11《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》

栏目导引,新知初探思维启动,典题例证技法归纳,知能演练轻松闯关,精彩推荐典例展示,第一章计数原理,第一章计数原理,第一章计数原理,1,1,分类加法计数原理与分步乘法计数原理,第一章计数原理,学习导航,新知初探思维启动,1,分类加法计数原理,完成一件事有两类不同的方案，在第,1,类方案中有,m,种不同的方法，在第,2,类方案中有,n,种不同的方法，那么完成这件事共有,N,_,种不同的方法,做一做,1.,若某班有男生,26,人，女生,24,人，从中选一位同学为数学课代表，有,_,种不同选法,答案：,50,m,n,2,分步乘法计数原理,完成一件事需要两个步骤，做第,1,步有,m,种不同的方法，做第,2,步有,n,种不同的方法，那么完成这件事共有,N,_,种不同的方法,想一想,分步乘法计数原理中的,“,各步方法,”,能单独,“,完成这件事,”,吗？,提示：,不能,m,n,做一做,2.,已知集合,A,1,2,，,B,3,4,5,，从集合,A,和集合,B,中分别取一个元素作为平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，可确定,_,个不同点,答案：,6,典题例证技法归纳,例,1,题型探究,题型一分类加法计数原理,在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,【,解,】,法一：按十位上的数字分别是,1,2,3,4,5,6,7,8,的情况分成,8,类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是,8,个,7,个,6,个,5,个,4,个,3,个,2,个,1,个由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有,8,7,6,5,4,3,2,1,36(,个,),法二：按个位上的数字是,2,3,4,5,6,7,8,9,分成,8,类,在每一类中满足条件的两位数分别是,1,个,2,个,3,个,4,个,5,个,6,个,7,个,8,个,所以按分类加法计数原理,满足条件的两位数共有,1,2,3,4,5,6,7,8,36(,个,),【,名师点评,】,利用分类加法计数原理时要注意：,(1),要准确理解题意,确定分类的标准,(2),分类时要做到,“,不重不漏,”,即类与类之间要保证相互间的独立性,互动探究,1,本例条件不变,问个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？,解：当个位数字为,0,1,2,3,4,5,6,7,8,时,符合条件的两位数分别有,9,8,7,6,5,4,3,2,1,个,根据加法计数原理共有,9,8,7,6,5,4,3,2,1,45(,个,),例,2,从,1,2,3,4,中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个？,(1),三位数；,(2),三位数的偶数,【,解,】,(1),三位数有三个数位,故可分三个步骤完成：,第,1,步,排个位,从,1,2,3,4,中选,1,个数字,有,4,种方法；,第,2,步,排十位,从剩下的,3,个数字中选,1,个,有,3,种方法；,第,3,步,排百位,从剩下的,2,个数字中选,1,个,有,2,种方法依据分步乘法计数原理,共有,4,3,2,24,个满足要求的三位数,.,题型二分步乘法计数原理,百位,十位,个位,(2),分三个步骤完成：,第,1,步,排个位,从,2,4,中选,1,个,有,2,种方法；,第,2,步,排十位,从余下的,3,个数字中选,1,个,有,3,种方法；,第,3,步,排百位,只能从余下的,2,个数字中选,1,个,有,2,种方法,故共有,2,3,2,12,个三位数的偶数,【,名师点评,】,利用分步乘法计数原理解决问题时,一定要正确设计,“,分步,”,的程序,即完成这件事共分几步,每一步的具体内容是什么,各步的方法、种数是多少,最后用分步乘法计数原理求解,跟踪训练,2,某商店现有甲种型号电视机,10,台,乙种型号电视机,8,台,丙种型号电视机,12,台,从这三种型号的电视机中各选,1,台检验,有多少种不同的选法？,解：从这三种型号的电视机中各选,1,台检验可分三步完成：,第一步,从甲种型号中选,1,台,有,10,种不同的选法；,第二步,从乙种型号中选,1,台,有,8,种不同的选法；,第三步,从丙种型号中选,1,台,有,12,种不同的选法,根据分步乘法计数原理,不同的选法共有,10,8,12,960,种,例,3,现有高一学生,50,人,高二学生,42,人,高三学生,30,人,组成冬令营,(1),若从中选,1,人作总负责人,共有多少种不同的选法？,(2),若每年级各选,1,名负责人,共有多少种不同的选法？