刚体定轴转动的描述

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,刚体定轴转动的描述,1,1,刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。,刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。,特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。,平动的刚体可看作质点。,刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。,一、刚体运动的基本形式,2,刚体的定轴转动是指刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的一种转动。,刚体定轴转动的特点：,1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周运动的半径不一定相等。,2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴线上，这个平面我们称为转动平面。,3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。,这条直线称为,转轴,。,3,描写刚体转动位置的物理量。,在转动平面内，过,O,点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右。,过,P,作垂直于转轴的横截面（转动平面），转动平面与转轴的交点为,O。,二、定轴转动刚体的角量描述,1.角坐标,根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。,角称为,角坐标（或角位置）,。,连接,OP，,则,OP,与极轴之间的夹角为,。,4,规定：,从,ox,轴逆时针到达,P,点,的矢径，角坐标为正值。,在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：,=（,t），,叫做,转动方程,。,单位：,弧度，,rad,角坐标为标量。但可有正负。,2.角位移,描写刚体位置变化的物理量。,t+t,时刻，质点到达,P,/,，,角坐标为,/,。,t,时刻,，,质点在,P,点，角坐标为,，,角坐标的增量为,：,称为刚体的,角位移,x,y,P,R,5,单位：,弧度，,rad,角位移的大小表示了刚体在,t,时间内角位置变化的多少。,3.角速度,描写刚体转动快慢和方向的物理量。,1,.平均角速度,刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。,单位：,弧度/秒，,rad,/s,转/分，,rev/min,x,y,R,P,6,角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。,方向：,满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。,2,.角速度,.用平均角速度代替变化的角速度；,.令,取极限；,平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。,角速度为角坐标对时间的一次导数。,角速度,7,描写角速度变化快慢和方向的物理量。,1,.平均角加速度,刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。,2,.角加速度,对变速转动，如何确定角加速度？,.用平均角加速度代替变化的角加速度；,.令,取极限；,4.角加速度,角加速度为角速度对时间,t,的一次导数，或为角坐标对时间,t,的二次导数。,t,到,t+t,时刻，刚体角速度的增量为：,8,单位：,弧度/秒,2,，,rad,/s,2,方向：,角速度变化的方向。,角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。,对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐标、角位移、角速度和角加速度来描述。,说明：,角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；,位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。,9,由,有：,两边积分,2,.匀变速转动公式,（,1,）,由,有：,两边积分,5.匀变速转动的计算公式,1,.特点：,1,.角加速度为一常量,2,.定轴转动。,3,.初始条件：,（,2,）,10,与匀变速直线运动计算公式有对应关系：,（,2,）,由（,1,）、（,2,）式消,t,得：,（,3,）,（,1,）,11,对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量、与描写转动的角量之间有什么关系呢？,刚体转过,刚体上的一点路程,（,1,）,三、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度,1.位移与角位移之间的关系,12,（,2,）,质点运动时的速度方向是沿着运动轨道的切线并指向前进的方向，可表示为：,将,取极限,式两边同除,2.速度与角速度的关系,3.加速度与角加速度的关系,为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不变（恒为1）但方向不断变化的矢量。,根据加速度的定义，有：,1,.切向加速度与法向加速度,（,1,）,13,在,t,很小并趋于零时，有：,代表着质点运动速度大小的变化。,x,y,P,t+t,时刻，速度单位矢量为,t,时刻,，,速度单位矢量为：,增量为,：,在,t,趋于零时，,的方向跟,垂直并指向圆心，,即指向圆周轨道的法向,的方向。,r,14,可改写为：,将：,代入上式，得：,可以将作圆周运动的加速度沿圆周轨道的切向和法向分解为两个分量。,切向加速度：,法向加速度：,15,大小,切向加速度与法向加速度的意义：,切向加速度：,表示速度大小变化的快慢。,速度方向的变化快慢。,法向加速度：,2,.圆周运动时加速度与角量的关系,16,4.角量与线量的关系,以上我们用线量和角量来描述质点的运动，采用的直角坐标和角坐标系。在质点作平面运动并且已知运动轨道的情况下，用自然坐标系来描述质点的运动将更方便。,17,四、自然坐标系,1.自然坐标系,质点,P,沿已知的平面轨道运动。,将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点,O,作为坐标原点，并任意规定一个正方向。,质点在轨道上的位置可以用从原点,O,算起的弧,s,来表示，,s,称为,弧坐标,。,运动方程：,自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。,切向坐标,沿运动轨迹的切线并指向弧坐标的正方向；,法向坐标,n,沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。,在质点上建立两个的坐标轴：,切向坐标,和,法向坐标,。,18,2.切向加速度和法向加速度,强调：,自然坐标系是建立在运动质点上的，它随质点一起运动在轨道曲线上。轨道上各点的自然坐标系的二个坐标轴的方位是不断变化的。,根据速度的定义，,而,说明：,ds,是,dt,时间内弧坐标的增量（不是路程的增量），也就是,dt,时间内位移在切向的投影。其绝对值就是位移的大小。,是速度在切向的投影。,注意与速度公式 的区别。,19,根据加速度的定义，,根据前面的讨论，加速度可表示为：,其中：,由于速度,大小,变化产生的加速度；,由于速度,方向,变化产生的加速度。,r,为运动轨迹的曲率半径,。,大小,20,例1：,质点作半径为,R,的圆周运动，其速率满足,k,为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。,解：,切向加速度,法向加速度,加速度,对于平面曲线运动,21,求,t=1s,时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。,解：,例,2,、,已,知质点在水平面内运动，运动方程为：,t=1s,22,(,2),与切向加速度垂直,an,a,g,y,x,o,v,0,解：,与速度同向,(1),例3、,由楼窗口以水平初速度,v,0,射出一发子弹，取枪口为原点，沿,v,0,为,x,轴，竖直向下为,y,轴，并取发射时,t=,0.,试求：(1)子弹在任一时刻,t,的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在,t,时刻的速度，切向加速度和法向加速度。,23,例4、质点,M,在水平面内运动轨道如图所示：,OA,段为直线,AB、BC,段分别为不同半径的两个1/4圆周。,设,t,=0,时,M,在,O,点，已知运动方程为,S,=30,t,+5,t,2,(SI),求,t,=2,秒时刻，质点,M,的切向加速度和法向加速度。,解：,t,=2s,S,=80m,可知此时,M,在大圆上。,30,15,质点的瞬时速率,v=,30+10,t,(m/s),t,=2s,v,=50m/s,24,