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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,江南大学物联网工程学院,自动控制原理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,自动控制原理,第,2,章 自动控制系统的数学模型,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,2,章 控制系统的数学模型,2.1,线性微分方程的建立及求解,2.2,传递函数,定义、性质、典型元件及典型环节传函,2.3,控制系统的结构图及信号流图,组成、绘制、梅逊公式,2.4,控制系统的传递函数,开环传函、闭环传函,引言,要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。,数学模型,：描述系统内部各物理量之间关系的,数学表达式,。,数学表达式：代数方程、微分方程,静态数学模型 ：系统变量之间与,时间无关,的静态关系,动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性,控制系统数学模型的类型,时域（,t,）模型,微分方程,z,域（,z,）模型,脉冲传函,频域（,）模型,频率特性,复域（,s,）模型,传递函数,2.1.1,建模方法,：分析法、实验法,2.1,控制系统的微分方程,黑匣子,输入（充分激励）,输出（测量结果）,具体方法：最小二乘,(,曲线拟合,),法、神经元网络法、模糊模型法等。,模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。,实验法,（黑箱法、辨识法、逼近法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应,辨识出,数学模型。,分析法根据系统运动规律定律、经验公式和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。建模微分方程步骤：,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的微分方程。,第三步：标准化。,左“出=右“入，且各微分项均按降幂排列。见P19公式2-8所示。,第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与输入的数学表达式。,根据系统遵循的物理定律,如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。,解：明确输入量 ， 输出量,第一步：环节数学表达式,第二步：消去中间变量,i,u,r,u,c,R,C,图,2.1,RC,滤波电路,该电路为一阶系统,例,2.1,如图,2.1,所示，写出,RC,滤波电路,的微分方程。,【,例,2.2】,如,图,2.2,所示，写出,RLC,振荡器电路,的微分方程。,解：,u,r,u,c,R,C,图,2.2,RLC,振荡器电路,L,i,解方程组得,RLC,振荡器电路的微分方程为：,该电路为二阶系统,2.1.1,线性定常微分方程的求解,一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如以下图所示。,数学工具拉普拉斯变换与反变换, 拉氏变换定义,设函数f(t)满足 t0时，f(t)连续，那么f(t)的拉氏变换存在，表示为：,拉氏变换函数象函数,原函数,衰减因子，其中：,-时间常数,s = -+j为拉氏变换算子，其中：,-衰减系数,-振荡频率rad/s,拉氏变换,基本定理,线性定理,位移定理,延迟定理,终值定理,微,积分定理,d/dt s,将F(s)化成以下因式分解形式：,拉氏,反变换,定义表达式：ft=L-1 F(s),方法：简单函数-直接查表；,复杂函数-局部分式展开，再查表。,F(s),含有,共扼复数极点,时，可展开为, F(s),中具有,不同的极点,时，可展开为,待定系数, F(s),含有,多重极点,时，可展开为,2.2 非线性数学模型的线性化 微小偏差法略,2.3.1,传递函数的,定义,和主要性质,定义：零初始条件下，系统元件、环节输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,设,n,阶线性定常系统由下述,n,阶线性常微分方程描述：,定义表达式为：,C,(s)=,G,(s),R,(s),2.3,传递函数,三种表达式,(1),一般表达式,式中：,c,(t),是系统输出量，,r,(t),是系统输入量；,各系数均是常数。,设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，那么对上式中各项分别求拉氏变换，可得到系统传函的一般表达式：,(2),时间常数,表达式,K * 零、极点根轨迹增益；-zi、-pl零点和极点值。,K,增益；,i,、,T,l,对应环节时间常数。,(3) 零极点根轨迹表达式,根本性质：,性质1 传递函数的概念只适于线性定常系统。,性质2 传递函数是一种动态数学模型，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式幅度与大小无关，也不反映系统内部的任何信息 。,性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是系统的相似性。,传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。