直线投影基本知识课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,直线的投影,本节提要：,（,1,）直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置,（,2,）直线上的点的投影特性,（,3,）求直线的真长及其对投影面的倾角,（,4,）两直线的相对位置,（,5,）两直线垂直,2.2 直线的投影本节提要：（1）直线的投影以及直线对投影,1,2.2.1,直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置,1,直线的投影,H,A,B,a,b,直线可视为点的集合，所以直线的投影就是点的投影的集合。,确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需知道直线上两个点的投影，再连线即可。,2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置1,2,如图所示，,分别将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。,直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。,a,b,c,(,d,),Z,X,O,Y,H,Y,W,a,a,a,b,b,b,如图所示，分别将两点的同面投影用直线连接，就得到直线,3,直线的投影特性：,A,B,C,D,E,F,a,b,c,d,垂直于投影面的直线在该投影面上的投影，积聚成一点（,积聚性,）。,平行于投影面的直线在该投影面上的投影，与直线本身平行且等长。,倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影，短于直线的真长。,直线的投影特性：ABCDEFabcd垂直于投影面的直线在该,4,2,直线对投影面的各种相对位置,直线,一般位置直线：对三个投影面,H,、,V,、,W,都倾斜,投影面平行线,（只平行于一个投影面）,水平线（,H,面，对,V,、,W,面都倾斜）,正平线（,V,面，对,H,、,W,面都倾斜）,侧平线（,W,面，对,H,、,V,面都倾斜）,投影面垂直线,（垂直于一个投影面，,平行于另外两个投影面）,铅垂线（,H,面，,V,面，,W,面）,正垂线（,V,面，,H,面，,W,面）,侧垂线（,W,面，,H,面，,V,面）,平行,线,平行,于一个投影面，,倾斜,于另两个投影面。,垂直,线,垂直,于一个投影面，,平行,于另两个投影面。,特殊位,置直线,2 直线对投影面的各种相对位置直线一般位置直线：对三个投影,5,H,V,A,B,W,a,b,a,b,a,b,O,直线与投影面的夹角,是指空间直线与它在该投影面上的正投影的夹角。,直线对,H,、,V,、,W,面的倾角，分别用,、,、,表示。,H,B,A,A,0,B,0,a,b,直线平行于投影面时，倾角为,0,，垂直于投影面时，倾角为,90 ,，倾斜于投影面时，倾角为,090,。,HVABWabababO直线与投影面的夹角是指空间直,6,（,1,）一般位置直线,O,X,Z,Y,A,B,b,b,a,b,a,a,Z,X,a,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,b,投影特性：,1,、,a b,、,a,b,、,a,b,均小于实长,2,、,a b,、,a,b,、,a,b,均倾斜于投影轴,3,、不直接反映直线对投影面的倾角,（1）一般位置直线OXZYABbbabaaZX,7,水平线,平行于水平投影面的直线,投影特性,：,1,a,b,=,AB,2,ab,OX,;,a,b,OZ,，且长度缩短,3,反映,a,、,角的真实大小,（,2,）投影面平行线,X,Z,Y,O,a,a,b,a,b,b,A,B,X,a,b,a,b,O,z,Y,H,Y,W,b,a,水平线 平行于水平投影面的直线投影特性：1 ab =,8,X,Z,Y,O,X,a,b,a,b,b,a,O,Z,Y,H,Y,W,A,B,投影特性：,1,、,ab,OX,;,a,b,OZ,2,、,a,b,=,AB,3,、,反映,、,角的真实大小,a,a,b,a,b,b,正平线,平行于正面投影面的直线,（,2,）投影面平行线,XZYOXabab baOZYHYWAB 投,9,X,Z,Y,O,X,Z,O,Y,H,Y,W,a,b,b,a,b,a,A,B,投影特性：,1,、,a,b,OZ,;,ab,OY,H,2,、,a,b,=,AB,3,、,反映,、,角的真实大小,a,a,b,a,b,b,侧平线,平行于侧面投影面的直线,（,2,）投影面平行线,XZYOXZOYHYWa b babaAB投,10,（,2,）投影面平行线,正,平,线,水,平,线,侧,平,线,空间,直观图,投影图,投影,特性,1.,a,b,反映真长和倾角,、,2.,ab,OX,，,a,b,OZ,，且长度缩短,1.,ab,反映真长和倾角,、,2.,a,b,OX,，,a,b,OY,W,，且长度缩短,1.,a,b,反映真长和倾角,、,2.,ab,OY,H,，,a,b,OZ,，且长度缩短,（2）投影面平行线正 平 线水 平 线侧,11,投影面平行线的投影特性：,在平行的投影面上的投影，反映直线的真长以及对另外两个投影面的倾角。