二阶常微分方程的级数解法-本征值问题3-1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二阶常微分方程的级数解法本征值问题,李莉,1,6-1,二阶常微分方程的级数解法,二阶线性常微分方程,为具一般性，设变数,x,是复变数，,p(x),，,q(x),，,y(x),为复变函数。,p(x),和,q(x),称为方程的系数。,方程的解完全由方程的系数决定,方程解的解析性完全由方程系数的解析性决定,用级数解法解常微分方程时，得到的解总是某一指定点 的邻域内收敛的无穷级数。方程系数,p(x),，,q(x),在 点的解析性就决定了级数解在 点的解析性，或者说，决定了级数解的形式，例如是,泰勒级数,还是,罗朗级数,。,2,二阶线性常微分方程的常点和奇点,如果,p(x),，,q(x),在 点解析，则称 为方程的,常点,；,如果,p(x),，,q(x),中至少有一个在 点不解析，则称 为方程的,奇点,；,例,1,：超几何方程,系数是：,在有限远处，,p(x),，,q(x),有两个奇点：,x=0,和,x=1,。所以，除了,x=0,和,x=1,是超几何方程的奇点外，有限远处的其它点都是方程的常点。,例,2,：勒让德方程,在有限远处的奇点为：,3,方程常点邻域内的级数解法,定理,如果,p(x),，,q(x),在圆 内解析，则在此圆内常微分方程初值问题,存在唯一的解,y(x),，并且,y(x),在此圆内单值解析。,根据这个定理，可以把,y(x),在 点的邻域 内展开为泰勒级数,将这个形式的级数解代入微分方程，比较系数，就可以求出系数 。,系数 均可用 ，表示。,4,设方程的解为,将 和 也展开为泰勒级数：,代入方程,有：,5,由,上式可化为：,6,上式可化为：,由幂级数的乘法：,7,比较等式两边 同次幂的系数有：,由此可知 可以由初值 以及 表示出来，如：,以此类推，可求出全部系数 ，从而得到方程的级数解。,8,例,3,：,在 的邻域内求解常微分方程,解：这里,设解为,则,把以上结果代入方程，比较系数得：,由此可得系数的递推公式：,9,得到：,于是方程的级数解为：,10,通过这个实例，可以看出在常点邻域内求级数解的,一般步骤,：,将相同幂次项的系数归并，比较系数，得到系数之间的递推关系；,反复利用递推关系，求出系数 的普遍表达式（用 和 表示），从而最后得出级数解。,将（方程常点邻域内的）解展开为泰勒级数，代入微分方程；,11,求勒让德方程 在,x=0,点邻域内的解，其中,l,是一个参数。,解：,x=0,是方程的常点，根据定理，可知解的形式为：,根据上式求出：,12,代入方程中，有：,整理合并，得到,根据泰勒展开的,唯一性,，可得：,即,这样就得到了系数之间的,递推关系,。反复利用递推关系，就可以求得系数。,13,由递推公式,得：,14,这样得到,l,阶,Legendre,方程的级数解,其中,15,现在确定 和 的收敛半径。,说明 和 在,|x|1,处发散。,在 处，和 可表示成常数项级数：,由,Gauss,判别法，对 ，有,对 ，有,可知级数 与 均发散。即方程级数解在,x=1,和,x=-1,为无限值。,16,勒让德多项式,在实际应用中，遇到勒让德方程时，往往还附有边界条件：要求在 处收敛（实际问题中，是球坐标中角度，）。勒让德方程的两个无限级数形式解均不满足这个条件。,注意：勒让德方程还有一个参数,l,。如果,l,取某些特定的值，则可能找到满足以上边界条件的解。,考察递推公式,只要,l,是个整数，则当,k=l,时，由系数 开始，以后的系数均为零。级数便截止于,l,项，退化为,l,次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式，称为,l,阶勒让德多项式。,17,当 （,n=0,1,2.,）时，,18,此时 称为,2n,阶勒让德多项式。,在以上通解中取 ，则解成为：,再取 ，使 ，可得：,19,此时 称为,2n+1,阶勒让德多项式。,在以上通解中取 ，则解成为：,再取 ，使 ，可得：,当 （,n=0,1,2.,）时，,20,综上所述，只有当,l,取整数时，勒让德方程才能在,有解，这个解就是勒让德多项式 。,可统一表示为：,其中,21,定解问题,构成本征值问题。,本征值：,本征解：,n,阶勒让德多项式 （第一类勒让德函数）,结论：,当,l,不是整数时，勒让德方程的通解为：,，在端点上均无界，此时方程在,-1,，,1,无有界解；,当,l,是整数时（奇数或偶数），和 中一个是勒让德多项式 ，另一个仍为无穷级数，记为 ，方程的通解为：,称为第二类勒让德函数，它在,-1,，,1,仍是无界的。,22,方程正则奇点邻域中的级数解,如果 是,p(x),的不超过一阶的极点，即 在 解析；,q(x),的不超过二阶的极点，即 在 解析；,这种奇点称为方程的,正则奇点,，否则，称为非正则奇点。,23,定理：,设 是方程 的正则奇点，则在 的领域,内，方程的基础解系为：,或：,其中,24,在方程正则奇点邻域内,求解思路,：,将正则解 或 代入方程,通过比较系数，求出指标和递推关系,进而求出系数的普遍表达式,实际的求解过程中，总是将 形式的解代入方程。,如果能够同时求得两个线性无关的解，则任务完成，没有必要再将 形式的解代入方程中；,如果只能求得一个解，那么就必须将 形式（带有对数部分）的解代入方程中。,为了能够方便地比较系数，往往需要对,p(x),和,q(x),进行处理，将它们展开为在正则奇点邻域的幂级数形式。,25,在正则奇点邻域内求方程级数解的,一般步骤,：,用 乘方程 两侧，得：,其中,可化为：,由正则奇点的条件知，新系数 ，在方程奇点 的领域中是解析的，可展成泰勒级数,第,1,步：将方程的系数展开为正则奇点邻域的级数形式；,26,不管第二个解可能取哪种形式，总先设定解的形式为：,从上式求出：,第,2,步：写出第一解形式，将其代入经过变换的方程；,将以上结果代入方程,得到：,27,消去因子 后，得：,其中，最低次幂项是常数项（,i=0,，,j=0,，,n=0,时），其系数为零的方程是,判定方程（指标方程）,因为 ，所以：,第,3,步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系；,28,由方程,中，一般项 的系数为零的方程，可得待定系数之间的递推关系。,第,4,步：通过递推关系，得到第一解中系数的普遍表达式。,29,当 整数时，此时第二解不含对数项，用 代入系数求出第二解；,两个根：,决定第二解的形式（设 ）：,对应于 ，所得即为 。,当 整数时，用递推关系确定方程的第二个解,第,5,步：由判定方程两个根的关系，确定方程第二解形式并按同样方法求解。,判定方程：,再将第二解代入原方程中求解。,若 ，线性无关，则它们构成方程的基础解系；若 ，线性相关，则第二解包含对数项，用 代入含有对数项的第二解表达式：,30,