第18课时二次函数的应用

备考基础,归类探究,练出高分,全效学习 学案导学设计,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,18,课时 二次函数的应用,小题热身,C,2,某商店经营一种小商品，进价为每件,20,元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件,25,元时，可卖出,105,件，而售价每上涨,1,元，就少卖,5,件,(1),当售价定为每件,30,元时，一个月可获利多少元？,(2),当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？,解,：,(1),一个月可获利,(30,20)105,5(30,25),800(,元,),；,(2),设售价为每件,x,元时，一个月的获利为,y,元，,由题意，得,y,(,x,20)105,5(,x,25),5,x,2,330,x,4 600,5(,x,33),2,845,，,当,x,33,时，,y,的最大值是,845,，,故当售价定为每件,33,元时，一个月获利最大，,最大利润是,845,元,一、必知,2,知识点,1,根据数量关系列函数解析式并求最大,(,小,),值或设计方案,在生产和生活中，经常会涉及求最大利润，最省费用等问题，这类问题经常利用函数来解答，其步骤一般是：先列出函数解析式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数解析式和自变量的取值范围求出函数的最大,(,小,),值,2,根据点的坐标，求距离、长度等,在实际问题中，有些物体的运动路线是抛物线，有些图形是抛物线，经常会涉及求距离、长度等问题，一般可以把它转化成求点的坐标问题,考点管理,【,智慧锦囊,】,建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，,充分运用三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解,决问题，充分运用几何知识、求解析式是解题关键,二、必会,2,方法,1,建模思想,利用二次函数解决隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，确定抛物线的解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题，构建二次函数模型是关键,2,数形结合思想,数形结合是重要的数学思想，对于函数应用题，解答,选择题的关键是读懂函数图象，解答综合题的关键是运用数形结合思想，先求解析式；求运动过程中的函数解析式的关键是“以静制动”，抓住其中不变的量此类题型是中考的热点考题,三、必明,1,易错点,在商品经营规划运营中，经常遇到求最大利润、最大销量等问题，解决此类问题的关键是，通过二次函数的解析式，确定其最值，并注意实际问题的,x,值要使实际问题有意义,.,类型之一利用二次函数解决抛物线型问题,(1),求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶,D,到地面,OA,的距离；,(2),一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为,6 m,，宽为,4 m,，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？,(3),在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等如果灯离地面的高度不超过,8 m,，那么两排灯的水平距离最小是多少米？,图,18,1,【,解析,】,(1),先确定,B,点和,C,点坐标，然后利用待定系数法求,出抛物线解析式；,(2),由于抛物线的对称轴为直线,x,6,，而隧道内设双向行车道，,车宽为,4 m,，则货运汽车最外侧与地面,OA,的交点为,(2,，,0),或,(10,，,0),，然后计算自变量为,2,或,10,的函数值；,(3),计算函数值为,8,所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平,距离最小值,图,18,2,10,图,18,3,【,点悟,】,利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案,类型之二利用二次函数解决商品销售问题,2015,邵阳,为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为,40,元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量,y,(,件,),与销售单价,x,(,元,),满足一次函数关系：,y,10,x,1 200.,(1),求出利润,w,(,元,),与销售单价,x,(,元,),之间的关系式,(,利润销售额成本,),；,(2),当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？,【,解析,】,(1),根据,“,总利润单件的利润,销售量”列出二次,函数关系式即可；,(2),将得到的二次函数配方后即可确定最大利润,解,：,(1),w,y,(,x,40),(,x,40)(,10,x,1 200),10,x,2,1 600,x,48 000,；,(2),w,10,x,2,1 600,x,4 8000,10(,x,80),2,16 000,，,则当销售单价定为,80,元时，该公司每天获得的利润最大，,最大利润是,16 000,元,1,2015,梅州,九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：,已知该运动服的进价为每件,60,元，设售价为,x,元,(1),请用含,x,的式子表示：,销售该运动服每件的利润是,_,_,_,元；,月销量是,_,_,_,件；,(,直接写出结果,),(2),设销售该运动服的月利润为,y,元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？