,在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。,投影面平行线的投影特性：,12,例,1,：判断下列直线的空间位置。,a,b,a,b,X,O,a,b,a,b,X,O,AB,为水平线,CD,为侧平线,例1：判断下列直线的空间位置。ababXOababX,13,AB,为,线,CD,为,线,EF,为,线,正 平,一般位置直,水 平,c,(,a,),b,(,d,),a,e,f,a,b,c,(,e,),d,(,f,),b,c,d,e,f,A,B,C,D,E,F,例,2,：参考立体图，判断物体上的直线是属于哪一类直线。,AB为,14,O,X,Z,Y,Z,b,X,a,b,a(b),O,Y,H,Y,W,a,投影特性：,1,、,a b,积聚 成一点,2,、,a,b,OX,;,a,b,OY,W,3,、,a,b,=,a,b,=,AB,铅垂线,垂直于水平投影面的直线,A,B,b,a(b),a,a,b,（,3,）投影面垂直线,OXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：,15,正垂线,垂直于正面投影面的直线,O,X,Z,Y,投影特性：,1,、,a,b,积聚 成一点,2,、,ab,OX,;,a,b,O,Z,3,、,ab,=,a,b,=,AB,A,B,z,X,a,b,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,b,a,b,a,b,a,（,3,）投影面垂直线,正垂线 垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性： 1、 a,16,侧垂线,垂直于侧面投影面的直线,O,X,Z,Y,A,B,投影特性：,1,、,a,b,积聚 成一点,2,、,ab,OY,H,;,a,b,O,Z,3,、,ab,=,a,b,=,AB,b,a,a,b,a,b,Z,X,a,b,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,（,3,）投影面垂直线,侧垂线 垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性： 1、,17,（,3,）投影面垂直线,正,垂,线,铅,垂,线,侧,垂,线,空间直观图,投影图,投影特性,1.,a,b,积聚成一点,2.,ab,OY,H,，,a,b,OY,W,，且反映真长,1.,ab,积聚成一点,2.,a,b,OZ,，,a,b,OZ,，且反映真长,1.,a,b,积聚成一点,2.,ab,OX,，,a,b,OX,，且反映真长,（3）投影面垂直线正 垂 线铅 垂 线侧,18,投影面垂直线的投影特性：,在垂直的投影面上的投影积聚成一点。,在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴，且反映真长。,投影面垂直线的投影特性：,19,例,1,：根据投影图，判断下列直线的空间位置。,侧平线,侧垂线,铅垂线,水平线,O,a,b,b,a,X,c,c,d,d,O,X,Z,Y,H,Y,W,O,c,d,d,c,X,Z,a,b,O,X,Y,H,Y,W,b,a,例1：根据投影图，判断下列直线的空间位置。侧平线侧垂线铅垂线,20,解题思路：,熟悉水平线的投影特性，明确正面投影平行于投影轴。,b,a,a,b,O,X,例,2,：,已知,AB,为水平线，补画,a,b,。,解题思路：baabOX例2：已知AB为水,21,O,X,Z,Y,H,Y,W,a,a,a,30,b,例,3:,过点,A,向,右上方作一正平线,AB,，使,其实长为,25,，与,H,面的倾角,=30,。,25,b,b,解题思路,：熟悉,正平线的投影特性，并从反映实长和,的投影入手。,作图要点,:,.,做,正平线的正面投影；,.,过点,a,做正平线的水平投影和侧面投影。,OXZYHYWaaa30b例3:过点A向右上方作一正平,22,2.2.2,直线上的点的投影特性,可以证明：,直线上的点的,水平投影,，必在该直线的,水平投影,上；,直线上的点的,正面投影,，必在该直线的,正面投影,上；,直线上的点的,侧面投影,，必在该直线的,侧面投影,上。,几何形体在同一个投影面上的投影称为,同面投影,。,2.2.2 直线上的点的投影特性可以证明：直线上的点的水平,23,V,H,直线上的点的第一个投影特性：直线上的点的投影，必在直线的同面投影上。,即具有,从属性。,A,B,C,b,a,b,a,c,D,若点的投影有一个不在直线的同面投影上， 则该点必不在此直线上。