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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 控制系统的数学模型,数学模型：描述系统内部物理量或变量间的数学表达式。,有静态数学模型、动态数学模型。,数学模型的建立方法：,分析法 根据系统结构，利用相关学科知识推导 出系统的数学表达式。,试验法 把系统当成黑箱，人为地给系统施加某种测试信号鼓励信号，记录其输出,响应，并用适当的模型去逼近。又称为系统辨识。,数学模型形式：,时域：微分方程、差分方程、状态方程。,复域：拉氏变换、Z变换传递函数、结构图。,频域：频率特性等。,2-1控制系统的时域数学模型,一、线性元件的微分方程,1R、L、C组成的系统：,如下图，设作用量为 ,输出量为,注意 ， ，,由克希霍夫定律可得,1,如果设作用量为 ，输出量为电容C上的电荷量,注意 ， ， ，,由克希霍夫定律可得：,2,如果设作用量为 ，输出量为电容C上的电压,由及式1可得,3,2机械位移系统：弹簧质量阻尼系统,设作用量为 ,输出量为,注意 ， ，,由力平衡原理有：,4, 1,设作用量为 ,输出量为,注意 ， ，,由力平衡原理有：,5, 2,2机械角位移系统：扭簧惯量阻尼系统,为扭簧力矩，T为输入力矩， 为阻尼力矩。,设作用量为 ,输出量为,注意 ， ，,由力矩平衡原理有：,6, 1,设作用量为 ,输出量为,注意 ， ，,由力矩平衡原理有：,7, 2,力力矩-电压相似系统中的相似变量,机械位移系统,机械角位移系统,R、L、C串联网络,力F,力矩T,电压u,质量m,转动惯量J,电感L,阻尼系数f,阻尼系数f,电阻R,弹簧系数K,扭簧系数K,电容1/C,线位移x,角位移,电荷q,速度v,角速度,电流I,直流电机数学模型 例2-2，P21,电动机转速为,电机轴上总转矩负载为,电机产生转矩为,由电枢回路电压平衡方程可得：,8,由于电枢电压与电机转速成正比有,9,电机的电磁转矩方程为 10,电机轴上的转矩平衡方程为 11,忽略La影响，可推得 12,其中 ， ，,当Ra,Jm,Mc可忽略不计时，那么为测速发电机工作情形,有 13,二、非线性元件的线性化处理,采用在平衡点处作局部线性化处理，如按台劳级数展开等。,2-2 控制系统的复域数学模型,用传递函数描述系统结构,传递函数,：在,零初始,条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。,设线性定常系统由如下微分方程描述：,由拉氏变换得传递函数为,其中,传递函数性质,：,1、传递函数是,复变量s的有理真分式函数,，具有复变函数的所有性质。mn且所有系数皆为实数。,2、传递函数是一种用参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，,只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关,。,3、传递函数与微分方程具有相通性。,4、传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。,物理含义：,是在零初始条件下定义。A 、输入量是在t0时才作用于系统， 在 时，输入量及其各阶导数为0；B 、输入量加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即输出量及其各阶导数在时的值也为0。,传递函数的零点、极点表示：,或,称为根轨迹增益,称为传递系数或增益,。,典型环节的传递函数,1、比例环节,又称放大环节 如电阻分压，电位器，比例放大器等,输入输出关系为,那么有,2、惯性环节,输入输出关系为,传函为,3、微分环节,输入输出关系为,传函为,无源近似微分,4、积分环节,输入输出关系为,传函为,5、振荡环节,输入输出关系为,传函为,6、纯延迟环节,输入输出关系为,传函为,常用机构的传递函数：,1、直流电动机或两相交流电动机,当不考虑负载转矩时，有,传函为,如以角度作为输出量 那么有,2、测速发电机,测速发电机为无负载工作，其输出电压与转速成正比,有,或,3、液体加热控制模型,设被加热液体的质量为m,比热容为 ，那么热容为 ，液体温度 ，,环境温度为 ；,设液体向环境散热的热阻为 ，加热电功率为P，热效率为；,由热平衡方程得：,把当成干扰输入那么有,考虑到传热的延迟效应 那么有,如果加热器采用占空比方式加热，,那么有,2-3控制系统的结构图与信号流图,描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。