第1章第4讲二次根式及其运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,讲 二次根式及其运算,1,了解二次根式、最简二次根式的概念,2,了解二次根式加、减、乘、除运算法则,，,会用它们进行有关实数的简单四则运算,二次根式的知识点是新课标的基本考查内容之一,，,常常以填空题、选择题形式出现,1,二次根式的基本运算要求熟练掌握,，,二次根式的运算以整式的运算为基础,，,其法则、公式都与整式类似,，,特别是二次根式的加减,，,没有提出同类二次根式的概念,，,完全参照合并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的乘除、乘方运算,2,二次根式的求值,，,二次根式性质的应用等,3,主要体现类比转化的思想方法,1,(,2013,湖州,),二次根式,x,1,中字母,x,的取值范围是,(,),A.,x,1,B,x,1,C,x,1,D,x,1,2,(,2010,嘉兴,),设,a,0,，,b,0,，,则下列运算中错误的是,(,),A.,ab,a,b,B.,a,b,a,b,C,(,a,),2,a,D.,a,b,a,b,D,B,3,(,2014,金华,),在式子,1,x,2,，,1,x,3,，,x,2,，,x,3,中,，,x,可,以取,2,和,3,的是,(,),A.,1,x,2,B.,1,x,3,C.,x,2,D.,x,3,4,(,2010,绍兴,),先化简,，,再求值：,2,(,a,3,)(,a,3,),a,(,a,6,),6,，,其中,a,2,1.,C,二次根式的概念和性质,1,(,2014,武汉,),若,x,3,在实数范围内有意义,，,则,x,的取值范,围是,(,),A,x,0,B,x,3,C,x,3,D,x,3,2,(,2014,株洲,),x,取下列各数中的哪个数时,，,二次根式,1,2x,有意义,(,),A,2,B,1,C,2,D,3,C,A,【,解析,】,第,1,题根据二次根式有意义的条件得出关于,x,的不等式；第,2,题二次根式的被开方数是非负数,，,可以逐个代入,，,也可以先判断,x,的取值范围,1,二次根式的概念：形如,_,的式子叫做二次根式,2,二次根式有意义的条件：要使二次根式,a,有意义,，,则,a,0.,A,3,(,2013,娄底,),式子,2x,1,x,1,有意义的,x,的取值范围是,(,),A,x,1,2,且,x,1,B,x,1,C,x,1,2,D,x,1,2,且,x,1,4,(,2014,德州,),若,y,x,4,4,x,2,2,，,则,(x,y),y,_,_,利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时,，,首先考虑被开方数为非负数,，,其次还要考虑其他限制条件,，,如分母不等于,0,等,，,往往转化为不等式,(,组,),解决,二次根式的简单计算,C,B,1,(,2014,孝感,),下列二次根式中,，,不能与,2,合并的是,(,),A.,1,2,B.,8,C.,12,D.,18,2,(,2014,济宁,),如果,ab,0,，,a,b,0,，,那么下面各式：,a,b,a,b,，,a,b,b,a,1,，,ab,a,b,b,，,其中正确,的是,(,),A,B,C,D,3,(,2013,衡阳,),计算：,8,1,2,(,2,),0,.,【,解析,】,第,1,题将各二次根式化简,，,根据最简二次根式的被开方数相同,，,可得答案；第,2,题由,ab,0,，,a,b,0,先得出,a,0,，,b,0,，,再进行根号内的运算；第,3,题原式第一项利用二次根式的乘法法则计算,，,第二项利用零指数幂法则计算,，,即可得到结果,解：,原式,2,1,3,1,二次根式的性质：,(1)(,a,),2,a,(_),(2),a,2,|,a,|,（,a,0,）,，,（,a,0,）,.,(3),ab,_(,a,0,，,b,0,),(4),a,b,_(,a,0,，,b,0),2,最简二次根式的概,念：,把满足被开方数不含分母,，,被开方,数中不含能开得尽方的,_,或,_,的二次根式,，,叫,做最简二次根式,3,二次根式的加减法：在二次根式的加减运算中,，,先要把,二次根式化成最简二次根式,，,类似于合并同类项,，,我们可以,把被开方数相同的二次根式进行合并,4,二次根式的乘除法：,(,1,),二次根式的乘法：,a,b,_,(,a,0,，,b,0,),(,2,),二次根式的除法：,a,b,_,(,a,0,，,b,0,),D,C,4,(,2014,台湾,),算式,(,6,10,15,),3,的值是,(,),A,2,42,B,12,5,C,12,13,D,18,2,5,(,2013,永州,),已知,(x,y,3),2,2x,y,0,，,则,x,y,的值为,(,),A,0,B,1,C,1,D,4,6,(,2013,荆州,),计算：,4,1,2,3,1,3,8,.,1,最简二次根式必须同时满足以下条件：,(1),被开方数的因数是整数,，,因式是整式,(,分母中不应含有根号,),；,(2),被开方数中不含开方开得尽的因数或因式,，,即被开方数的因数或因式的指数都为,1.,2,二次根式加减法运算的步骤：,(1),将每个二次根式化成最简二次根式；,(2),找出其中被开方数相同的二次根式；,(3),将被开方数相同的二次根式进行合并,3,二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积,(,或商,),的二次根式,，,再化简；最后结果要化为最简二次根式、整式或分式,二次根式的混合运算,1,已知,10,的整数部分为,a,，,小数部分为,b,，,求,a,2,b,2,的值,2,(,2014,襄阳,),已知,x,1,2,，,y,1,2,，,求,x,2,y,2,xy,2x,2y,的值,二次根式混合运算,，,可以运用运算律或适当改变运算顺序,，,使运算简便,3,先化简,，,再求值：,(,2,a,a,1,a,1,a,),a,，,其中,a,2,1.,4,已知,x,2,3,，,y,2,3,，,求,x,2,xy,y,2,的值,二次根式综合计算与化简问题,，,一般先化简再代入求值,，,最后的结果要化为分母不含根号的数或者是最简二次根式；也可以利用所给条件整体考虑,二次根式的综合应用,1,(,2014,宁波,),如图,，,正方形,ABCD,和正方形,CEFG,中,，,点,D,在,CG,上,，,BC,1,，,CE,3,，,H,是,AF,的中点,，,求,CH,的长,【,解析,】,连结,AC,，,CF,，,根据正方形性质求出,AC,，,CF,，,ACD,GCF,45,，,再求出,ACF,90,，,然后利用勾股定理列式求出,AF,，,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出,解,：,如图,，,连结,AC,，,CF,，,正方形,ABCD,和正方形,CEFG,中,，,BC,1,，,CE,3,，,AC,2,，,CF,3,2,，,ACD,GCF,45,，,ACF,90,，,由勾股定理得,，,AF,AC,2,CF,2,（,2,）,2,（,3,2,）,2,2,5,，,H,是,AF,的中点,，,CH,1,2,AF,1,2,2,5,5,2,(,2013,滨州,),如图,，,ABC,中,，,AB,17,，,AC,10,，,BA,边上的高,CD,8,，,求边,BC,的长,根据图形特点,，,作辅助线构造出直角三角形,，,利用勾股定理,，,转化为二次根式的计算,