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第,*,页 共,49,页,第,*,页 共,49,页,第二讲 命题及其关系,充分条件与必要条件,回归课本,1.,命题,(1),一般地,我们把用,语言,符号,或,式子,表达的,可以判断真假的,陈述句,叫命题,其中判断为,真,的语句叫,真命题,判断为,假,的语句叫,假命题,.,(2),“,若,p,则,q,”,是数学中常见的命题形式,其中,p,叫做命题的,条件,q,叫做命题的,结论,.,(3),若原命题为,“,若,p,则,q,”,则它的逆命题为,若,q,则,p,它的否命题为,若,p,则,q,它的逆否命题为,若,q,则,p,.,(4),互为逆否的命题是,等价的,它们同真同假,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为,0,2,4,个,.,(5),否命题与命题的否定的区别,:,首先,只有,“,若,p,则,q,”,形式的命题才有否命题,其形式为,“,若,p,则,q.,”,其他形式的命题只有,“,否定,”,而没有否命题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而,“,若,p,则,q,”,形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反,.,2.,充要条件,(1),“,若,p,则,q,”,为真命题是指,由,p,通过推理可以得出,q,这时我们就说由,p,可以推出,q,记作,pq,并说,p,是,q,的,充分,条件,q,是,p,的,必要,条件,.,(2),若既有,pq,又由,qp,则,p,是,q,的,充分必要,条件,记作,pq,.,(3),从集合的角度认识充分条件,必要条件,.,设,AB,为两个集合,A=,x|p,(x),B=,x|q,(x),则若,A,B,则,p,是,q,的充分条件,q,是,p,的必要条件,;,若,B,A,则,p,是,q,的必要条件,;,若,A=B,则,p,是,q,的充要条件,.,3.,反证法证明命题的一般步骤,(1),否定结论,(2),从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3),断定假设错误,肯定结论成立,.,反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有,“,至多,”,“,至少,”,“,惟一,”,“,不可能,”,“,不都,”,等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立,.,考点陪练,答案,:B,2.,“,m2,”,是,“,方程,x,2,-mx+m+3=0,的两根都大于,1,”,的,(),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,不充分不必要条件,(2)m2,时,取,m=3,此时方程为,x,2,-3x+6=0,无实根,即,m2,不能推出,x,1,1,且,x,2,1.,由,(1)(2),知,m2,是方程的两根都大于,1,的必要不充分条件,.,答案,:B,3.(2010,陕西,),对于数列,a,n,“,a,n+1,|a,n,|,(n=1,2,),”,是,“,a,n,为递增数列,”,的,(),A.,必要不充分条件,B.,充分不必要条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,:,因为,a,n+1,|a,n,|,a,n+1,a,n,a,n,为递增数列,但,a,n,为递增数列,a,n+1,a,n,推不出,a,n+1,|a,n,|,故,“,a,n+1,|a,n,|,(n=1,2,),”,是,“,a,n,为递增数列,”,的充分不必要条件,选,B.,答案,:B,4.(2010,山东,),设,a,n,是等比数列,则,“,a,1,a,2,a,3,”,是,“,数列,a,n,是递增数列,”,的,(),A.,充分而不必要条件,B.,必要而不充分条件,C.,充分必要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,:,由题可知,若,a,1,a,2,0,时,解得,q1,此时数列,a,n,是递增数列,当,a,1,0,时,解得,0q1,此时数列,a,n,是递增数列,;,反之,若数列,a,n,是递增数列,则,a,1,a,2,a,3,成立,所以,“,a,1,a,2,b,则,a,2,b,2,”,的逆否命题,;,(3),“,若,x-3,则,x,2,+x-60,”,的否命题,;,(4),“,若,a,b,是无理数,则,ab,是无理数,”,的逆命题,.,其中真命题的个数是,(),A.0 B.1 C.2 D.3,解,(1),逆命题为,“,若,xy,互为相反数,则,x+y=0,”,是真命题,.,(2),原命题为假,其逆否命题为假,.,(3),否命题为,“,若,x-3,则,x,2,+x-60,”,假如,x=4-3,但,x,2,+x-6=140,故为假,.,(4),逆命题,“,若,ab,是无理数,则,a,b,也是无理数,”,假如则,a,b,=2,是有理数,.,故为假,.,答案,B,反思感悟,判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需证明,.,类型二四种命题及其关系,解题准备,:,互为逆否关系的命题是等价命题,:,原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,.,所以,:,当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假,;,原命题,逆命题,否命题,逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是,0,个,2,个,4,个,.,【,典例,2】,分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,命题的否定,并判断它们的真假,:,(1),若,q1,则方程,x,2,+2x+q=0,有实根,;,(2),若,xy=0,则,x=0,或,y=0;,(3),若,x,2,+y,2,=0,则,x,、,y,全为,0.,解,(1),原命题是真命题,;,逆命题,:,若方程,x,2,+2x+q=0,有实根,则,q1,为真命题,;,否命题,:,若,q1,则方程,x,2,+2x+q=0,无实根,为真命题,;,逆否命题,:,若方程,x,2,+2x+q=0,无实根,则,q1,为真命题,;,命题的否定,:,若,q1,则方程,x,2,+2x+q=0,无实根,为假命题,.,(2),原命题为真命题,;,逆命题,:,若,x=0,或,y=0,则,xy=0,是真命题,;,否命题,:,若,