第三章-扭转正式第二讲

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,1,3.,刚度条件,2.,单位长度扭转角,扭转角，,GI,p,称作抗扭刚度,称作许可,单位长度扭转角,对于精密机器的轴,j,0.150.30 ()/m,；,对于一般的传动轴,j,2()/m,。,当,T,或截面尺寸在各段不同时，两端截面相对扭转角按代数相加,：,2,图示钢制实心圆截面轴，已知：,M,1,=1 592 N,m,，,M,2,=955 Nm,，,M,3,=637 Nm,，,l,AB,=300 mm,，,l,AC,=500 mm,，,d,=70 mm,，,钢的切变模量,G,=80 GPa,。,试求横截面,C,相对于,B,的扭转角,j,BC,。,例题,3-5,3,1.,用截面法求出,I,、,II,两段轴内的扭矩分别为,解：,M,1,=1 592 Nm,，,M,2,=955 Nm,，,M,3,=637 Nm,4,2.,分别计算,A,相对于,B,截面,、,C,截面相对于,A,截面,的扭转角,j,BA,、,j,AC,：,5,3.,C,截面相对于,B,截面的扭转角为,j,BC,的转向与,M,3,相同。,6,例题,3-6,某汽车的主传动轴 是用,40,号钢的电焊钢管制成,钢管,外径,D,=76mm,壁厚,d,=2.5,mm,轴传递的力偶矩,M,e,=1.98kNm,材料的许用切应力,=100MPa,切变模量为,G,=80GPa,轴的,许可,扭角,=2,/m,.,试校核轴的,强度和刚度,.,D,d,d,M,e,M,e,7,解：轴的扭矩,轴的内、外径之比,由强度条件,由刚度条件,D,d,d,M,e,M,e,（,-,）,=100MPa,=2,/m,满足强度和刚度要求,8,例题,3-7,两端固定的圆截面杆,AB,在截面,C,处受一个扭转力偶矩,M,e,的作用,如图所示,.,已知杆的抗扭刚度,GI,p,试求杆两端的支反力偶矩,.,C,M,e,a,b,A,B,l,9,解,:,去掉约束,代之以约束反力偶矩,这是一次超静定问题,须建立一个,补充方程,A,C,B,M,e,M,e,A,M,e,B,C,截面相对于两固定端,A,和,B,的相对扭转角相等,.,杆的变形相容条件是,C,M,e,a,b,A,B,l,10,C,M,e,a,b,A,B,l,（,1,）变形几何方程,（,2,）由物理关系建立补充方程,解得,A,C,B,M,e,M,e,A,M,e,B,AC,=,BC,代入：,11,例题3-,8,图 示一长为,l,的组合杆,由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作,其抗扭刚度,G,a,I,p,a,、,G,b,I,p,b,.当此组合杆的两端各自固定在刚性板上,并在刚性板处受一对矩为,M,e,的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩.,M,e,M,e,l,A,B,12,解：,1,）列平衡方程,这是一次超静定问题,.,M,e,M,e,M,e,l,A,B,M,a,M,b,13,M,b,M,a,M,e,M,e,M,e,l,A,B,变形相容条件是内、外杆,的扭转变形应相同,.,2,）变形几何方程：,3,）物理关系：,14,代入变形几何方程,得补充方程,M,b,M,a,M,e,M,e,M,e,l,A,B,代入,平衡方程,得：,15,弹簧的螺旋角,5,，,这样的,弹簧称为密圈螺旋弹簧。近似认为，,簧丝横截面与弹簧轴线（即与力,F,）,在同一平面内。,且当,D,d,可以略去簧丝曲率,影响，近似用直杆公式计算。,3-6,密圈螺旋弹簧的应力和变形,一、弹簧丝横截面上的应力,F,D=2R,16,簧丝的横截面上有两个内力分量,F,s,和,T,，,根据静力平衡有：,F,S,T,F,P,F,2.,应力的计算,为便于分析,将杆的斜度,近似为,0,截面法,1.,内力的计算,与,F,s,对应的切应力：,17,F,S,T,F,P,F,与扭矩,T,对应的切应力为：,在靠近轴线的内侧点,A,总应力达到最大值：,A,当,D/d10,时，（,d/2D,）与,1,相比不超过,5%,，可以省略。有：,18,（,1,）当,D,/,d,较小,会引起很大的误差,;,（,2,）假定剪切引起的切应力是均匀分布的,.,式中,c,为弹簧指数,k,为曲度系数。