,d,d,c,VH直线上的点的第一个投影特性：直线上的点的投影，必在直线的,24,直线上的点的第二个投影特性：若直线不垂直于投影面，则直线段上的点分割线段的长度比，与该点的投影分割直线段同面投影的长度比相等。,即具有,定比性。,利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。,直线上的点的第二个投影特性：若直线不垂直于投影面，则直线段上,25,如何检验点是否在直线上。,检验方法：,（,1,）,在三面体系中：用直线上的点的第一个投影特性检验。,a,c,d,b,a,c,d,b,a,c,d,b,O,X,Z,Y,H,Y,W,C,点在直线,AB,上，,D,点不在直线,AB,上。,如何检验点是否在直线上。检验方法：（1）在三面体系中：用直线,26,（,2,）,在两面体系中：,将两面体系扩展成三面体系，用直线上的点的第一个投影特性就可检验。,a,b,k,因,k,不在,a,b,上，故点,K,不在,AB,上。,a,b,k,a,b,k,O,X,Y,H,Z,Y,W,Z,X,Y,O,V,W,H,A,C,B,D,a,c,d,b,a,c,b,d,a,c,d,b,（2）在两面体系中：将两面体系扩展成三面体系，用直线上的点,27,先用直线上的点的第一个投影特性检验点是否在直线上，如果无法检验，再用直线上的点的第二个投影特性进行检验。,a,b,k,a,b,k,O,X,因,ak,/,kb,不等于,a,k/k,b,，故点,K,不在,AB,上。,先用直线上的点的第一个投影特性检验点是否在直线上，如果无法,28,O,X,a,b,a,b,例,1,如图所示，已知直线,AB,，在,AB,上取点,C,和,D,，点,C,距,H,面,10mm,，点,D,分割,AB,成,AD,:,DB,=3:1,，作点,C,和,D,的两面投影。,O,X,a,b,a,b,c,c,1,2,3,4,d,d,10,OXabab例1 如图所示，已知直线AB，在AB上,29,例,2,如图所示，已知直线,AB,以及点,C,、,D,，检验点,C,、,D,是否在直线,AB,上。,解,分析,:,直线,AB,是侧平线，对,V,、,H,两面体系，侧平线是特殊直线。,a,c,d,b,a,c,d,b,O,X,Z,X,Y,O,V,W,H,A,C,B,D,a,c,d,b,a,c,b,d,a,c,d,b,例2 如图所示，已知直线AB以及点C、D，检验点C、D,30,X,a,b,a,c,d,b,a,c,d,b,O,X,（,1,）检验方法一（补第三投影）,（,2,）检验方法二（直线上点的第二个投影特性）,c,0,d,0,b,0,c,d,XabacdbacdbOX（1）检验方法一（补第,31,b,X,a,a,b,c,O,例：已知点,C,在线段,AB,上，求点,C,的正面投影。,c,ac,cb,X,O,A,B,b,b,a,a,c,C,c,H,V,bXaabcO例：已知点C在线段AB上，求点C的正面投影,32,Z,O,a,b,b,a,c,例,如图所示，已知直线,AB,，并知直线,AB,上的点,C,距离侧面,W,10mm,，作点,C,的两面投影。,Z,O,a,b,b,a,10,c,b,0,c,0,解,分析,:,直线,AB,是水平线，对,V,、,W,两面体系，水平线是特殊直线。,ZOabbac例 如图所示，已知直线AB，并,33,2.2.3,求直线的真长及其对投影面的倾角,1,求线段的真长及其对投影面的倾角,特殊位置直线在投影图中能直接反映直线的真长及其对投影面的倾角,。,可用直角三角形法作出倾斜线的实长及其与投影面的夹角。,一般位置直线在投影图中不能直接反映其真实长度及其对投影面的倾角。,2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角1 求线段的真,34,X,O,a,b,a,b,A,V,H,X,O,a,b,B,a,b,Z,c,C,直角三角形,ABC,中,：,斜边,AB,=,AB,实长,直角边,BC,=,b,c,=,Z,直角边,AC,=,ab,角：,ab,与实长,AB,的夹角,AB,实长,Z,ab,实长,Z,Z,XOababAVHXOabBabZcC直角三角形,35,X,O,a,b,a,b,A,V,H,X,O,a,b,B,a,b,Y,实长,Y,Y,求一般位置直线的实长及其与,V,面的夹角,XOababAVHXOabBabY实长YY,36,Y,W,X,O,a,b,a,b,Y,H,Z,a,b,V,H,X,O,W,Y,Z,a,b,a,b,a,b,A,B,求一般位置直线的实长及其与,W,面的夹角,X,实长,X,X,YWXOababYHZabVHXOWYZabab,37,Y,W,X,O,a,b,a,b,Y,H,Z,a,b,实长,X,Z,实长,Y,实长,YWXOababYHZab实长XZ实长Y,38,例,如图所示，求直线,AB,的真长及其对投影面,H,、,V,的倾角,、,。,O,X,a,b,b,a,O,X,a,b,b,a,y,=,ab,z,AB,真长,例 如图所示，求直线AB的真长及其对投影面H、V的倾角,39,例：已知点,C,在直线,AB,上，且,AC,=20,求,C,点的投影,。