课程概览本章在两点确定一条直线的基础上由浅入深地探

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 直线与方程,课程概览,本章在“两点确定一条直线的根底上由浅入深地探讨了确定直线的另一种方法，即由直线l向上方向与x轴正方向所夹角(倾斜角)和l上一点可唯一确定一条直线，即确定一条直线有两种方法：一种是由两点确定一条直线，另一种是由一个点和这条直线的倾斜角确定一条直线.在此根底上，讲述了直线平行与垂直的判定，接下来讲述了直线方程的几种形式：,(1)点斜式.直线l上一点和l的斜率可以用点斜式，特别地，如果在y轴上的截距为b，斜率为k，那么直线方程可写成ykxb.(2)两点式.直线上不同的两点，可用两点式写出直线方程.(3)一般式.以上的直线方程都可以写成形如AxByC0(其中A，B不同时为0)的形式，把这种形式称为直线方程的一般式.最后，给出了直线交点坐标的求法以及距离公式.这里的距离公式包括任意两点间的距离、点到直线的距离，以及两条平行线间的距离.总之，这局部内容对今后学习直线与圆以及直线与圆锥曲线有着直接的影响，一定要牢固掌握.,学法点津,1.理解解析几何研究问题的根本思想和方法,解析几何研究问题的根本思想和方法是通过建立坐标系，用代数方法研究图形的几何性质.首先将几何问题转化为代数问题，然后处理代数问题，再分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，要初步形成用代数方法解决几何问题的能力.,2.要准确理解概念,直线的倾斜角和斜率是本章的重点和难点，要仔细体会定义，要在解题中不断提高对概念的理解能力.,3.要注意知识的联系与运用,学习本章的过程中要注意知识的联系与运用，比方代数知识、三角知识、平面几何知识等.,4.要注意数形结合思想的形成和应用,本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中，注意代数方法的使用；在代数方法的使用过程中，加强与图形的联系.,倾斜角与斜率,1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.,2.掌握求直线斜率的两种方法.,3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.,1.直线的倾斜角,(1)倾斜角的定义,当直线,l,与,x,轴相交时，取,作为基准，,x,轴,与直线,l,之间所成的角,叫做直线,l,的倾斜角.,当直线与,x,轴,时，它的倾斜角为0；,当直线与,x,轴,时，它的倾斜角为90.,(2)倾斜角的范围,直线的倾斜角,的取值范围为,.,x,轴,正向,向上方向,平行或重合,垂直,0，180),一条直线的倾斜角可以是60吗？,参考答案：,不能，因为直线倾斜角的范围是0，180).,2.直线的斜率,(1)定义：对于倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的 叫做直线的斜率，记作ktan；倾斜角为90的直线的斜率不存在.,(2)斜率的求法：,定义法：倾斜角(90)，ktan.,正切值,直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？,参考答案：,这句话是不对的，当倾斜角,0时，,k,0；当0,0，并且随,的增大,k,也增大；当,90时，,k,不存在；当90,180时，,k,0，并且随,的增大,k,也增大.,过两点,P,1,(,x,1,，,y,1,)和,P,2,(,x,2,，,y,2,)且,x,1,x,2,时直线的倾斜角和斜率怎样？,参考答案：,直线的倾斜角为90，斜率不存在.,1.直线的倾斜角与斜率k之间的关系,斜率和倾斜角的关系是本节命题的热点，它们之间的关系是“数与形的关系，斜率是一个数，倾斜角那么是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，因此与k之间不是一一对应关系.,(1)对应关系,当,90时，直线不存在斜率；,当,90时，,k,与,是一一对应关系，,k,tan,，,(2)变化情况,当0,90时，随,的增大，斜率,k,在0，)范围内增大；,当90,180时，随,的增大，斜率,k,在(，0)范围内增大.,1.倾斜角的理解,(1)从运动变化的观点来看，当直线与,x,轴相交时，直线的倾斜角是由,x,轴按逆时针方向转动到直线重合时所成的角.,(2)倾斜角直观地描述表示了直线对,x,轴正方向的倾斜程度.,(3)不同的直线可以有相同的倾斜角.,2.斜率的理解,直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率，当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直于,x,轴(平行于,y,轴或与,y,轴重合).,例1 设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么直线l1的倾斜角为(),A.45,B.135,C.135,D.当0135时为45，当135180时为135,解析,倾斜角的范围是0，180)，因此，只有当,45,0，180)，即当0,135时，,l,1,的倾斜角才是,45.而0,180，所以当135,23,B.132,C.231,D.321,解析,由图知,1,(0，90)，,2,90，,3,(90，180)，,3,2,1,.,答案,D,例2 如下图，直线l1的倾斜角130，直线l1与l2垂直，求l1、l2的斜率.,分析由图形可知，2190，那么k1、k2可求.,评析(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线l1与l2的倾斜角之间的关系是解题的关键.,(2)公式tan(180)tan是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线的斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切.由这个公式可知，假设为直线l的倾斜角，k为直线l的斜率，那么有：00；90180k0；0k0；90k不存在.,如下图，直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，其中l1l4，那么(),A.k1k2k3k4,B.k1k4k2k3,C.k3k2k1k4,D.k4k1k3k30，而l1与l4的倾斜角是钝角，故k1k40，斜率为m的直线上有两点(m,3)和(1，m)，那么此直线的倾斜角为_.,分析(1)根据斜率的定义可得直线的斜率，再根据过两点的直线的斜率公式可求得y的值；(2)中直线的斜率是存在的，所以不必对两点的横坐标的取值分情况讨论，利用斜率公式列方程求出m，再根据斜率的定义及倾斜角的范围便可得到倾斜角的大小.,利用斜率证明三点A、B、C共线时，假设过任意两点的直线的斜率都不存在，那么三点共线；假设过任意两点的直线的斜率都存在，且kABkAC，那么直线AB与直线AC的倾斜角相等，AB，AC又都过点A，所以直线AB、AC重合，从而说明A，B，C三点共线.,例4 A(a,2)，B(5,1)，C(4,2a)三点在同一条直线上，求a的值.,评析,由于直线上任意两点的斜率都相等，因此,A,，,B,，,C,三点共线,A,，,B,，,C,中任意两点的斜率相等(如,k,AB,k,AC,).,斜率是反映直线相对于,x,轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.,求证：,A,(1，1)，,B,(2，7)，,C,(0，3)三点共线,例5 两点A(2,3)和B(1,2)，过点P(1，1)的直线l与线段AB有公共点求直线l的斜率k的取值范围,评析1.解决此题的方法是数形结合.,2.此题常出现的错误：不能准确判断k的范围是“或还是“且，即不能判断是“kkPA或kkPB还是“kPBkkPA.,