,3.,强度条件,公式修正,;,19,F,S,T,F,P,F,若只考虑簧杆扭转的影响，可得簧杆内单位体积的应变能为：,二、弹簧的变形,1.,应变能的计算,20,F,S,T,F,P,F,弹簧应变能为：,dA,21,3.,功能原理,V,=,W,当弹簧的变形为,l,时，外力所做的功为,F,F,O,l,l,2.,外力做的功,C,弹簧刚度,22,例题,3-10,某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经,R,=59.5 mm,簧丝横截面直径,d,=14mm,有效圈数,n,=5.,材料的,=350MPa,G,=80GPa,弹簧工作时总压缩变形（包括预压,变形）,为,l,=55mm,试校核弹簧的强度,.,解：求出弹簧所受的压力,F,为,由,R,及,d,求出,查表,3.1,查处弹簧的曲度系数,k,=1.17,弹簧满足强度要求,.,23,3-7,非圆截面杆的扭转,非圆杆,如矩形截面杆扭转后横截面将发生,翘曲,而不再是平面,.,一、基本概念,24,（,2,）,约束扭转:,若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加的正应力。这一情况称为,约束扭转,。,（,1,）,自由扭转,:,等直非圆杆在扭转时端面可以自由翘曲不受限制，属,自由扭转，,其相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而没有正应力。,25,矩形截面扭转时,横截面切应力如图所示，边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流；四个角点处切应力为零。,整个横截面上的最大切应力发生在长边的中点,.,二、矩形截面自由扭转,短边中点的切应力,是短边上的最大切应力,且,思考：边界切应力方向,26,表,3-2,矩形截面杆在自由扭转时的因数,a,、,b,和,n,27,h,切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值除在靠近顶点处以外均相等,.,三、狭长矩形,狭长矩形截面的,I,p,和,W,t,：,当,h/,10,时，截面称为,狭长矩形，截面上切应力的分布情况见右图,:,28,例题3-11 一矩形截面的等直钢杆,其横截面尺寸,h,=100mm,b,=50mm,长度,l,=2m,在杆两端作用一对扭转力偶矩,M,=4 kN,m,.钢的许用切应力,t,=100 MPa,切变模量,G,=80GPa,许可,单位长度扭转角,=1,/m,.试,校核该杆的强度和刚度.,解：横截面上的扭矩,查表,3-2,得：,29,杆的强度和刚度满足要求。,30,例题,3-12,图示圆截面杆,AB,左端固定，承受一集度为,t,的,均布力偶矩作用。试导出计算截面,B,的扭转角公式。,L,t,x,dx,解：,取微段作为研究对象。,T,x,(x),T,x,(x),L-x,t,T,x,(x),根据平衡条件求得横截面上的扭,矩为：,微段两端截面的相对扭转角为,A,B,31,L,t,A,B,32,讨论,a,b,c,d,33,思考：从图,a,所示受扭圆杆中取出的分离体如图,b,所示。由切应力互等定理可知径向截面,ABDC,上有切应力分布如图所示。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？,34,在扭矩,T,为常量时，长度为,l,的等直圆杆所储存的应变能为,例,3-13,推导等直圆杆在扭转时储存的应变能,由 可知，有,解：,35,当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为,36,图示,AB,、,CD,为等直圆杆，其扭转刚度均为,GI,p,，,BC,为刚性块，,D,截面处作用有外力偶矩,M,e,。,试,求：,(1),杆系内的应变能；,(2),利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求,D,截面的扭转角,j,D,。,A,B,C,D,M,e,l/,2,l,(a),例题,3-14,37,1.,用截面法分别求,AB,和,CD,杆的扭矩,T,1,和,T,2,T,2,=M,e,D,M,e,T,1,=,-,M,e,B,C,D,M,e,(b),A,B,C,D,M,e,l/,2,l,(a),解,:,38,2.,杆系应变能为,T,2,=M,e,D,M,e,T,1,=,-,M,e,B,C,D,M,e,(b),39,其转向与,M,e,相同。,3.,求,D,截面的扭转角,j,D,A,B,C,D,M,e,l/,2,l,(a),40,第三章 结束,作业：,3-10/11/19,