D最大值与最小值极值的应用问题

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、,最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或不行导点或端点处到达.,求函数最值的方法,:,(1),求 在 内的,极值可疑点,(2),最大值,最小值,端点,留意:,为极大点,为微小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能消逝在导数为 0 或,不存在的点.,1),函数的极值是函数的,局部性质,.,例如,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,特殊:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处到达.,假设在此点取极大 值,则也是最大 值.,(,小,),对应用问题,有时可依据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点,.,(,小,),例,1,求函数 上,-2,2,的最值,.,在,-2,2,上最大值,f,(-2)=,f,(2)=11,驻点为,x,1,=-1,x,2,=0,x,3,=1,令,解,:,由,对应函数值为,f,(-1)=2,f,(0)=3,f,(1)=2,端点的函数值为,f,(-2)=,f,(2)=11,最小值,f,(-1)=,f,(1)=2.,(1),建立目标函数,;,(2),求最值,;,实际问题求最值应留意:,例,2,将长度等于,l,的铁丝分成两端,一段围成正方形,另一端围成圆形,.,问,:,两端铁丝各为多长时,正方形面积与圆形面积之和最小,?,当,x,=(,l,)/(4+,),时,两者面积之和为,令,解,:,由取,x,长围成圆,其半径为,面积,解得,0,惟一的微小即最小.,余下长度为,l,x,围成正方形,其面积,为微小,其面积为最小,例3 设某商品价格P(q)=9/2-3q/2 万元/单位,q为需求量.生产总本钱为C(q)=1+q3/2万元,问 生产多少商品可以获得最大利润?,解:利润总收益总本钱,令,极大点,q=,1,生产,1,个产品可获最大利润,1,万元,.,总收益产量生产量价格,设产量为,q,时的利润为,L(,q,),例,4.,做一容积为,V,的圆形罐头筒,怎样设计才能使所用材料最省,?,解:欲材料最省,则罐头的总外表积最小.,筒底圆 半径 为,r,高 为,h,侧面积,:,底面积,:,体积,:,令,得,总外表积:,为极小值也是最小值,.,S,在点,这时相应的高为,例,2,.,求边长为,a,的铁皮剪去四角折成一无盖方盒,.,如何作才使体积最大,解,:,设小正方形边长为,x,则盒底边长为,a,-2,x,.,因四角小正方形只能在,(0,a,/2),内取值,.,故小正方形边长为,a,/6,处体积最大,.,令,得,例6甲城乙城相距为a,轿车从甲开往乙.假设车每小时燃油费用与车速的立方成正比,固定费用96元/小时.知车速100公里/小时,油费为60元/小时,问车速为何值可使整个行程总费用最小?,解,:,设车速,x,(km/h),燃油,+,固定费用,=,Kx,3,+96(,元,/h),车每小时总费用,=610,-5,x,3,+96,元,车全程用了,a,/,x,小时,全程总费用,L,(,x,)=(610,-5,x,3,+96),a,/,x,元,求导,L,(,x,)=,a,(1210,-5,x,96/,x,2,),=0,车速每小时,93,公里全程总费用最省,.,作业4.5 阅读 P106109 P109 1单,2,3 思考题,思考题解答,结论不成立,.,由于最值点不愿定是内点.,例,在 有最小值，但,点击图片任意处播放,暂停,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃跑，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，,速度为2千米/分钟,问我军摩托车何,时射击最好相,距最近射击最好？,例,2,(1),建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,解,:,某房地产公司有,50,套公寓要出租，当租金定为每月,180,元时，公寓会全部租出去当租金每月增加,10,元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费,20,元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月,元，,租出去的房子有,套，,每月总收入为,例3,唯一驻点,故每月每套租金为,350,元时收入最高,.,最大收入为,例3,续,点击图片任意处播放,暂停,例,4,如图,例,4,解,解得,例,4,解续,库存费用,:,P24例2.