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单击此处编辑母版标题样式,*,/20,近世,代数,第,6,节 置换群,主要内容：,置换的定义,置换的表示,置换群的定义,置换群的,Cayley,定理,1,/20,第6节 置换群主要内容：1/20,置换的定义,定义,1,设,S,是一个非空,有限,集合。一个从,S,到,S,的双射,(,或一一变换,),称为,S,的一个,置换,.,若,|,S,|=,n,，则一个从,S,到,S,的双射,(,或一一变换,),称为,S,的,一个,n,元置换,.,2,/20,置换的定义定义1 设S是一个非空有限集合。一个从S到S的双,置换的表示,1,、用映射表示,2,、用以下形式表示,3,、用循环置换的形式表示,4,、用对换的形式表示,其中，,i,s,1,2,k.,3,/20,置换的表示1、用映射表示2、用以下形式表示3、用循环置换的形,置换的表示,例如,:,S,=,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,下述,5,元置换,1,、用映射表示,4,/20,置换的表示例如:S=a1,a2,a3,a4,a5,置换的表示,例如,:,S,=,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,下述,5,元置换,2,、用以下形式表示,简化：,S=1,2,3,4,5,下述,5,元置换,5,/20,置换的表示例如:S=a1,a2,a3,a4,a5,n,元置换的乘法,例如：,S,=1,2,3,4,5,下述为,5,元置换,定义,2,设,是,n,元置换,和,的,合成,也是,n,元置换,称为,与,的,乘积,记作,.,6,/20,n 元置换的乘法例如：S=1,2,3,4,5,n,元置换的循环置换表示,定义,3,设,S,=1,2,n,，,为,S,上的一个,n,元置换。若存在着一个有限序列,i,1,i,2,i,k,k,1(,可以取,i,1,=1),，使得,(,i,1,)=,i,2,(,i,2,)=,i,3,(,i,k,1,)=,i,k,(,i,k,)=,i,1,且,i,S,i,1,i,2,i,k,(,i,)=,i,，,则称,是一个,k,-,循环置换,，记为,(,i,1,i,2,i,k,).,2-,循环置换称为,对换,.,3,、用循环置换的形式表示,7,/20,n元置换的循环置换表示定义3 设 S=1,2,n,元置换的循环置换表示,简记为,(1),(2),，,(,n,),，并把,(,i,),称为,1-,循环置换,.,对,k,=1,2,n,，,k,-,循环置换统称为,循环置换,.,约定,:,n,元恒等置换,8,/20,n元置换的循环置换表示简记为(1),(2),，(n),n,元置换,的性质,性质,1,(,i,1,i,2,i,k,)=(,i,2,i,3,i,k,i,1,)=(,i,3,i,4,i,k,i,1,i,2,)=,=(,i,k,i,1,i,2,i,k-,1,)=,(,i,1,i,2,)(,i,1,i,3,)(,i,1,i,k,),.,性质,2,(,i j,),-1,=(,i j,),(,i,1,i,2,i,k,),-1,=(,i,k,i,k-,1,i,2,i,1,).,性质,3,设,=,(,i,1,i,2,i,k,),，则,k,=,I,且,1,r,k,时,r,I.,9,/20,n元置换的性质性质1(i1 i2 ik)=(i2 i3,n,元置换,的性质,定义,4,设,(,i,1,i,2,i,k,),与,(,j,1,j,2,j,r,),是两个循环置换，如,果,i,1,i,2,i,k,j,1,j,2,j,r,=,，则称这两个循环,置换是,没有共同数字的循环置换,(,不相交,),.,置换乘法,(,合成,),不满足交换律，但,两个没有共同数字,的循环置换是可交换的,.,性质,4,设,=,(,i,1,i,2,i,k,),与,=,(,j,1,j,2,j,r,),是两个,没有共,同数字的循环置换,，则,与,可交换，即,=,.,10,/20,n元置换的性质定义4 设(i1 i2 ik)与(j1,n,元置换,的性质,性质,5,每个置换都能分解成若干个,没有共同数字的,循环置换的乘积,.,如果不计这些循环置换的顺序，这,个分解是唯一的,.,根据,循环置换的定义知：循环置换是置换，置换不,一定是循环置换，但是有以下结论：,11,/20,n元置换的性质性质5 每个置换都能分解成若干个没有共同数字,例,1,设,S,=1,2,8,则 置换可分解为：,=(1 5 2 3 6)(4)(7 8)=(1 5 2 3 6)(7 8),=(1 8 3 4 2)(5 6 7),实 例,12,/20,例1 设S=1,2,8,性质,6,每个置换都能分解成若干个对,换的乘积,.,这种分解不唯一，但是,性质,7,如果把置换分解成若干个对,换的乘积，则对,换的个数的奇偶性是不变的,.,例如,:,8,元置换,=(1 5 2 