,假设系统传递函数为G(s)， r(t)=(t)，即：Rs=1,那么：C(s)=G(s)R(s)=G(s)=Lg(t),传递函数是,复变量的有理真分式，即,n m,，,具有复变函数的所有性质,。对于实际系统来说，且,所有系数均为实数,。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。,性质,7,系统传递函数,G,(,s,),是其单位脉冲响应,g,(,t,),的拉氏变换,单位脉冲响应,g,(t),是系统在单位脉冲输入,(t),时的输出响应。,典型环节的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的；而环节那么是由各种不同的元件组成。常用的电路元件如下：,-,z,2,/,z,1,运放,A,1/,C,s,电容,C,L,s,电感,L,R,电阻,R,传递函数,微分方程,常用元件,为元件对应的,复阻抗,比例环节,滞后环节,一阶微分环节（,m,个）,积分环节个,惯性环节q个,振荡环节,n-v-q个,1.,比例环节,(,P,调节器,),特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。,实例：,线性电位器,、,运算放大器,、传动齿轮、线性传感器等。,K,比例系数（增益）,2.,积分环节（,I,调节器,）,特点,：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有,记忆功能,，一般用于,改善系统的稳态性能,，提高控制精度。,实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等,。,3.,微分环节,理想微分,（,D,调节器,）：,一阶微分,（比例微分或,PD,调节器,）：,特点,：输出量正比于输入量变化的速度，具有,超前控制,的作用，一般用于,改善系统的动态性能,。,4.,惯性环节,式中，,T,-,时间常数,特点,：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，即有延迟。,实例：,RC,滤波电路网络,，一阶水槽,(,流水,),，直流伺服电动机,的传递函数也包含这一环节。,特点,：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其,输出出现振荡,。,实例：,RLC,电路,的输出与输入电压间的传递函数。,可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。,5.,振荡环节,式中,阻尼比；,T,时间常数,n,无阻尼自然振荡角频率（,rad,/,s,）,6.,延时（滞后）环节,特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。,实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。,式中：,延迟时间常数,说明：,实际的控制系统都含有滞后环节，只是一般延迟时间常数较小，可忽略不计。,常见的典型电路,2.3,控制系统结构图及系统传函,2.3.1,控制系统,结构图的组成,2比较点集合点、综合点、运算点：“ ,两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。,“+表示相加，“-表示相减。“+号可省略不写。,1传函方框：表示输入到输出单向传输间 的函数关系。,传函方框+比较点+引出点,G,(,s,),R,(,s,),C,(,s,),(3),引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置,图,2.7,引出点示意图,),X,(,s,),X,(,s,),R,(,s,),C,(,s,),(,1,s,G,),(,2,s,G,注意：同一位置引出的信号,大小和性质完全一样。,X,1,X,1,+,X,2,X,2,图,2.6,比较点示意图示意图,X,1,X,1,-,X,2,+,X,2,-,X,3,X,3,注意,：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。,2.3.2,控制系统的,传递函数,(1),前向通道：,E,(s),C,(s),前向通道传函,：,G,1,(s),G,2,(s),H,(s),C,(s),图,2.8,典型的控制系统结构图,控制对象,控制器,C,(s),R,(s),B,(s),E,(s),D,(s),典型控制系统结构图,定义几个重要概念及传函,以R(s)单独作用D(s)=0为例。,(2),反馈通道,：,C,(s) ,B,(s),反馈通道传函,：,(,),时称为,单位反馈,。,（,3,）,开环通道：,E,(s) ,B,(s),开环通道传函（简称开环传函）,：,4闭环传函 两种输入信号对输出响应的传函,G,(s),H,(s),C,r,(s),R,(s),B,(s),E,(s),典型控制系统结构图可简化为,其中：,G,(s)=,G,1,(s),G,2,(s),=,前向通道传函,+,开环传函,控制传函,：,假定,D,(s)=0,，,R,(s),C,r,(s),典型控制系统结构图可等效为,G,(s),H,(s),C,d,(s),(s),G,1,(s),其中：,G,(s)=,G,1,(s),G,2,(s),系统总相应为：,C,(s)=,C,r,(s)+,C,d,(s),扰动传函,：,假定,(s)=0,，,D,(s),C,d,(s),本节结束！,
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