,一、信号结构图的组成与绘制,由对信号进行单向运算的方框和信号流向线组成，,包括四个根本单元：,1、信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，线旁标记表示信号的时间函数或象函数。,2、引出点测量点：表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在性质和数字上完全相同。,3、比较点综合点：两个以上信号进行加、减运算，“+“-表运算符号。,4、方框环节：表示信号进行的数学变换。,画方框图时，必须注意各环节间的负载效应。,例如 2-11 p40,2-13 p42,P24 速度控制系统,二、结构图的等效变换与简化 见表2-1 P49,1、串联框图的简化,总传函为各串联环节传函的乘积；,2、并联框图的简化,总传函为各并联环节传函的代数和；,3、反响连接的简化,设正向传递函数为G(s)，,反响传递函数为H(s)， 那么总传递函数为,“-对应正反响，“+对应负反响；,4、比较点前移、后移,前移：设比较点由某环节的输出端移到该环节的输入端，那么在被移动的支路上串入环节传函的倒数，比较点的符号不变；,后移：设比较点由某环节的输入端移到该环节的输出端，那么在被移动的支路上串入环节传递函数，比较点的符号不变；,原那么：1) 保证R到C的传函不变,2保证Q到C的传函不变,5、取出点前移、后移,前移：设取出点由某环节的输出端移到该环节的输入端，那么在被移动的支路上串入环节传递函数；,后移：设取出点由某环节的输入端移到该环节的输出端，那么在被移动的支路上串入环节传递函数的倒数；,原那么：1) 保证R到C的传函不变,2保证R到P的传函不变,6、交换或合并比较点,两比较点之间应无取出支路和传函环节，采用简单代数运算；,7、比较点、取出点移动的限制,比较点和取出点不能交换次序；,比较点、取出点只能紧靠环节的输入输出端移动，中间不能有其它比较点和取出点。,化简的一般步骤：,1 确定系统的输入输出；,2通过移动比较点或取出点消除回环交叉；,3采用串联、并联、反响环等简化；,4反复进行23直到化简到最简形，即单框图形式；,三、信号流图的组成和性质,定义：是一种将代数方程组用图形表示的方法，是由节点和支路组成的一种信号网络。图中节点表示方程中的变量，并以圆圈表示，支路是连接两个节点的定向线段，用支路增益表示两个变量的因果关系。,由方程组产生信号流图方法：,把代数方程改写为描述因果关系的方程，任一变量在方程中，作为“果只出现一次。一般方程的右边为因，左边为果。根据因果方程，画出连结变量的各支路及支路增益即可。,例如：,信号流图的根本性质：,1、节点标志系统的变量，表示所有流向该节点的信号之和；,2、支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号；,3、信号在支路上只能沿箭头方向单向传递，即支路具有单向方向性；,4、对于给定系统，节点变量的设置是任意的，因此信号流图不唯一；,常用术语:,源节点(输入节点): 只有输出支路,没有输入支路;,输出节点: 只有输入支路, 没有输出支路;,混合节点: 既有输入支路又有输出支路;,通道通路： 从一个节点沿箭头方向连续经过相连支路而到另一节点的路径；,前向通道: 信号从输入节点到输出节点的通道上, 经过任向节点不多于一次，那么该通道为前向通道；,回路回环：起点和终点为同一节点，信号通过每一节点不多于一次的闭合通路；,不接触回路回环：回路之间没有公共节点的回路；,信号流图的绘制：,(一) 由代数方程绘制微分方程应转化为算子方程,(二) 由系统框图绘制信号流图,1) 将输入量、输出量、比较点的输出、分叉点及中间变量改为节点；,(当取出点是比较点的输出时,取出点与比较点的输出为同一节点),2) 用标有传递函数的定向线段代替各环节的方框，成为流图的支路；,信号流图的化简：,(1) 并联支路简化,几个同方向、同起点、同终点的支路，,可用一个等效支路取代。