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新人教版,-,八年级（上）,-,数学,-,第十一章,11.2.1,三角形的内角,学 习 目 标,1,1.,掌握三角形内角和定理及其推论,2.,会用添加辅助线的方法进行证明,3.,灵活运用三角形内角和定理,重点：,1,、能用多种方法证明三角形内角和定理,2,、会在证明中添加合适的辅助线。,三角形两边的夹角叫做三角形的内角,三角形的内角,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：,“,你凭什么度数最大，我也要和你一样大！,”“,不行啊！,”,老大说：,“,这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了,”“,为什么？,”,老二很纳闷。,同学们，你们知道其中的道理吗？,Z xxk,内角三兄弟之争,如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度,?,想一想,:,任意三角形的三个内角之和也为,180,度吗,?,30+60+90=180,45+45+90=180,思考与探索,把三个角拼在一起试试看,三角形的内角和是,180,度。,方法一：,A,B,C,演示,下,一页,1,2,3,方法二,:,将各角沿着一边所在的直线折叠,如果,ABC,是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把,A,、,B,撕下来再分别放在,1,、,2,的位置上，那么又如何论证,A+B+C=180,呢？,2,1,E,D,C,B,A,三角形的内角和等于,180,0,.,延长,BC,到,D,，,于是,CEBA,(,内错角相等，两直线平行,),.,B=2,Z xxk,(,两直线平行，同位角相等,),.,1+2+ACB=180,A+B+ACB=180,在,ABC,的外部，以,CA,为一边，,CE,为另一边作,1=A,，,证法一,(,等量代换,),2,1,E,D,C,B,A,三角形的内角和等于,180,0,.,延长,BC,到,D,，,过,C,作,CEBA,，,A=1,(,两直线平行，内错角相等,),B=2,(,两直线平行，同位角相等,),1+2+ACB=180,A+B+ACB=180,证法二,(,等量代换,),F,2,1,E,C,B,A,三角形的内角和等于,180,0,.,过,A,作,EFBC,，,B=2,(,两直线平行,内错角相等,),C=1,(,两直线平行,内错角相等,),2+1+BAC=180,B+C+BAC=180,证法三,(,等量代换,),C,B,E,A,三角形的内角和等于,180,0,.,过,A,作,AEBC,，,B=BAE,(,两直线平行,内错角相等,),EAB+BAC+C=180,(,两直线平行,同旁内角互补,),B+C+BAC=180,证法四,(,等量代换,),在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做,辅助线,。在平面几何里，辅助线通常画成,虚线,。,为了证明三个角的和为,180,0,转化为一个平角或同旁内角互补,这种,转化思想,是数学中的常用方法,.,思路总结,三角形内角和定理,:,三角形的内角和等于,180,0,.,即在,ABC,中，,A,+,B,+,C,=180,A+B+C=,180,0,的几种变形,:,A=,180,0,(B+C).,B=,180,0,(A+C).,C=,180,0,(A+B).,A+B=,180,0,-,C.,B+C=,180,0,-,A.,A+C=,180,0,-,B.,这里的结论,以后可以直接运用,.,三种语言,A,B,C,C,B,A,2.,推论：直角三角形中，两锐角互余。,即在直角,A B C,中，若,C,=90,，,则,A,+,B,=90,。,Z x xk,直角三角形,ABC,，记作：,RtABC,定理应用,三角形的三内角和是,180,，所以三内角可能出现的情况：,一个钝角 两个锐角,钝角三角形,锐角三角形,一个直角 两个锐角,直角三角形,三个都为锐角,钝角三角形,直角三角形,锐角三角形,(,口答,),下列各组角是同一个三角形的内角吗,?,为什么,?,（,2,）,60,，,40,，,90,（,3,）,30,，,60,，,50,（,1,）,3,，,150,，,27,（,是,）,（,不是,）,（,不是,）,巩固练习,已知三角形三个内角的度数之比为,1:3:5,，求这三个内角的度数。,解：设三个内角度数分别为：,x,、,3x,、,5x,由三角形内角和为,180,得,x+3x+5x=180,解得,x=20,所以三个内角度数分别为,20,60,100,。,（,1,）在,ABC,中，,A=35,，,B=43 C=,.,（,2,）在,ABC,中，,A:B:C=2:3:4,则,A=,_,B=,C=,.,（,3,）,A,：,B,：,C=3,：,2,：,1,，问,ABC,是,_,三角形,.,（,4,）,A,C=35 B,C=10,，则,B=,？,（,5,）,一个三角形中最多有,个直角，最多有,_,个钝角,，最多有,_,个锐角，,至少有,个锐角。