某厂每年供给市场某型号车床a台,分假设干批生产,解,:,总费用,:,每年生产预备费为:,库存量为,每年生产批数为,:,设批量为x,库存费与生产预备费为P(x).,每批次的生产预备费为b元.产品均匀投放市场,且上一批,费与生产预备,机动 名目 上页 下页 返回 完毕,用完后立刻生产下一批,即平均库存为批量的一半.设每年,每台库存费为为c元.明显,生产批量大则库存费高;生产批,量少则批数增多,生产预备费高.问如何生产使一年中库存,费的和最小,.,P170,例,4,解,:,又因,一年中库存费与生产预备费之和最小的最优批量应为:,故舍去,.,每批生产多少台时,P,(,x,),最小,?,量,x,的函数关系为,一年中库存费与生产预备费的和P(x)与每批产,c为每台产品的库存费,在不考虑生产力气的条件下,a,为年产量,b为每批次的生产预备费,(,k,为某一常数,),例,5.,铁路上,AB,段的距离为,100 km,工厂,C,距,A,处,20,AC,AB,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,铁路与大路每公里货运价之比为 3:5,为使货,D,点应如何选取,?,20,解,:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,微小点,故,AD,=15 km,时运费最省,.,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小点,问,Km,大路,例,6.,求函数,在闭区间,上的最大值和最小值,.,解:明显,且,故函数在,取最小值,0;,在,及,取最大值,5.,因此也可通过,例,6.,求函数,说明,:,求最值点,.,与,最值点一样,由于,令,(,自己练习,),在闭区间,上的最大值和最小值,.,内容小结,1.,连续函数的极值,(1),极值可疑点,:,使导数为,0,或不存在的点,(2),第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为微小值,(3)其次充分条件,为极,大,值,为微小值,(4),判别法的推广,(Th.3),最值点应在极值点和边界点上找,;,应用题可依据问题的实际意义判别.,思考与练习,2.,连续函数的最值,1.,设,则在点,a,处,().,的导数存在,取得极大值,;,取得极小值,;,的导数不存在,.,B,提示,:,利用极限的保号性,.,P60,2.,设,在,的某邻域内连续,且,则在点,处,(A)不行导;,(,B,),可导,且,(C),取得极大值,;,(D)取得微小值.,D,提示,:,利用极限的保号性,.,3.,设,是方程,的一个解,若,且,则,在,(,A,),取得极大值,;,(B)取得微小值;,(,C,),在某邻域内单调增加,;,(D)在某邻域内单调削减.,提示,:,A,作业四,P168-171,阅读,P195,9,(4),(8),(10),(12);,P196,20,23,;,26,;,29.,作 业 问 题,35 求以下曲线的渐近线：,解,:,36 作以下函数的图形：,解,:,36 作以下函数的图形：,解,:,例4 设某商品每斤本钱为C元,需求函数为 q=a/(x-C)+b(100-x),其中a,b为正常数.问 x 等于何值时可以获得最大利润?,解,:,售出一斤可获利,x,C,元,总利润为,令,L,(,x,)=0,得惟一驻点,x,0,=50+C/2,故,L,(50+C/2)=,a,+,b,(50-C/2),2,为最大值,.,44,设某商品需求量,Q,对价格,P,的函数关系为,Q,=,f,(,P,)=1600(1/4),P,求需求,Q,对于价格,P,的弹性函数,解,:,46 设某商品的供给函数Q=2+3P,求供给弹性函数及P=3时的供给弹性.,解,:,47,某商品的需求函数为,Q=Q,(,P,)=75,-P,2,(1)求P=4时的边际需求，并说明其经济意义；(2)求P=4时的需求弹性，并说明其经济意义；(3)当P=4时，假设价格P上涨1,总收益将变化百分之几？是增加还是削减？,(4)当P=6时，假设价格P上涨1,总收益将变化百分之几？是增加还是削减？,(5)P为多少时，总收益最大？,解,:,47,解：,47,解：,47,解：,B9,函数 在,x,=,x,0,处取得极大值则必有,解,:,B10 是函数f(x)在x=x0处有微小值的一个 ,解,:,B11,函数 在定义域内,解,:,B11,函数 在定义域内,解,:,B12,设函数,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内有 且 则,y,=,f,(,x,),在,(,a,b,),内,解,:,B13,”,f,(,x,0,)=0”,是,f,(,x,),的图形在,x,=,x,0,处有拐点的,解,:,光滑,尖,