等效支路的,增益为各支路增益的代数和；,(2) 串联支路简化,几个同方向串接支路可用一个等支路,取代。等效支路的增益为各支路增益的,乘积；,(3) 混合节点的吸收,(4) 自回环的吸收,梅逊增益公式：,P从源节点到任向节点的传输总增益,表示信号流图的特征式 并有：,=1-所有不同回环增益之和+所有两个互不接触回环增益乘积之和-所有三个互不接触回环增益乘积之和+ ,-表示两节点间第k条前向通道的增益；,-表示第k条通道不接触局部的值；又叫流图余子式；,计算步骤：,1计算值；,2确定前向通道及其增益；,3计算 值；,4计算总增益P；,例2-19 P59 求C(s)/R(s),回环遍历方法：,先以源节点为起点，找到经过该点的所有回环，找到后，去除该节点；在剩余节点中选一节点为起点，找到经过该点的所有回环，找到后，去除该节点；反复做，直到去除所有节点，遍历结束。,找以某节点为起点回环的方法：,1) 从起始节点开始，先找一条主支路到头一般是输出节点，并以终点开始按顺时针方向找回环。,2) 在找回环中，如遇到起始节点，那么该路径为一回环，记下回环并回退。如遇到路径中已存在的节点那么回退。,3) 当回退到起始节点且起始节点的所有输出支路均已遍历，那么找到了经该起始节点的所有回环。,解：(1) 求：,有三个单回路，L1=-G1G2G3G4H1 L2=-G2G3H2 L3=-G3G4H3,没有不接触回路，那么有,=1+ G2G3H2+ G3G4H3+ G1G2G3G4H1,(2) 确定前向通道， 从R到C只有一条,P1= G1G2G3G4 此前向通道没有不接触回路，那么1=1,(3) 计算总增益,例2-20 求C(s)/R(s),解：,(1)求：有五个单回路， L1=- G1G2G3 L2=-G1G2H1,L3=-G1G4 L4= -G2G3H2 L5=-G4H2,没有不接触回路，那么有：,=1+ G1G2G3+ G1G2H1 +G1G4 + G2G3H2+ G4H2,2确定前向通道， 从R到C有两条,P1= G1G2G3 此前向通道没有不接触回路，那么1=1,P2= G1G2G4 此前向通道没有不接触回路，那么2=1,3计算总增益,例2-21 求X4/X1 X2/X1,解:由于系统的值相同，先求值，,有三个单独回路 -eg , -bcg,d 那么La=-( eg+bcg +d);,有两个互不接触回路，LbLc=deg;,那么=1+eg+bcg+d+deg;,求X1到X4：,前向通道两条：P1=aef, 1=1+d;,P2=abcf, 2=1;,那么：,求X1到X2：,前向通道一条：P1=a, 1=1+d;,那么：,例2-22 求C(s)/R(s),解: 求值，,有四个单独回路 -G1G2 , G1, -G2,-G3,那么La= -( G1G2 +G1+ G2+G3);,有两个互不接触回路有四组：G1，-G2，G1，-G3，,G1G2，-G3，G2，-G3，,LbLc=G1G2+G1G3+G1G2G3+G2G3;,三个互不接触回路一组：G1，-G2，-G3，leLfLg= -G1G2G3,那么=1 +G1+ G2+G3 +2G1G2 + G1G3+ G2G3+2G1G2G3,前向通道四条：P1= G1G2G3K, 1=1;,P2= G1G3K, 2=1+G2;,P3= G2G3K, 3=1+G1;,P4= -G1G2G3K, 4=1;,那么：,闭环系统传递函数,:,1 输入信号作用下的闭环传递函数:,用叠加原理,令N(s)=0; 有,2 扰动作用下的闭环传递函数:,令R(s)=0;,有,3 闭环系统的误差传递函数:,变换得:,有,由扰动到误差传函,:,作业：,P69页 2-1，2-2，2-9，2-12，2-15，2-16，2-17，2-18，2-19，2-20，2-21，2-22ad。,
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