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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节函数的单调性,考纲点击,1.,理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义,.,2.,会运用函数图象理解和研究函数的性质,.,热点提示,1.,函数的单调性是函数的一个重要性质，仍是,2011,年高考的重点常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，求函数的最值或求某变量的取值范围等,.,2.,在高考试题中三种题型都有可能出现，选择题、填空题较多,.,增函数,减函数,定义,一般地，设函数,f(x),的定义域为,I.,如果对于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量,x,1,，,x,2,，,当,x,1,x,2,时，都有,f(x,1,),f(x,2,),，那么就说函数,f(x),在区间,D,上是增函数,当,x,1,x,2,时，都有,f(x,1,),f(x,2,),，那么就说函数,f(x),在区间,D,上是减函数,图象描述,自左向右看图象是上升的,自左向右看图象是下降的,1.,函数的单调性,(1),单调函数的定义,(2),单调区间的定义,若函数,f(x),在区间,D,上是,或,，则称函数,f(x),在这一区间上具有,(,严格的,),单调性，,叫做,f(x),的单调区间,2.,函数的值域,(1),在函数,y,f(x),中，与自变量,x,的值相对应的,y,值叫做函数值、,叫做函数的值域,增函数,减函数,区间,D,函数值的集合,(2),基本初等函数的值域,y,kx,b(k0),的值域是,.,y,ax,2,bx,c(a0),的值域是：当,a,0,时，值域为,；,当,a,0,时，值域为,y,(k0),的值域是,y,a,x,(a,0,且,a1),的值域是,y,log,a,x(a,0,且,a1),的值域是,.,y,sinx,，,y,cosx,的值域是,y,tanx,的值域是,.,R,y|y0,(0,，,),R,1,1,R,前提,设函数,y,f(x),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足,条件,(1),对于任意,xI,，都有,f(x)M,；,(2),存在,x,0,I,，使得,f(x,0,),M,(1),对于任意,xI,，都有,f(x)M,；,(2),存在,x,0,I,，使得,f(x,0,),M,结论,M,为最大值,M,为最小值,3,函数的最值,1.,单调区间与函数定义域有何关系？,提示：,单调区间是定义域的子区间,.,2.,最值与函数的值域有何关系？,提示：,函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在,.,1,如果函数,f(x),x,2,2(a,1)x,2,在区间,(,，,4,上是减函数，则实数,a,的取值范围是,(,),A,3,，,)B,(,，,3,C,(,，,5 D,3,，,),【,解析,】,f(x),x,2,2(a,1)x,2,的对称轴为,x,1,a,，,f(x),在,(,，,1,a,上是减函数，要使,f(x),在区间,(,，,4,上是减函数，则只需,1,a4,，,即,a,3.,【,答案,】,B,2,函数,y,(2k,1)x,b,在,(,，,),上是减函数，则,(,),【,答案,】,D,【,解析,】,使,y,(2k,1)x,b,在,(,，,),上是减函数，则,2k,1,0,，即,k,3,函数,y,的定义域为,a,，,b,，值域为,0,2,，则区间,a,，,b,的长,b,a,的最小值是,(,),【,解析,】,数形结合如右图，要使值域为,0,2,，,(b-a),min,=,【,答案,】,B,4,设,x,1,，,x,2,为,y,f(x),的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：,(x,1,x,2,)f(x,1,),f(x,2,),0,(x,1,x,2,)f(x,1,),f(x,2,),0,；,其中能推出函数,y,f(x),为增函数的命题为,_,【,解析,】,依据增函数的定义可知，对于，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以可推出函数,y,f(x),为增函数,【,答案,】,5,函数,y,的值域为,_,【,答案,】,(,，,1)(1,，,),【,解析,】,由函数的图象得,y,1,或,y,1,，,值域为,(,，,1)(1,，,),函数单调性的判定,试讨论函数,f(x),，,x(,1,1),的单调性,(,其中,a0),【,思路点拨,】,可根据定义，先设,1,x,1,x,2,1,，然后作差、变形、定号、判断；也可以求,f(x),的导函数，然后判断,f(x),与零的大小关系,【,自主探究,】,方法一：,根据单调性的定义求解,设,1,x,1,x,2,1,，,1,x,1,x,2,1,，,|x,1,|,1,，,|x,2,|,1,，,x,2,x,1,0,，,x,1,2,1,0,，,x,2,2,1,0,，,|x,1,x,2,|,1,，,即,1,x,1,x,2,1,，,x,1,x,2,1,0.,因此，当,a,0,时，,f(x,1,),f(x,2,),0,，,即,f(x,1,),f(x,2,),，此时函数为减函数,当,a,0,时，,f(x,1,),f(x,2,),0,，,即,f(x,1,),f(x,2,),，此时函数为增函数,方法二：,f(x),即,f(x),0,，此时,f(x),在,(,1,1),上为减函数,同理，当,a,0,时，,f(x),在,(,1,1),上为增函数,综上可知，,a,0,时，,f(x),在,(,1,1),上为减函数；,a,0,时，,f(x),在,(,1,1),上为增函数,【,方法点评,】,1.,用定义证明函数单调性的一般步骤,(1),取值：即设,x,1,，,x,2,是该区间内的任意两个值，且,x,1,x,2,.,(2),作差：即,f(x,2,),f(x,1,)(,或,f(x,1,),f(x,2,),，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