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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,3.2.1,线性相关性概念,设,定义,1,是,m,个,n,维向量，如果存在,m,个不全为零的数 使得,见书中例,1,2,（,P87,）,3.2.2,求相关系数的方法,考虑,m,个,n,维列向量：,即 有非零解，这里 为,矩阵,.,求出的非零解的,m,个分量,就是所要求的相关系数。类似地，,m,个,n,维行向量 线性相关,例 讨论向量组,线性相关，则,的线性相关性,.,若,解,由于,从而,线性相关,求出一组不全为零的数,即变量个数大于方程个数有自由变量,定理,3.2.2,如果向量组 线性无关，而,添加一个同维向量 后所得到的向量组,线性相关，则 可以用 线性表出，且表示法是惟一的。,证 可表性 因为 为线性相关组，所,以存在不全为零的,m+1,个数 使得,如果 ，则 不全为零，且,，这与 为线性无关组的假设矛盾。所以必有 ，于是得到线性表出式。,即 可由向量组 线性表出。,惟一性：如果由两个线性表出式,则有,因为 线性无关，必有 即,所以线性表出式惟一。,定理,3.2.3,设 为线性相关组，则任意扩充后的同维向量组 ，必为线性相关组。,定理,3.2.3,可以简述为,“,相关组的扩充向量组必为相关组,”，或者,“,部分相关，整体必相关,”,.,它的等价说法是,“,无关组的子向量组必为无关组,”或者,“,整体无关，部分必无关,”,.,定理,3.2.4,设有两个向量组，它们的前,n,个分量对应相等：,如果 为线性相关组，则 必为线性相关组。,证 因为 为线性相关组，所以一定存在不全为零的数 使得,其中前,n,个等式成立也就是下述向量方程成立：,这就证明了 为线性相关组。,我们把向量组 称为向量组,的,“,接长,”,向量组；而把向量组 称为向量组 的,“,截短,”,向量组。,定理,3.2.4,可以简述为,“,相关组的截短向量组必为相关组,”,.,它的等价说法是,“,无关组的接长向量组必为无关组,”,.,注意,:,“,扩充或子组,”,与,“,接长或截短,”,的区别，前者是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变，维数增减,.,例,12,考虑以下三个向量组,:,其中,B,是,A,的子向量组,A,是,B,的扩充向量组,C,是,A,的接长向量组,A,是,C,的截短向量组,.,
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