,(3),若从中推选两人作为中心发言人,要求这两人要来自不同的年级,则有多少种选法？,【,解,】,(1),从高一选,1,人作总负责人有,50,种选法,;,从高二选,1,人作总负责人有,42,种选法,;,从高三选,1,人作总负责人有,30,种选法由分类加法计数原理,可知共有,50,42,30,122(,种,),选法,题型三两个计数原理的综合应用,(2),从高一选,1,名负责人有,50,种选法,;,从高二选,1,名负责人有,42,种选法,;,从高三选,1,名负责人有,30,种选法由分步乘法计数原理,可知共有,50,42,30,63 000(,种,),选法,(3),高一和高二各选,1,人作中心发言人,有,50,42,2 100(,种,),选法,;,高二和高三各选,1,人作中心发言人,有,42,30,1 260(,种,),选法,;,高一和高三各选,1,人作中心发言人,有,50,30,1 500(,种,),选法故共有,2 100,1 260,1 500,4 860(,种,),选法,【,名师点评,】,(1),在处理具体的应用题时,首先必须弄清是,“,分类,”,还是,“,分步,”,其次要搞清,“,分类,”,或,“,分步,”,的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,可以避免计数的重复或遗漏,(2),对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰,跟踪训练,3,某艺术小组有,9,人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中,7,人会钢琴,3,人会小号,从中选出会钢琴与小号的各,1,人,有多少种不同的选法？,解,:,由题意可知,在艺术小组,9,人中,有且仅有,1,人既会钢琴又会小号,(,把该人称为,“,多面手,”,),只会钢琴的有,6,人,只会小号的有,2,人,把选出会钢琴,小号各,1,人的方法分为两类,:,第一类,:,多面手入选,另,1,人只需从其他,8,人中任选一个,故这类选法共有,8,种,第二类,:,多面手不入选,则会钢琴者只能从,6,个只会钢琴的人中选出,会小号者也只能从只会小号的,2,人中选出,故这类选法共有,6,2,12,种,因此,N,8,6,2,20(,种,),故共有,20,种不同的选法,用两个计数原理解决计数问题时,要明确需要分类还是需要分步,(1),分类,:,是将完成这件事的所有方式分类,分类要做到,“,不重不漏,”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数,(2),分步,:,是将完成这件事的每一个方式分步,分步要做到,“,步骤完整,”,完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数,方法感悟,(3),对于有些计数问题的解决,对它们既需要进行,“,分类,”,又需要进行,“,分步,”,那么此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题解决这类问题,首先,要明确是先,“,分类,”,后,“,分步,”,还是先,“,分步,”,后,“,分类,”,;,其次,在,“,分类,”,和,“,分步,”,的过程中,均要确定明确的分类标准和分步程序,(4),有些计数问题既可以用分类加法计数原理,又可以用分步乘法计数原理解决问题,此时要注意权衡用哪种方法解决较为简单,精彩推荐典例展示,题意不明致误,有红、黄、蓝旗各,3,面,每次升,1,面,2,面,3,面在某一旗杆上纵向排列,表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,共可以组成多少种不同的信号？,【,常见错误,】,求解只注意顺序不同表示不同的信号,而忽略了旗数不同也表示不同信号,例,4,易错警示,【,解,】,每次升,1,面旗可组成,3,种不同的信号,;,每次升,2,面旗可组成,3,3,9(,种,),不同的信号,;,每次升,3,面旗可组成,3,3,3,27(,种,),不同的信号根据分类加法计数原理得,共可组成,:3,9,27,39(,种,),不同的信号,【,防范措施,】,求解此类问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏,分步时要注意步与步之间的连续性,跟踪训练,4,火车上有,10,名乘客,沿途有,5,个车站,乘客下车的可能方式有,(,),A,5,10,种,B,10,5,种,C,50,种,D,500,种,解析,:,选,A.,分,10,步第,1,步,:,考虑第,1,名乘客下车的所有可能有,5,种,第,2,步,:,考虑第,2,名乘客下车的所有可能有,5,种,第,10,步,:,考虑第,10,名乘客下车的所有可能有,5,种,故共有乘客下车的可能方式 ,5,10,种,