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,第二章 方程（组）与一元一次不等式,（组）,第,5,讲一次方程,(,组,),及其应用,知识点,1,等式的性质,1,.,若,a,b,，则,a,c,b,_,.,2,.,若,a,b,，则,ac,_,；若,a,b,(,c,0),，则 ,_,.,3,.,(,对称性,),如果,a,b,，那么,b,_,.,4,.,(,传递性,),如果,a,b,，,b,c,，那么,a,_,.,c,bc,a,c,知识点,2,方程的解,能够使方程中等号左右两边,_,的未知数的值，叫做方程的解，求方程的解的过程叫做解方程,.,相等,知识点,3,一元一次方程及其解法,1,.,概念：,只含有,_,未知数，并且未知数的次数是,_,，等号两边都是,_,，这样的方程就叫做一元一次方程,.,一个,1,整式,2,.,解一元二次方程的一般步骤：,去分母,在方程两边都乘各分母的,_,(,若未知数的系数含有分母,，,则先去分母,),，,注意不要漏乘不含未知数的项,去括号,若括号前为负号,，,去括号后括号里面各项要,_,移项,把含有未知数的项都移到方程的一边,，,其他项都移到方程的另一边,，,注意移项时一定要,_,合并同,类项,把方程化成,ax,b,(,a,0),的形式,系数化,为1,方程两边都除以未知数的,_,，,得到方程的解,_,最小公倍数,变号,改变符号,系数,a,x,知识点,4,二元一次方程组及其解法,1,.,概念：,方程组中有,_,个未知数，含有每个未知数的项的次数都是,_,，并且一共有,_,个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组,.,2,.,解二元一次方程,(,组,),的基本思想是消元,.,3,.,两种基本解法：,*,_,，,(,_,.,两,1,两,代入消元法,加减消元法,知识点,5,三元一次方程组,(,新课标选学内容,1,.,概念：,方程组中含有,),_,个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是,_,_,，并且一共有,+,_,个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组,.,2,.,解三元一次方程组的思路：,三元一次方程 二元一次方程组,一元一次方程,消元,消元,三,1,三,知识点,6,一次方程,(,组,),的应用,1,.,一次方程,(,组,),的应用解题步骤：,(1),读懂题意，弄清楚什么是条件，求什么；,(2),设未知数：,a,.,直接设未知数，,b,.,间接设未知数；,(3),找等量关系，列方程,(,组,),；,(4),求出方程,(,组,),的解；,(5),验根,(,看是否符合题意，符合实际,),；,(6),写出答案,(,包括单位,).,2,.,常见的应用题类型及基本数量关系：,行,程,问,题,路程速度时间,相遇问题,甲走的路程乙走的路程两地距离,追及问题,同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；,同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者走的路程,航行问题,顺水速度静水速度水流速度；,逆水速度静水速度一水流速度,工程,问题,工作总量工作效率工作时间；,各部分工作量之和,1,销售,问题,售价标价,折扣；销售额售价,销量；,利润售价进价；利润进价,利润率,考点,1,一次方程,(,组,),的解法,考点精讲,1,.,(2021,株洲,),方程 ,1,2,的解是,(,),A,.,x,2,B,.,x,3,C,.,x,5,D,.,x,6,D,2,.已知实数,x,，,y,满足方程组 ，则,x,2,2,y,2,的值为,(,),A,.,1,B,.,1,C,.,3,D,.,3,A,解二元一次方程组的方法选择,（,1,）,.,当方程组中某一未知数的系数是,1,或,1,，,或方程组中某一方程的常数项为,0,时,，,选择代入法,(,用代入法消元时,，,注意移项时要变号,),较为简单,.,（,2,）,.,当方程组中同一未知数的系数相同或互为相反数,，,或当两个方程中同一未知数的系数成整数倍数关系时,，,选择加减法,(,用加减消元法时,，,注意正系数减负系数的情况,),较为简单,.,注：若已知方程组,，,求含两个未知数的代数式的值时,，,可以不解方程,，,用简便方法,，,即将方程组的两个方程相加或相减,，,再比较所得式子与所求代数式的异同,，,从而求解,.,（,3,）,.,不满足以上两种情况时,，,可通过找某一未知数系数的最小公倍数使该未知数的系数相同或互为相反数,，,再采用加减法较为合适,.,对点训练,1,.,关于,x,的一元一次方程,2,x,a,2,m,4,的解为,x,1,，则,a,m,的值为,(),A,.,9 B.8 C.5 D.4,C,2,.,(2020,嘉兴,),用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是,(),A,.,2,B.,(,3),C,.,(,2),D.,3,，,D,3.,已知二元一次方程组,则 的值是,(),A,.,5,B,.,5,C,.,6,D,.,6,C,3,.,A,，,B,两地相距,37 km,，甲从,A,地步行到,B,地，乙从,B,地步行到,A,地，甲比乙晚出发,1,h,，乙出发,5,h,后两人在途中相遇.已知甲每小时比乙多走,1 km,，设甲每小时走,x,km,，根据题意可得方程,(,),A,.,4,x,5(,x,1),37 B,.,5,x,4(,x,1),37,C,.,4,x,5(,x,1),37 D,.,5,x,4(,x,1),37,考点,2,一次方程,(,组,),的应用,考点精讲,A,4,.小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买,20,支铅笔和,10,本笔记本共需,110,元；购买,30,支铅笔和,5,本笔记本共需,85,元.设每支铅笔,x,元，每本笔记本,y,元，则可列方程组为,(,),B,5,.,(2020,黄石,),我国传统数学名著,九章算术,记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有,5,头牛、,2,只羊，值,19,两银子；,2,头牛、,5,只羊，值,16,两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，解答下列问题：,(1),求每头牛、每只羊各值多少两银子；,解：,(1),设每头牛值,x,两银子，每只羊值,y,两银子,.,根据题意，得,2x,5y,16,，,(),解得,y,2.