形,(3),定号：根据给定的区间和,x,2,x,1,的符号，确定差,f(x,2,),f(x,1,)(,或,f(x,1,),f(x,2,),的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论,(4),判断：根据定义得出结论,2,求函数的单调性或单调区间的方法,(1),利用已知函数的单调性,(2),定义法：先求定义域，再利用单调性定义,(3),图象法：如果,f(x),是以图象形式给出的，或者,f(x),的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间,(4),导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间,【,特别提醒,】,函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数,y,在,(,，,0),和,(0,，,),内都是单调递减的，但不能说它的整个定义域即,(,，,0)(0,，,),内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为,(,，,0),和,(0,，,),，不能用,“,”,【,解析,】,方法一：,(,定义法,),由于函数的定义域为,x|x,R,且,x0,，且,f(,x),f(x),，所以函数,f(x),为奇函数，因此可先讨论在,(0,，,),上的单调性设,0,x,1,x,2,，则,1,讨论函数,f(x),x,(a,0),的单调性,方法二：,(,导数法,),由于函数的定义域为,x|xR,且,x0,，且,f(,x),f(x),，所以函数,f(x),为奇函数，因此可先讨论在,函数的值域与最值,求下列函数的值域，并指出函数有无最值：,【,思路点拨,】,(1),消去分子上的变量；,(2),对,1,2x,换元；,(3),利用式子的几何意义,【,自主探究,】,函数有最大值为,1,，无最小值,(3),数形结合法或图象法,原函数式可化为,此式可以看作点,(2,0),和,(cos x,，,sin x),连线的斜率而点,(cos x,，,sin x),的轨迹方程为,x,2,y,2,1,，在坐标系中作出圆,x,2,y,2,1,和点,(2,0),如图所示，由图可看出，当过,(2,0),的直线,与圆相切时，斜率分别取得最大值和最小值，由直线与圆的位置关系知识：,可设直线方程为,y=k(x-2),，即,kx-y-2k=0,，,【,方法点评,】,函数的值域与最值是相互关联的，求出了函数的值域也就有了函数的最值，当然只知道函数有一个最值是无法得出函数的值域的在求最值时常采用的方法是：,(1),二次函数型配方法；,(2),利用函数的单调性；,(3),数形结合等,2,求下列函数的值域：,【,解析,】,(1),函数的定义域是,x|xR,且,x2,，,如图所示，,函数的值域为,y|y,R,且,y3,函数单调性的应用,(2009,年江苏南京检测,),已知函数,f(x),(x,R,，且,x2),(1),求,f(x),的单调区间；,(2),若函数,g(x),x,2,2ax,与函数,f(x),在,x0,1,上有相同的值域，求,a,的值；,(3),设,a1,，函数,h(x),x,3,3a,2,x,5a,，,x0,1,，若对于任意,x0,1,，总存在,x,0,0,1,，使得,h(x,0,),f(x),成立，求,a,的取值范围,【,思路点拨,】,(1),利用函数单调性定义证明，也可以利用导函数来证明,(2),由,f(x),在,0,1,上的单调性可求其值域再列式求,a.,(3),根据单调性求值域再列不等式求解,【,自主探究,】,令,x,2,t,，由于,y,t,4,在,(,，,2),，,(2,，,),内单调递增，在,(,2,0),，,(0,2),内单调递减，容易求得,f(x),的单调递增区间为,(,，,0),，,(4,，,),；单调递减区间为,(0,2),，,(2,4),(2)f(x),在,x0,1,上单调递减，其值域为,1,0,，,即,x0,1,时，,g(x),1,0,g(0),0,为最大值，最小值只能为,g(1),或,g(a),，,综上得,a,1.,(3),设,h(x),的值域为,A,，由题意知,1,0,A.,以下首先证明,h(x),的单调性：设,0 x,1,x,2,1,，,h(x,1,),h(x,2,),x,1,3,x,2,3,3a,2,(x,1,x,2,),(x,1,x,2,)(x,1,2,x,1,x,2,x,2,2,3a,2,),0(a1,3a,2,3,，,x,1,2,x,1,x,2,x,2,2,3),，,h(x),在,0,1,上单调递减,a,的取值范围是,2,，,),【,方法点评,】,本题主要考查函数单调区间的求解以及函数单调性的应用，其中解决第,(3),问的关键是根据题意，将问题转化为集合之间的包含关系，从而建立参数不等式进行求解,3,(2009,年临沂模拟,),已知,f(x),是定义在区间,1,1,上的奇函数，且,f(1),1,，若,m,，,n,1,1,，,m,n0,时，有,0.,(1),解不等式,f(x,),f(1,x),(2),若,f(x)t,2,2at,1,对所有,x,1,1,，,a,1,1,恒成立，求实数,t,的取值范围,【,解析,】,(1),任取,x,1,，,x,2,1,1,，且,x,2,x,1,，,则,f(x,2,),f(x,1,),f(x,2,),f(,x,1,),所以,f(x,2,),f(x,1,),，所以,f(x),是增函数,(2),由于,f(x),为增函数，,所以,f(x),的最大值为,f(1),1,，,所以,f(x)t,2,2at,1,对,x,1,1,，,a,1,1,恒成立,t,2,2at,11,对任意,a,1,1,恒成立，,即,t,2,2at0,对任意,a,1,1,恒成立,令,g(a),t,2,2at,2ta,t,2,，,解得,t,2,或,t,0,或,t2.,1,(2009,年辽宁高考,),已知偶函数,f(x),在区间,0,，,),单调递增，则满足,f(2x,1),的,x,的取值范围是,(,),【,答案,】,A,【,解析,】,f(x),是偶函数，其图象关于,y,轴对称，又,f(x),在,0,，,),上递增，,故选,A.,2,(2009,年福建
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