,20,c,b,X,O,a,a,b,c,例：已知点C在直线AB上，且AC=20, 求C点的投影。20,40,c,c,d,d,O,Z,y,x,y,2,已知直线的真长和倾角求解有关定位和度量问题,例,如图所示，已知直线,CD,的两面投影，求,CD,对投影面,V,、,W,的倾角,、,，并在,CD,上取一点,T,，,T,与,C,的真实距离为,10mm,，作点,T,的两面投影。,c,c,d,d,O,Z,CD,真长,x,CD,真长,t,t,10,H,V,X,O,A,B,a,b,a,b,T,t,t,1,b,1,ccddOZyxy2 已知直线的真长和倾角求,41,O,X,e,e,f,例,如图所示，已知直线,EF,的水平投影,ef,和端点,E,的正面投影,e,，并知,EF,的真长为,20mm,，补全,EF,的正面投影,ef,，同时，请回答这个题目有几解。,O,X,e,e,f,R,20,f,0,f,f,答：有,两 解,思考题：若将已知条件实长换成,=30,，则如何解题？,OXeef例 如图所示，已知直线EF的水平投影ef和,42,2.2.4,两直线的相对位置,两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。,平行,两直线和,相交,两直线分别位于同一平面上，是,共面,直线；,交叉,两直线彼此既不平行，又不相交，它们不在同一平面上，又称为,异面,直线。,2.2.4 两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：平,43,（,1,）两直线平行,平行两直线的同面投影均分别互相平行。,X,O,V,H,P,Q,A,B,C,D,a,b,c,d,a,a,b,c,d,直观图,X,O,Z,Y,H,Y,W,a,b,c,d,a,b,c,d,b,a,c,d,投影图,（1）两直线平行平行两直线的同面投影均分别互相平行。XOVH,44,例,1,：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,结论：,AB,/,CD,a,b,c,d,a,b,c,d,X,O,例1：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个,45,例,2,：判断图中两条直线是否平行。,对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,结论,:,AB,与,CD,不平行,求出侧面投影,如何判断？,b,d,c,a,Y,W,Y,H,Z,c,b,a,d,d,a,c,X,O,b,例2：判断图中两条直线是否平行。 对于投影面平行,46,如何检验两直线是否平行,检验方法：,（,1,）,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,（,2,）,对于投影面平行线，可采用以下两种方法：,1,）,若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,2,）作出投影面平行线的三面投影。,如何检验两直线是否平行检验方法：（1）对于一般位置直线，只要,47,相交两直线的同面投影都分别互相相交；并且，同面投影的交点是同一点的投影，这个点就是两直线的交点。,（,2,）两直线相交,H,C,D,A,B,K,a,b,c,d,k,直观图,投影图,O,X,Z,Y,W,Y,H,a,b,c,d,a,b,c,d,a,b,c,d,k,k,k,判断两直线相交或交叉的关键原则,相交两直线的同面投影都分别互相相交；并且，同面投影的交点是同,48,d,k,k,d,例：过,C,点,作水平线,CD,与,AB,相交。,先作正面投影,c,a,b,b,a,c,X,O,dkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影,49,例： 求作水平线,L,，使其距,H,面的距离为,15,，且与直线,AB,、,CD,都相交。,15,l,l,a,b,a,b,c,d,d,c,X,O,例： 求作水平线L，使其距H面的距离为15，且与直线AB、C,50,d,b,a,a,b,c,d,c,同面投影虽相交，但 “交点”不符合空间同一个点的投影规律。,AB,与,CD,两直线相交吗,投影特性：,结论：,AB,与,CD,两直线不相交，属于交叉直线,（,3,）两直线交叉,dbaabcdc同面投影虽相交，但 “交点”不符合空,51,直观图,X,O,V,H,A,B,C,D,a,b,1,c,d,2,a,b,c,d,1,(2),交叉两直线的同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影；或同面投影有的相交，有的平行。,投影图,c,a,1,(2),d,a,b,b,c,d,1,2,O,X,直观图XOVHABCDab1cd2abcd1(,52,a,b,c,d,X,O,b,c,d,a,交叉两直线判断重影点投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。