(x,3,，,),答：每头牛值,3,两银子，每只羊值,2,两银子,.,(2),若某商人准备用,19,两银子买牛和羊,(,要求既有牛也有羊，且银两须全部用完,),，请问商人有几种购买方案？列出所有可能的购买方案.,设购买,a,头牛，,b,只羊,.,根据题意，得,3,a,2,b,19,，,b,.,a,，,b,都是正整数，,b,8(2,，,(a,5,，,),商人有三种购买方案：,方案一：购买,1,头牛，,8,只羊；,方案二：购买,3,头牛，,5,只羊；,方案三：购买,5,头牛，,2,只羊,.,对点训练,5,.,(2021,武汉,),我国古代数学名著,九章算术,中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出,8,钱，多出,3,钱；每人出,7,钱，还差,4,钱.问人数，物价各是多少？若设共有,x,人，物价是,y,钱，则下列方程正确的是,(),A,.,8(,x,3),7(,x,4)B,.,8,x,3,7,x,4,D,5,.,某服装店某天用相同的价格,a,(,a,0),卖出了两件服装，其中一件盈利,20%,，另一件亏损,20%,，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是,(),A,.,盈利,B.,亏损,C,.,不盈不亏,D.,与售价,a,有关,B,7,.,小甘到文具超市去买文具,.,请你根据图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元,.,解：设中性笔和笔记本的单价分别是,x,元、,y,元,.,根据题意,，,得,解得,答：中性笔和笔记本的单价分别是,2,元、,6,元,.,命题点,1,一次方程,(,组,),的解法,A,.,4,x,1,x,B,.,4,x,2,x,C,.,4,x,1,x,D,.,4,x,2,x,1,.,(2021,温州,),解方程,2(2,x,1),x,去括号正确的是,(),D,2,.,(,襄阳中考,),若方程,mx,ny,6,的两组解是 则,m,，,n,的值分别是,(),A,.,4,，,2 B,.,2,，,4,C,.,4,，,2 D,.,2,，,4,A,3,.,(,随州中考,),已知,是关于,x,，,y,的二元一次方程组 的一组解，则,a,b,的值是,_.,5,命题点,2,一次方程,(,组,),的应用,4,.,(2021,荆门,),我国古代数学古典名著,孙子算经,中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余,4.5,尺；将绳子对折再量，木条还剩余,1,尺；问长木多少尺？若设木条长为,x,尺，绳子长为,y,尺，则下面所列方程组正确的是,(),A,5,.,(2021,天门,),我国明代数学著作,算法统宗,一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长,5,尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短,5,尺.问绳索长几尺？如果,1,托为,5,尺，那么绳索长为,_,.,20,6,.,(2020,黄冈,),为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现：如果购买,6,盒羊角春牌绿茶和,4,盒九孔牌藕粉，共需,960,元；如果购买,1,盒羊角春牌绿茶和,3,盒九孔牌藕粉共需,300,元.请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？,解：设每盒羊角春牌绿茶需要,x,元，每盒九孔牌藕粉需要,y,元,.,根据题意，得,x,3y,300,，,(6x,4y,960,，,),解得,y,60.(x,120,，,),答：每盒羊角春牌绿茶需要,120,元，每盒九孔牌藕粉需要,60,元,.,12,.,(,2019,黄石,),“今有善行者行一百步，不善行者行六十步,.,”,(,出自,九章算术,),意思是：同样时间段内，走路快的人能走,100,步，走路慢的人只能走,60,步,.,假定两者步长相等，据此回答以下问题：,(1),今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走,100,步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走,600,步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？,解：,(1),设当走路慢的人再走,600,步时,，,走路快的人走,x,步,.,由题意,，,得,，,解得,x,1 000,，,1 000,600,100,300(,步,).,答：当走路慢的人再走,600,步时,，,走路快的人在前面,，,两人相隔,300,步,.,(2),今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走,200,步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？,(2),设走路快的人走,y,步才能追上走路慢的人,.,由题意,，,得,y,200,y,，,解得,y,500.,答：走路快的人走,500,步才能追上走路慢的人,.,11,.,(2019,随州,),2017,年，随州学子尤东梅参加,最强大脑,节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力,.,在,2019,年的,最强大脑,节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中“幻圆”这个项目充分体现了数学的魅力,.,如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：内、外两个圆周上的四个数字之和相等；外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为,_,和,_,.,2,9,
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