xy0,则,x0,且,y0,是真命题,;,逆否命题,:,若,x0,且,y0,则,xy0,是真命题,;,命题的否定,:,若,xy=0,则,x0,且,y0,是假命题,.,(3),原命题为真命题,.,逆命题,:,若,x,、,y,全为,0,则,x,2,+y,2,=0,为真命题,;,否命题,:,若,x,2,+y,2,0,则,x,、,y,不全为,0,为真命题,;,逆否命题,:,若,x,、,y,不全为,0,则,x,2,+y,2,0,为真命题,;,命题的否定,:,若,x,2,+y,2,=0,则,x,、,y,不全为,0,是假命题,.,反思感悟,(1),注意,:,“,都是,”,的否定是,“,不都是,”,而不是,“,都不是,”,因为,“,x,、,y,不都是奇数,”,包含,“,x,是奇数,y,不是奇数,”,“,x,不是奇数,y,是奇数,”,“,x,、,y,都不是奇数,”,三种情况,;,“,x=0,或,y=0,”,的否定是,“,x0,且,y0,”,而不是,“,x0,或,y0,”,因为,“,x=0,或,y=0,”,包含,“,x=0,且,y0,”,、,“,x0,且,y=0,”,“,x=0,且,y=0,”,三种情况,.,(2),要注意区别,“,否命题,”,与,“,命题的否定,”,:,否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定,.,类型三充分必要条件的判定与证明,解题准备,:,判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义,:,如果,p,q,则,p,叫做,q,的充分条件,原命题,(,或逆否命题,),成立,命题中的条件是充分的,也可称,q,是,p,的必要条件,;,如果,q,p,则,p,叫做,q,的必要条件,逆命题,(,或否命题,),成立,命题中的条件为必要的,也可称,q,是,p,的充分条件,;,如果既有,p,q,又有,q,p,记作,p,q,则,p,叫做,q,的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题,(,或逆否命题和否命题,),都成立,命题中的条件是充要的,.,【,典例,3】,求证方程,ax2+2x+1=0,有且只有一个负实数根的充要条件是,a0,或,a=1.,思路点拨,首先应从充分性和必要性两个方面进行证明,其次要注意对参数,a,的分类讨论,.,证明,充分性,:,当,a=0,时,方程变为,2x+1=0,其根为,x=-,方程只有一负根,.,当,a=1,时,方程为,x,2,+2x+1=0,其根为,x=-1.,方程只有一负根,.,当,a0,方程有两个不相等的根,且,方程有一正一负根,.,必要性,:,若方程,ax,2,+2x+1=0,有且仅有一负根,.,当,a=0,时,适合条件,.,当,a0,时,方程,ax,2,+2x+1=0,有实根,则,=4-4a0,a1,当,a=1,时,方程有一负根,x=-1.,若方程有且仅有一负根,综上方程,ax,2,+2x+1=0,有且仅有一负实数根的充要条件为,a0,或,a=1.,反思感悟,(1),这类证明问题需要证明充分性和必要性两个方面,因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分性,由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆,;(2),涉及一元二次方程根的问题,主要利用根的判别式进行求解,同时不能忘记对,x,2,项系数的分类讨论,.,探究,是否存在实数,p,使,“,4x+p0,”,的充分条件,?,如果存在,求出,p,的取值范围,.,分析,“,4x+p0,”,是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的,p,的范围,.,反思感悟,本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合数轴确定,p,的范围,.,错源一判断充分必要条件时不注意设问方式,【,典例,1】,使不等式,2x,2,-5x-30,成立的一个充分不必要条件是,(),A.x0,B.x,2,C.x,-1,3,5,D.x,-,或,x3,错解,由,2x,2,-5x-30,得,x3,或,x-,当,x3,或,x-,时能推出,B,选项,但当,B,选项成立时,不一定能推出,x3,或,x-,所以选,B.,剖析,本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条件和结论而导致的,.,正确的理解是所选选项是,2x,2,-5x-30,成立的充分不必要条件,.,正解,依题意所选选项能使不等式,2x,2,-5x-30,成立,但当不等式,2x,2,-5x-30,成立时,却不一定能推出所选选项,.,由于不等式,2x,2,-5x-30,的解为,:x3,或,x-,所以应选,C.,答案,C,错源二四种命题的结构不明致误,【,典例,2】,写出命题,“,若,a,b,都是偶数,则,a+b,是偶数,”,的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假,.,剖析,解本题易出现的错误有两个,:,一是对一个命题的逆命题,否命题,逆否命题的结构认识模糊出错,;,二是在否定一个结论时出错,如对,“,a,b,都是偶数,”,的否定应该是,“,a,b,不都是偶数,”,而不应该是,“,a,b,都是奇数,”,.,正解,逆命题,:,“,若,a+b,是偶数,则,a,b,都是偶数,.,”,它是假命题,;,否命题,:,“,若,a,b,不都是偶数,则,a+b,不是偶数,.,”,它是假命题,;,逆否命题,:,“,若,a+b,不是偶数,则,a,b,不都是偶数,.,”,它是真命题,.,评析,四种命题的结构与等价关系,如果原命题是,“,若,A,则,B,”,则这个命题的逆命题是,“,若,B,则,A,”,否命题是,“,若,A,则,B,”,逆否命题是,“,若,B,则,A,”,.,这里面有两组等价的命题,即,“,原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,”,.,在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系,.,技法一等价命题转化法,【,典例,1】,若,p:x+y3,q:x1,或,y2.,则,p,是,q,的什么条件,?,解,直接判断原命题,“,若,p,则,q,”,的真假比较难,但它的逆否命题即,“,若,x=1,且,y=2,则,x+y=3,”,显然为真,故原命题也为真,即,p,q,.,逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题,
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