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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 平面向量,人教,B,版数学,2,3.1,向量数量积的物理背景与定义,23.1向量数量积的物理背景与定义,向量,a,与,b,的夹角,同向,反向,垂直,向量a与b的夹角 同向 反向 垂直,正射影,|,a,|cos,|,a,|,|,a,|,正射影|a|cos|a|a|,3,向量的数量积,(,内积,),(1),叫做向量,a,与,b,的数量积,(,或内积,),，记作,a,b,，即,a,b,(2),两向量的数量积不是向量而是,，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异,(3),向量数量积的几何意义：向量,a,与向量,b,的数量积等于,a,的长度,|,a,|,与,b,在,a,方向上的正射影的数量,|,b,|cos,的乘积，或看作是,与,的乘积,|,a,|,b,|cos,a,，,b,|,a,|,b,|cos,a,，,b,数量,b,的长度,|,b,|,a,在,b,方向上,的正射影的数量,|,a,|cos,a,，,b,3向量的数量积(内积)|a|b|cosa，b|a|,4,向量数量积的性质,(1),如果,e,是单位向量，则,a,e,e,a,(2),a,b,；,(3),a,a,|,a,|,2,或,|,a,|,；,(4)cos,(,a,0,，,b,0),；,(5)|,a,b,|,.,|,a,|cos,a,，,e,a,b,0,|,a,|,b,|,4向量数量积的性质|a|cosa，eab0|a|,重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角,难点：平面向量数量积的定义及性质的理解，平面向量数量积的应用,重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及,1,两向量的数量积是一个实数，而不是向量要注意两向量数量积的书写为,a,b,，要与代数中的,a,，,b,的乘积,ab,区分开来,当,a,0,时，,a,b,0,不能推出,b,一定为零向量，这是因为对任一与,a,垂直的非零向量,b,，都有,a,b,0.,2,若,a,、,b,、,c,为实数，当,b,0,时，,ab,bc,a,c,，但对于向量的数量积，该推理不正确，即,a,b,b,c,/,a,c,.,由图很容易看出，虽然,a,b,b,c,，但,a,c,.,1两向量的数量积是一个实数，而不是向量要注意两向量数量积,3,向量数量积的性质的应用及证明,(1),如果,e,是单位向量，则,a,e,e,a,|,a,|cos.,证明：,a,e,|,a,|,e,|cos,|,a,|cos,，,e,a,|,e,|,a,|cos,|,a,|cos,，,a,e,e,a,|,a,|cos.,a,b,a,b,0.,3向量数量积的性质的应用及证明,证明：已知,a,b,，,若,a,、,b,中至少有一个为零向量，则符合条件,a,b,，,a,b,0,；,若,a,0,，,b,0,，由已知,90,，,a,b,|,a,|,b,|cos,0.,因此，,a,b,a,b,0.,已知,a,b,0,，,若,a,、,b,中至少有一个为零向量，满足,a,b,0,，根据定义知,a,b,；,若,a,0,，,b,0,，则,a,b,|,a,|,b,|cos,0,，即,cos,0.,又因为,0,180,，,90,，,a,b,.,因此，,a,b,0,a,b,；综上所述，,a,b,a,b,0.,证明：已知ab，若a、b中至少有一个为零向量，则符合条件,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,(2),性质,(1),可以帮助理解数量积的几何意义；性质,(2),可以解决有关垂直的问题；性质,(3),可以求向量的长度；性质,(4),可以求两向量的夹角；性质,(5),可以解决有关不等式的问题，当且仅当,a,b,时，等号成立五条性质，均可由向量数量积的定义推出,(2)性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义；性质(2)可以,例,1,已知向量,a,与轴,l,.,则下列命题,a,在,l,上的射影为正数；,a,在,l,上的射影为非负数；,a,在,l,上的射影为向量；,a,在,l,上的数量为非负数；,a,在,l,上的数量为实数；,a,在,l,上的数量为向量；,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,分析,利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题,分析利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题,解析,a,在,l,上的射影为向量这个向量的坐标叫做数量,故,不正确，,正确，,不正确，,正确，由向量夹角的范围可知,不正确,故选,.,答案,解析a在l上的射影为向量这个向量的坐标叫做数量,(2010,江西,),已知向量,a,，,b,满足,|b|,2,，,a,与,b,的夹角为,60,，则,b,与,a,上的投影是,_,答案,1,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,例,2,已知,|,a,|,2,，,|,b,|,5.,(1),若,a,b,，求,a,b,；,(2),若,a,b,，求,a,b,；,(3),若,a,，,b,夹角为,60,，求,a,b,.,分析,已知,|,a,|,与,|,b,|,，只需确定其夹角,，特别需注意,a,b,时有,0,和,180,两种可能,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,解析,(1),当,a,b,时，若,a,，,b,同向，则它们的夹角为,0,，所以,ab,|a|b,|cos0,10,；,若,a,，,b,反向，则它们的夹角为,180.,所以,a,b,|,a,|,b,|cos180,10.,(2),当,a,b,时，夹角为,90,，所以,a,b,|,a,|,b,|cos90,0.,(3),当,a,，,b,夹角为,60,时，,a,b,|,a|b,|cos60,5.,解析(1)当ab时，若a，b同向，则它们的夹角为0,点评,(1),用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角；,(2),当,a,b,时，要注意夹角为,0,和,180,两种情况,点评(1)用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角；,若向量,a,，,b,满足,|a|,|b|,1,，,a,与,b,的夹角为,120,，则,aa,ab,_.,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,例,3,已知,ABC,中，,a,，,b,，,B,是,ABC,中的最大角，若,ab,0,，试判断,ABC,的形状,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,答案,正三角形,答案正三角形,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,误解,、,、,、,中式子全部正确，故选,D.,误解、中式子全部正确，故选D.,正解,0,a,0,0,a,0,|,a,b,|,|,a,|,b,|cos,|,，,都不正确；故应选,B.,正解0a0,0a0,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,答案,C,解析,ab,|a|b|,cos,21,cos60,1.,答案C,2,下列四个命题：,若,ab,ac,，则,b,c,；,若,ab,0,，则,|,a,|,b,|,0,；,若,a,b,，则,ab,0,；,若,a,b,，则,|,ab,|,|,a,|,b,|.,其中正确命题的个数是,(,),A,4,个,B,3,个,C,2,个,D,1,个,2下列四个命题：,答案,C,解析,命题,中，若,a,0,，,b,c,，也有,a,b,a,c,0,，所以,错命题,中，若,a,，,b,的夹角为,90,，则由定义知,a,b,0,，但,|,a,|,b,|,0,，所以,错,答案C,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,答案,A,答案A,二、填空题,4,已知,a,b,12,，且,|,b,|,5,，则向量,a,在向量,b,的方向上的正射影的数量为,_,二、填空题,高中数学2-3-1向量数量积的物理背景与定义课件,
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