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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章：证明（一）,八年级 上 册,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,0 1 2 3 4 5 6 7 8,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,回忆与思考,直观是把“双刃剑,直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗,?,回顾与思考,a,b,c,d,a,b,a,b,每个命题都由条件和结论两局部组成.条件是事项,结论是由项推断出的事项.,一般地,命题可以写成“如果,那么的形式,其中“如果引出的局部是条件,“那么引出的局部是结论.,正确的命题称为真命题，不正确的的命题称为假命题,要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例,定义,:,对名称和术语的含义加以描述,作出明确,的规定,也就是给出它们的,定义,.,命题,:,判断一件事情的句子,叫做,命题,.,回忆与思考,知多少,公理,:,公认的真命题称为公理,(axiom).,证明,:,除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理,的方法证实,.,推理的过程称为证明,.,定理,:,经过证明的真命题称为定理,(theorem).,本套教材选用如下命题作为公理,:,1.,两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行,;,2.,两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,;,3.,两边夹角对应相等的两个三角形全等,;,4.,两角及其夹边对应相等的两个三角形全等,;,5.,三边对应相等的两个三角形全等,;,6.,全等三角形的对应边相等,对应角相等,.,回顾与思考,知多少,平行线的判定,公理,:,同位角相等,两直线平行,.,1=2,ab.,判定,定理,1,:,内错角相等,两直线平行,.,1=2,ab.,判定,定理,2,:,同旁内角互补,两直线平行,.,1+2=180,0,ab.,a,b,c,2,1,a,b,c,1,2,a,b,c,1,2,几何的,三种语言,公理,:,两直线平行,同位角相等,.,ab,1=2.,性质定理,1:,两直线平行,内错角相等,.,ab,1=2.,性质定理,2:,两直线平行,同旁内角互补,.,ab,1+2=180,0,.,a,b,c,2,1,a,b,c,1,2,a,b,c,1,2,几何的,三种语言,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形内角和定理,三角形三个内角的和等于,180,0,.,ABC,中,A+B+C=,180,0,.,A+B+C=,180,0,的几种变形,:,A=,180,0,(B+C).,B=,180,0,(A+C).,C=,180,0,(A+B).,A+B=,180,0,-,C.,B+C=,180,0,-,A.,A+C=,180,0,-,B.,这里的结论,以后可以直接运用,.,A,B,C,回顾与思考,关注三角形的外角,三角形内角和定理的推论,:,推论,1:,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,.,推论,2:,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,.,推论,3:,直角三角形的两锐角互余,.,ABC中,:,1=2+3;,12,13.,A,B,C,D,1,2,3,4,这个结论以后可以直接运用.,几何的,三种语言,证明一个命题的一般步骤:,(1)弄清题设和结论;,(2)根据题意画出相应的图形;,(3)根据题设和结论写出,求证;,(4)分析证明思路,写出证明过程.,胜者的“钥匙,回顾与思考,“行家看“门道,如图,：,1,是,ABC,的一个外角,1,与图中的,其它角有什么关系,?,1+4=,180,0,;,12;,13;,1=2+3.,证明:2+3+4=1800(三角形内角和定理),1+4=1800(平角的意义),1=2+3.(等量代换).,12,13(和大于局部).,探索思考,A,B,C,D,1,2,3,4,能证明你的结论吗,?,用,文字表述为,:,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,.,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,.,内涵与外延,在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理,.,像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的,推论,.,推论可以当作定理使用,.,三角形内角和定理的推论,:,推论,1:,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,.,推论,2:,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,.,关注外角,A,B,C,D,1,2,3,4,“行家看“门道,例1 :如图,在ABC中,AD平分外角,EAC,B=C.,求证:ADBC.,证明,:,EAC=B+C(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,),例题欣赏,ab(,内错角相等,两直线平行,).,B=C(),DAC=C(,等量代换,).,A,C,D,B,E,分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等,“内错角相等或“同旁内角互补.,AD平分 EAC().,C=EAC(等式性质).,DAC=EAC(角平分线的定义).,例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行得到了证实.,例2 :如图,在ABC中,1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.,求证:12.,证明:1是ABC的一个外角(),把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及本卷须知内化为一种方法.,13(三角形的一个外角大于,任何一个和 它不相邻的内角).,3是CDE的一个外角(外角定义).,32(三角形的一个外角大于任,何一个和 它不相邻的内角).,12(不等式的性质).,C,A,B,F,1,3,4,5,E,D,2,例题欣赏,“行家看“门道,我能行,:如下图,在ABC中,外角DCA=100,A=45.,求：B和ACB的大小.,A,B,C,D,解:,DCA是ABC的一个外角(),DCA=100(),B=,100-45,=,55.(,三角形的一个外角等,于和它不相邻的两个内角的和,).,又,DCA+BCA=180,(平角意义).,ACB=,80,(等式的性质).,A=45(),例题欣赏,你认识外角吗?,:国旗上的正五角星形如下图.,求:A+B+C+D+E的度数.,解:1是BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.,1=,B+D(,三角形的一个外角等于,和它不相邻的两个内角的和,),2=,C+E(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,),又,A+1+2,=1,80,(三角形内角和定理),又 2是EHC的一个外角(外角的意义),A,B,C,D,E,F,1,H,2,A+B+C+D+E,=1,80,(等式性质),例题欣赏,你认识外角吗?,试一试,证明(1):BDC是DCE的一个外角 (外角意义),BDCCED,(,三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角,).,DECA,(,三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角,).,BDC,A,(不等式的性质).,DEC是ABE的一个外角 (外角意义),:如下图.,求证:(1)BDCA;,(2)BDC=A+B+C.,B,C,A,D,E,你认识外角吗?,:如下图.,求证:(1)BDCA;,(2)BDC=A+B+C.,试一试,证明(2):BDC是DCE的一个外角 (外角意义),BDC,=,C+CED,(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,).,DEC=A+B,(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和,).,BDC=,A+B+C,(等式的性质).,DEC是ABE的一个外角 (外角意义),B,C,A,D,E,回味无穷,理解几何命题证明的方法,步骤,格式及本卷须知.,三角形内角和定理,三角形三个内角的和等于1800.ABC中,A+B+C=1800.,推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.,推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,关注三角形的外角.,推论3:直角三角形的两锐角互余.,你准备如何提高证明命题的能力呢?,小结 拓展,1.如图：将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的线段最短？研究发现，并非对角线最短，而是如下图的连法最短即用线段AE，DE，EF，BF，CF把四个顶点连接起来.,图中DAE=ADE=300，AEF=BFE=1200.,你能证明此时的ABEF吗？.,证明：DAB=900(正方形性质)，DAE=300()，,BAE=600(等式性质).,AEF=1200()，,BAE+AEF=1800(等式性质).,ABEF(同旁内角相等，两直线平行).,A,B,C,D,1题图,E,F,“行家看“门道,2+4=180,0,(两直线平行，同旁内角互补),2.：如图，直线 a,b被 直线c所截，ab.,求证：1+2=1800.,b,a,c,2,1,2题图,证明1:ab(),2=3(两直线平行，内错角相等),3,又1+3=180,0,(平角意义),1+2=180,0,(等量代换),证明2:ab(),1=4(,对顶角相等),1+2=180,0,(等量代换).,4,“行家看“门道,3.:如图，1+2=1800.,求证:3=4.,分析,:,要证明,3=4,，只要证明,CDEF,；,而由,1+2=,180,0,，可得,1+5=,180,0,.,从而可得,CDEF,4,1,2,3,O,C,E,A,B,F,D,3题图,证明:1+2=1800()，,5,5=2(对顶角相等)，,1+5=,180,0,(等量代换).,CDEF,(同旁内角互补，两直线平行).,3=4(两直线平行，同位角相等).,“行家看“门道,知识的升华,作业：复习题,再见！,
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