个很重要的问题,.,被积函数,一般地,当二重积分的积分区域,D,的边界,通常采用极坐标变换,就可使二重积分的计算,或被积函数用极坐标表示更加方便,扇形等,如被积函数为,等时，,大大得以简化。,曲线用极坐标表示更加简单,如D为圆形、环形、,极轴,X,极点,O,r,x,y,如果选取以直角坐标系的原点,O,为极点，,以,x,轴为极轴，,原点,O,x,轴,用以极点,O,为中心的,一族同心圆,1.,利用极坐标系计算二重积分,设过极点,O,的射线与积分区域,D,的边界曲线的交点,不多于两点，,把区域,D,分成,n,个小区域，,在极坐标系下，,以及从极点,出发的,一族射线,在直角坐标系下,在极坐标系下,如何表示？,极坐标系下的面积微元,那么,得,面积微元为,所以，,于是得到直角坐标系下与极坐标系下二重积分的,转换公式,如何计算极坐标系下的二重积分？,化为二次积分或累次积分来计算,这样二重积分在极坐标系下的表达式为,在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积分，,同样要解决下面两个问题：,2确定积分的上、下限,1选择积分次序,化为二次积分或累次积分来计算,2.,极坐标系下化二重积分为二次积分,(1)假设极点O在区域 D 之外,那么有,(2),极点,O,在区域,D,的边界线上,D,:,那么有,x,o,x,o,D,D,只研究先对r后对的积分次序,下面根据极点,O,与区域,D,的位置分三种情况讨论,(3)假设极点O在区域D的内部,那么有,D,:,或被积函数为,f,(,x,2,+,y,2,),、,利用极坐标计算二重积分积分特征,x,o,利用极坐标常能简化计算,.,如果积分区域,D,为,圆,、,半圆,、,圆环,、,扇形域,等，,D,等形式，,3.极坐标下二重积分计算的根本步骤,(1),将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分,.,将,代入被积函数,将区域,D,的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的,积分限,.,将面积元素,d,x,d,y,换为,.,2.,将极坐标系下的,二重积分,转化为,二次积分,.,3.,计算,二次积分,.,那么,例,1,计算,其中,解,故,注,：由于 的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算,.,x,y,o,在极坐标系下,例,2,计算二重积分,其中区域,D,为由,x,=0,及,x,2,+,y,2,=2,y,围成的第一象限内的区域,.,解,D,的边界曲线为,x,2,+,y,2,=2,y,，,此时,D,可以表示为,x,y,o,其极坐标表达式,例,3,计算积分,积分域是圆环，,x,y,o,解,D,：,解,故,例,5,计算,其中,D,是由不等式,所确定的区域,.,解,极点在区域,D,的边界曲线上,.,曲线 的极坐标方程为,曲线 的极坐标方程为,因此,x,y,o,r,=2.,解,因为被积函数为偶函数,例,6,求广义积分,所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。,(泊松积分,又因为被积函数 的原函数不是初等函数,令,利用极坐标计算,H,，,所以,D,正态分布,当积分区域由,直线,和,除圆以外的其它曲线,围成时，,一般说来，当积分区域为,圆形、扇形、环形区域，,选取,适当的坐标系,对计算二重积分的计算是至关重要的,.,而被积函数中含有,项时,选择坐标系,选择积分次序,二重积分计算过程,通常选择在,直角坐标系,下计算,.,下的计算方法往往比较简便.,二重积分计算方法总结：,化为累次积分,计算累次积分,二重积分可在两种坐标系中的计算,.,采用,极坐标系,四、二重积分的几何应用,1.,平面图形的面积,由二重积分的几何意义可知，,x,y,D,利用二重积分的几何意义可以求解,平面图形的面积,(,为平面图形的面积值）,表示成二重积分,可,成的平面区域,D,的面积值，,xOy,平面上封闭曲线所围,和,空间几何体的体积,.,例,求由曲线,所围成的区域的面积,.,解,x,y,2,-6,作出区域的图形，,所求面积为,解,2,利用定积分求面积，,2.,几何体的体积,(1),以连续曲面,为顶，有界闭区域,D,为底的曲顶柱体体积为,(,2),由连续曲面,所围成的几何体的体积为,z,x,y,z,x,y,例,用二重积分计算由平面 和三个坐标平面所围成的四面体的体积,.,解,x,z,y,由二重积分几何意义知所求四面体体积为,y,x,2,3,2,x,+3,y,+,z,=6,例,求椭圆抛物面 与平面 所围成的立体体积,.,考虑到图形的对称性,，,x,y,z,解,只需计算第一卦限局部即可，,画出曲面所围立体的图形,x,y,2,2,在极坐标系下计算,x,y,2,2,显然，该题利用,极坐标系,来计算要简便。,例,求由锥面 与椭圆抛物面,所围立体的体积,.,解,消去,z,得投影区域边界为,x,y,z,由,x,y,o,练习：,解,故所求的立体的体积为,x,y,o,12.,因曲面是由,得两曲面的公共面为,有,那么,解,故曲面方程为,由,因曲面是由,x,y,o,旋转椭圆抛物面,一、二重积分在极坐标系中的计算,小结,作业：P74 72，4；11,12,二、二重积分的几何应用,1,、求平面图形的面积；,2,、求几何体的体积,。,42,将积分区域看作,那么积分限为,解,72,可变为,那么积分区域D是以,如下图，,答案有误；,解,为圆心，以,为半径的圆，,x,y,o,于是,