用其可帮助判断两直线的空间位置。,CD,在上,AB,在下,CD,在后,AB,在前,4,3,2(1),1,2,3,(,4,),a,b,c,d,X,O,b,c,d,a,abcdXObcda交叉两直线判断重影点投影的可见性,53,X,O,Z,Y,w,Y,H,c,a,b,d,c,d,a,b,c,b,d,a,3,(4,),2,1,1(2),3,4,5,(6,),5,6,XOZYwYHcabdcdabcbda3(,54,两直线相对位置的检验和作图题示例,例,如图所示，检验直线,AB,、,CD,的相对位置。,X,O,a,b,b,a,d,c,c,d,Z,X,O,Y,W,Y,H,a,b,c,d,a,b,c,d,a,b,c,d,结论：,AB,与,CD,两直线属于交叉直线,两直线相对位置的检验和作图题示例例 如图所示，检验直线,55,例： 判断两线段,DE,、,FG,是否平行。,DE,、,FG,共面，故平行。,DE,、,FG,不共面，故不平行。,d,e,f,g,O,X,g,f,d,e,d,e,f,g,X,g,f,d,e,Y,W,O,Y,H,Z,d,e,f,g,d,e,f,g,X,g,f,d,e,Y,W,O,Y,H,Z,d,e,f,g,e,d,f,g,X,g,f,d,e,O,例： 判断两线段DE、FG 是否平行。DE、FG共面，故平行,56,X,O,a,b,a,b,c,c,作,CDAB,例题,如图所示，已知直线,AB,及点,C,，过点,C,作,CD,AB,。,X,O,a,b,a,b,c,c,已知,d,d,过点作直线平行已知直线,XOababcc作CDAB例题 如图所示，已知,57,O,X,e,f,e,f,ab,a,b,c,d,c,d,例题,如图所示，已知直线,AB,、,CD,、,EF,，求直线,PR,，使,PR,与,AB,交于点,P,，与,CD,交于点,Q,，平行于,EF,，点,R,在,PQ,沿着,P,到,Q,方向的延长线上，,PR,的真长为,30mm,。作直线,PR,的两面投影；同时也作出点,Q,的两面投影。,O,X,e,f,e,f,ab,a,b,c,d,c,d,d,0,p,q,q,0,q,p,g,g,z,z,30,r,0,g,0,r,r,OXefefababcdcd例题 如图所示,58,2.2.5,两直线垂直,1,两直线垂直,相交,的投影特性,当两直线相交成直角时，两直角边有下列四种情况，它们的投影特性如下：,当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影,不是直角,。,当两直线相交或交叉时，都有一种特殊情况，即两直线垂直，也就是两直线之间的夹角为直角。这里着重讲述一边平行于投影面的直角的投影特性。,2.2.5 两直线垂直1 两直线垂直相交的投影特性当两直,59,当直角的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影,仍是直角,。,当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜于该投影面时，在该投影面上的投影,仍是直角,。,当直角的一边平行于投影面，另一边垂直于该投影面时，在该投影面上的投影,为一条直线,。,当直角的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。,60,X,O,a,b,c,a,b,c,例,:,如图所示，已知直线,AB,及点,C,，过,C,作,CD,AB,。,过点,C,作直线垂直于已知直线,X,O,a,b,c,a,b,c,d,d,XOabcabc例: 如图所示，已知直线AB及点C，过,61,例：已知水平线,AB,及正平线,CD,，,试过定点,S,作它们的公垂线,。,l,l,X,O,a,b,c,d,s,a,b,c,d,s,例：已知水平线AB 及正平线CD，试过定点S 作它们的公垂线,62,Z,O,a,a,b,c,b,c,例,2.10,如图所示，已知点,A,和正平线,BC,，过点,A,作,BC,的垂线,AD,和垂足,D,，并求出点,A,和,BC,间的真实距离。,Z,O,a,a,b,c,b,c,d,x,d,x,a,0,所求距离,ZOaabcbc例2.10 如图所示，已知,63,a,b,a,b,d,O,X,例：试补全矩形,ABCD,的两面投影图。,d,c,c,ababdOX例：试补全矩形ABCD的两面投影图。 d,64,2,两直线垂直,交叉,的投影特性,由一直线的一个端点作另一与它相交叉的直线的平行线，两相交直线之间的夹角，即为这两条交叉直线之间的夹角。,两直线交叉成直角的投影特性，除了一边平行于投影面、,另一边,垂直于该投影面时，,后者,在这个投影面上的积聚投影不在前者的同面投影上以外，其它都与两直线相交成直角的投影特性相同。,当直角的一边平行于投影面，另一边垂直于该投影面时，在该投影面上的投影,为一条直线,（垂直于投影面的直线积聚为一点，融合在平行于投影面的直线的投影中）,。,2 两直线垂直交叉的投影特性由一直线的一个端点作另一与它相,65,本章结束,本章结束,66,