分数阶傅里叶变换的离散算法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、分数阶,Fourier,变换的定义,二、分数阶与其他时频分析工具（,Wigner-Ville,分布）的关系,三,、,离散分数阶傅立叶变换的计算,一、分数阶,Fourier,变换的定义,二,、,分数阶傅里叶变换与,Wigner-Ville,分布,首先，看一下,Wigner-Ville,分布,是,傅里叶变换,经过一系列变换后变为,由以上可得，等式的右边是 的,Wigner-Ville,分布，,左边是 的,Wigner-Ville,分布,也就是说 的,Wigner-Ville,分布，,是由 的,Wigner-Ville,分布旋转,角得到。,所以分数阶,Fourier,变换有一个重要的性质，分数阶,Fourier,变换是角度为,的时频面旋转,.,这个性质建立起分数阶,Fourier,变换与时频分布间的直接联系,并且为分数阶,Fourier,域理解为一种统一的时频变换域奠定了理论基础,同时也为分数阶,Fourier,变换在信号处理领域中的应用提供了有利条件。,t,u,v,三、离散分数阶傅立叶变换的计算,目前,DFRFT,的四种离散化算法,在这篇文献中，第二种，采用分解的方法。,1.,第一种分解方法,可以把以上改写为,假定,p-1,1,经过量纲归一化的信号,x(t,）的分数阶傅里叶变换，,可以分解为以下三个步骤：,（,1,）用,chirp,信号调制信号,f(x):,（,2,）调制信号与另一个,chirp,信号卷积,:,（,3,）用,chirp,信号调制卷积后的信号：,式,1,式,2,式,3,具体细节：第一步：将函数，与线性调频函数相乘,(,式,1),。,注意，,g(x),的频率带宽与时间带宽乘积可以是，,f(x),的相应带宽乘积的两倍，所以要求,g(x),的采样间隔为,1,(2,x),。如果，,(),样本值的采样间隔是,1,x,，那么就需要对这些样本值进行插值，然后再与线性调频函数的离散采样值相乘，以得到所希望的,g(x),的采样。,第二步：将,g(x),与一线性调频函数作卷积式,(,式,(2),。注意，由于,g(x),是带限信号，所以线性调频函数也可以用其带限形式代替而不会有任何影响。,2,、第二种分解方法,为了简化计算，人们提出更加有效的分解计算方法。,假定,x(t),的,wigner-ville,分布限定在以原点为中心，直径为,x,的,圆内。若令 ，则与,chirp,信号乘积后的信号,在频域具有带宽,x,。可以用,Shannon,插值表示,简要介绍一下,Shannon,插值,Shannon,定理,到设信号,，如果存在,，使,，,，,则称,是,B,频率截断的的，这时，只要采样间隔,按间隔,进行采样就不会损失信息，而且，,可按如下公式构造原信号,上式,Shannon,插值公式。,利用采样序列,3,、,MATLAB,程序,function Faf=frft(f,a),%The fast Fractional Fourier Transform,%input:f=samples of the signal,%a=fractional power,%output:Faf=fast Fractional Fourier transform,error(nargchk(2,2,nargin);,f=f(:);,N=length(f);,shft=rem(0:N-1)+fix(N/2),N)+1;,sN=sqrt(N);,a=mod(a,4);,%do special cases,if(a=0),Faf=f;return;end;,if(a=2),Faf=flipud(f);return;end;,if(a=1),Faf(shft,1)=fft(f(shft)/sN;return;end,if(a=3),Faf(shft,1)=ifft(f(shft)*sN;return;end,%reduce to interval 0.5 a 2.0),a=a-2;f=flipud(f);end,if(a1.5),a=a-1;f(shft,1)=fft(f(shft)/sN;end,if(a0.5),a=a+1;f(shft,1)=ifft(f(shft)*sN;end,%the general case for 0.5 a 1.5,alpha=a*pi/2;,tana2=tan(alpha/2);,sina=sin(alpha);,f=zeros(N-1,1);interp(f);zeros(N-1,1);,%chirp premultiplication,chrp=exp(-i*pi/N*tana2/4*(-2*N+2:2*N-2).2);,f=chrp.*f;,%chirp convolution,c=pi/N/sina/4;,Faf=fconv(exp(i*c*(-(4*N-4):4*N-4).2),f);,Faf=Faf(4*N-3:8*N-7)*sqrt(c/pi);,%chirp post multiplication,Faf=chrp.*Faf;,%normalizing constant,Faf=exp(-i*(1-a)*pi/4)*Faf(N:2:end-N+1);,function xint=interp(x),%sinc interpolation,N=length(x);,y=zeros(2*N-1,1);,y(1:2:2*N-1)=x;,xint=fconv(y(1:2*N-1),sinc(-(2*N-3):(2*N-3)/2);,xint=xint(2*N-2:end-2*N+3);,function z=fconv(x,y),%convolution by fft,N=length(x(:);y(:)-1;,P=2nextpow2(N);,z=ifft(fft(x,P).*fft(y,P);,z=z(1:N);,