3 6)(7 8)=(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8),=(1 8 3 4 2)(5 6 7)=(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7),对换分解的特征,4,、用对换的形式表示,13,/20,性质6 每个置换都能分解成若干个对换的乘积.,对换分解的特征,可以有下面不同的对换表示：,=(1 2)(1 3),，,=(1 4)(2 4)(3 4)(1 4),但表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的,.,定义,5,如果,n,元置换,可以表示成奇数个对换之积，,则称,为,奇置换,，否则称为,偶置换,.,性质,8,n,元,奇置换和,n,元,偶置换的个数相等，各有,n,!/2,个,.,例如,:,4,元置换,14,/20,对换分解的特征可以有下面不同的对换表示：,循环置换的分解（补充）,命题,1,(,i,1,i,2,i,k,)=,(,i,1,i,2,)(,i,1,i,3,)(,i,1,i,k,),=(,i,2,i,3,i,k,i,1,)=(,i,2,i,3,)(,i,2,i,4,)(,i,2,i,k,)(,i,2,i,1,),=(,i,3,i,4,i,k,i,1,i,2,)=(,i,3,i,4,)(,i,3,i,5,)(,i,3,i,k,)(,i,3,i,2,)(,i,3,i,1,),=,=(,i,k,i,1,i,2,i,k-,1,)=(,i,k,i,1,)(,i,k,i,2,)(,i,k,i,k-,1,),=(,i,1,i,k,)(,i,2,i,k,)(,i,k-,1,i,k,).,命题,2,设,j,(,i,1,i,2,i,k,),，则,(,i,1,i,2,i,k,)=,(,j,i,1,i,2,i,k,)(,j i,1,).,15,/20,循环置换的分解（补充）命题1(i1 i2 ik)=(,置换群的定义,定义,6,设,S,是一个,n,元集合，从,S,到,S,的所有置换之集,记为,S,n,，则把,S,n,对置换的合成“,”,构成一个群，称为,S,上的,n,次对称群,或,n,元对称群,，记作,(,S,n,).,群,(,S,n,),的任一子群称为,S,上的一个,n,元,置换群,.,定义,6,一个非空有限集合,S,的若干个置换关于置换的,合成“,”,作成的一个群称为,S,的一个,置换群,.,定理,1(,置换群的,Cayley,定理,),任意一个有限群都同构,于某个置换群。,16,/20,置换群的定义定义6 设S是一个n元集合，从S到S的所有置换,实 例,例,2,设,S,=1,2,3,，,3,元对称群,S,3,=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2),17,/20,实 例例2 设 S=1,2,3，17/20,S,n,的子群,定理,2,设,A,n,是所有的,n,元偶置换作成一个集合，则,A,n,关于置换的合成作成一个群，称为,n,元交错群,或,n,元,交代群,.,显然,A,n,是,S,n,的一个子群,.,证,恒等置换,(1),是偶置换，所以,A,n,非空,.,根据判定定理三,(,有限子群,),，只需证明封闭性：,任取,A,n,，,都可以表成偶数个对换之积，,那么,也可以表成偶数个对换之积，所以,A,n,.,实例：,S,3,的子群,S,3,=(1),(12),(13),(23),(123),(132),A,3,=(1),(123),(132).,18,/20,Sn的子群定理2 设An是所有的n元偶置换作成一个集合，则A,回头看看：,n,元置换,的性质,性质,1,(,i,1,i,2,i,k,)=(,i,2,i,3,i,k,i,1,)=(,i,3,i,4,i,k,i,1,i,2,)=,=(,i,k,i,1,i,2,i,k-,1,)=,(,i,1,i,2,)(,i,1,i,3,)(,i,1,i,k,),.,性质,2,(,i j,),-1,=(,i j,),(,i,1,i,2,i,k,),-1,=(,i,k,i,k-,1,i,2,i,1,).,性质,3,设,=,(,i,1,i,2,i,k,),，则,k,=,I,且,1,r,k,时,r,I.,问题：,是否有一个从,X,到,X,的一一对应,f,，使得,f,=,f,-1,，,但,f,I,X,？,19,/20,回头看看：n元置换的性质性质1(i1 i2 ik)=(,总 结,主要内容,:,变换群的定义、,群的,Cayley,定理,置换的定义、表示、基本性质,置换群的定义,基本要求,:,判断或证明给定集合关于变换的合成是否构成,变换群,熟悉置换的表示及其基本性质,20,/20,总 结主要内容:基本要求:判断或证明给定集合关于变换的合成,
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