,（,6,）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为,.,应用新知,7.,在,ABC,中，若,A+B=2C,，则,C=,。,8.,ABC,中,若,A,B,C,则,ABC,是（）,9,、如图：,=,。,32,0,44,0,48,0,A,B,C,已知,ABC,中,ABC,C=2A,BD,是,AC,边上的高，求,DBC,的度数。,D,解：设,A,x,0,，则,ABC,C,2x,0,x,2x,2x,180,（三角形内角和定理）,解得,x,36,C,2,36,0,72,0,DBC,180,0,90,0,72,0,（三角形内角和定理）,在,BDC,中，,BDC,90,0,(,三角形高的定义）,DBC,18,0,?,例题讲解,1,如图,C,岛在,A,岛的北偏东,50,方向，,B,岛在,A,岛的北偏东,80,方向，,C,岛在,B,岛的北偏西,40,方向。求下面各题,.,（,1,）,DAC,_ DAB,_ EBC,_,CAB,_,A,(2),从,C,岛看,A,、,B,两岛的视角,C,是多少,?,50,80,40,D,B,C,E,北,北,解：,ADBE,DABABE,180,ABE,180,DAB,180,80,100,在,ABC,中,C,180,CAB,ABC,180,30,60,90,ABC,ABECBE,30,10040,60,例题讲解,2,方法一,D,C,E,北,A,50,B,40,北,M,N,在,AMC,中 ,AMC=90,MAC=50,解：过点,C,画,MNAD,分别交,AD,、,BE,于点,M,、,N,1,2,方法二,1=180,-90,-50,=40,ADBE,AMC+BNC=180,BNC=90,同理得,2=50,ACB=180,-1-2,=180,-40,-50,=90,B,D,C,E,北,A,你能想出一个更简捷的方法来求,C,的度数吗？,1,2,50,40,解：过点,C,画,CFAD 1,DAC,50,F,CFAD,又,AD BE,CF BE,2,CBE,40,ACB,12,50 40,90,方法三,解,：,在,ACD,中,CAD,30 D,90,D,A,B,C,ACD=180 -30 -90=6 0,在,BCD,中,CBD=45 D,90,BCD=180-90-45=45,ACB=ACD-BCD=6 0-45=15,巩固练习,1.,如图,从,A,处观测,C,处时仰角,CAD,30,从,B,处观测,C,处时仰角,CBD,45,.,从,C,处观测,A,、,B,两处时视角,ACB,是多少,?,2.,如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是,(),(A),带去,(B),带去,(C),带去,(D),带和去,C,巩固练习,3.ABC,中,若,A,B,C,则,ABC,是,(),A,、锐角三角形,B,、直角三角形,C,、钝角三角形,D,、等腰三角形,4.,一个三角形至少有（）,A,、一个锐角,B,、两个锐角,C,、一个钝角,D,、一个直角,B,B,巩固练习,5.,如图,ABC,中,CD,平分,ACB,DEBC,A,70,ADE,50,求,BDC,的度数,.,A,B,C,D,E,解,:,A,70,ACB=180-A-B,=180,-70-50,=60,DE/BC,B=ADE,50,CD,平分,ACB,巩固练习,证明：,DE,BC,（已知）,AED=,C,（两直线平行，同位角相等）,C=70,0,（已知）,AED=70,0,（等量代换）,A+,AED+,ADE=180,0,（三角形的内角和定理）,A=60,0,（已知）,ADE=180,0,60,0,70,0,=50,0,（等量代换）,即,ADE=50,0,D,C,B,A,E,（第,1,题）,6,、已知,:,如图在,ABC,中，,DEBC,A=600,C=700.,求证：,ADE=500,7,、如图，直线,AB,CD,在,AB,、,CD,外有一点,P,，连结,PB,、,PD,，交,CD,于,E,点。则,B,、,D,、,P,之间是否存在一定的大小关系？,A,B,C,P,D,E,他们是怎样的，并加以证明,？,甲楼高,16,米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午,12,点,太阳光线与水平面夹角为,45,0,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？,甲,乙,16,米,45,0,？,45,0,16,米,解,:,由题意知,A,B,C,BC=AB=16,答,:,两楼的距离是,16,米,.,拓展与思考,1,2,、在,中，如果,=,B=C,，那么,是什么三角形？,解,:,设,A=x,那么,B=2x,C=3x,根据题意得,:,解得,A=30,B=60,C=90,所以,是直角三角形,拓展与思考,2,小结,1,、三角形的内角和定理：三角形内角和为,180,2,、由三角形内角和等于,180,，可得出,(1),推论：直角三角形中，两锐角互余；,(2),一个三角形最多有一个直角或一个钝角或三个锐角，最少有两个锐角；,(3),一个三角形中至少有一个角小于或等于,60,3,、三角形按角分类：,斜三角形,三角形,直角三角形,锐角三角形,钝角三角形,再见,
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