,售价,(,元,/,件,),100,110,120,130,月销量,(,件,),200,180,160,140,x,60,400,2,x,2,水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少,2,元，发现原来买这种水果,80 kg,的钱，现在可买,88 kg.,(1),现在实际购进这种水果每千克多少元？,(2),王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量,y,(kg),与销售单价,x,(,元,/,千克,),满足如图,18,4,所示的一次函数关系,求,y,与,x,之间的函数关系式；,请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？,(,利润销售收入进货金额,),图,18,4,【,解析,】,(1),设现在实际购进这种水果每千克,a,元，根据原来买这种水果,80 kg,的钱，现在可买,88 kg,列出关于,a,的一元一次方程，解方程即可；,(2),设,y,与,x,之间的函数关系式为,y,kx,b,，将,(25,，,165),，,(35,，,55),的坐标代入，解方程组即可求出,y,与,x,之间的函数关系式；,设这种水果的销售单价为,x,元,/,千克时，所获利润为,w,元，根据利润销售收入进货金额得到,w,关于,x,的函数关系式为,w,11(,x,30),2,1 100,，再根据二次函数的性质即可求解,设销售利润为,w,元，则,w,(,x,20)(,11,x,440),11(,x,30),2,1 100,，,当,x,30,时，,w,最大值,1 100.,答：将这种水果的销售单价定为,30,元,/,千克时，能获得最大利,润,1 100,元,3,2014,武汉,九,(1),班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第,x,(1,x,90),天的售价与销量的相关信息如下表：,已知该商品的进价为每件,30,元，设销售该商品的每天利润为,y,元,时间,x,(,天,),1,x,50,50,x,90,售价,(,元,/,件,),x,40,90,每天销量,(,件,),200,2,x,(1),求,y,与,x,的函数关系式；,(2),问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多,少？,(3),该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于,4 800,元？请直接写出结果,x,45,时，,y,有最大值，最大值为,6 050,元，,当,50,x,90,时，,y,120,x,12 000,，,k,1200,，,y,随,x,的增大而减小，,当,x,50,时，,y,有最大值，最大值为,6 000,元，,x,45,时，,当天的销售利润最大，最大利润为,6 050,元；,(3)41.,【,点悟,】,利用二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到,的问题，解决这类问题是先求出两个变量的一次函数关系，再,求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值,类型之三二次函数在几何图形中的应用,2014,成都,在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图,18,5,所示的直角墙角,(,两边足够长,),，用,28 m,长的篱笆围成一个矩形花园,ABCD,(,篱笆只围,AB,，,BC,两边,),，设,AB,x,m.,(1),若花园的面积为,192 m,2,，求,x,的值；,(2),若在,P,处有一棵树与墙,CD,，,AD,的距,离分别是,15 m,和,6 m,，要将这棵树围在,花园内,(,含边界，不考虑树的粗细,),，,求花园面积,S,的最大值,图,18,5,如图,18,6,，在,ABC,中，,C,90,，,BC,5 m,，,AC,12 m,，,M,点在线段,CA,上，从,C,向,A,运动，速度为,1 m/s,；同时,N,点在线段,AB,上，从,A,向,B,运动，速度为,2 m/s,，运动时间为,t,s.,(1),当,t,为何值时，,AMN,ANM?,(2),当,t,为何值时，,AMN,的面积最大？并求出这个最大值,图,18,6,解,：,(1),依题意有,AM,AC,CM,12,t,，,AN,2,t,.,AMN,ANM,，,AM,AN,，即,12,t,2,t,，,解得,t,4,，即当,t,4 s,时，,AMN,ANM,；,变式跟进答图,【,点悟,】,二次函数在几何图形中的实际应用是数形结合思想的应用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题相互转化，运用几何知识求解析式是解题关键二次函数与三角形、圆等几何图形结合时，涉及最大面积、最小距离等问题，往往需要建立函数关系式及运用函数的性质解题,喷水池里的学问,如图,18,7,，某灌溉设备的喷头,B,高出地面,1.25 m,，喷出的抛物线形水流在与喷头底部,A,的距离为,1 m,处达到距地面最大高度,2.25 m,，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式,学生小龙在解答该问题时，具体解答如下：,图,18,7,以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图,18,7,所示的平面直角坐标系；,设抛物线水流对应的二次函数关系式为,y,ax,2,；,根据题意可得,B,点与,x,轴的距离为,1 m,，,故,B,点的坐标为,(,1,，,1),；,代入,y,ax,2,得,1,a,1,，所以,a,1,；,所以抛物线水流对应的二次函数关系式为,y,x,2,.,数学老师看了小龙的解题过程说：,“,小龙的解答是错误的,”,(1),请指出小龙的解题从第,_,步开始出现错误，错误的原,因是什么？,(2),请你写出完整的正确解答过程,【,错解,】,没有发现错误,【,错因,】(1),；,原因：,B,点的坐标写错了，应是,(,1,，,1),【,正解,】(1),，,B,的坐标写错了；,(2),正确解答：如图,18,7,建立平面直角坐标系，设水流的函数关系式为,y,ax,2,，,由题意可知,B,(,1,，,1),，代人,y,ax,2,，得,1,a,(,1),2,，,a,1.,即抛物线水流对应的二次函数关系式为,y,x,2,.,