线性代数二次型讲义课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,线 性 代 数,通识教育平台数学课程系列教材,线 性 代 数 通识教育平台数学课程系列教材,第五章 二次型,第一节 二次型及其标准形,第二节 正交变换法化二次型为标准形,第三节 化二次型为标准形的其他方法,第四节 二次型的分类,第五节 二次型在直角坐标系下的分类,第五章 二次型第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法,1,了解二次型及其矩阵表示。,2,会用正交变换法化二次型为标准形。知道化二次型为标准形的配方法。,3,知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。,本章学习要求：,对于,概念,和,理论,方面的内容，从高到低分别用,“理解”、“了解”、“知道”,三级来表述；,对于,方法，运算,和,能力,方面的内容，从高到低分别用,“熟练掌握”、“掌握”、“能”,（或,“会”,）三级来表述。,1了解二次型及其矩阵表示。本章学习要求：,二次型就是二次多项式,.,在解析几何中讨论的有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其一般方程是,ax,2,+2,bxy,+,cy,2,=,f,(1),方程的左端就是,x,y,的一个二次齐次多项式,.,为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通过基变换,(,坐标变换,),把方程,(1),化为不含,x,y,混合项的标准方程,a,x,2,+,c,y,2,=,f,(2),在二次曲面的研究中也有类似的问题,.,二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心,考察：方程,表示,x y,平面上一条怎样的曲线？图形如何？,将,x y,坐标系逆时针旋转,/4,，即令,则得此曲线在新的,u v,坐标系下的方程,考察：方程表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？将,上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子,中的交叉项，使之成为标准方程,.,而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换,.,综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变,换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项,式,.,二次型就是二次齐次多项式,.,上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子而其中坐标轴,定义,第七章 二次型与二次曲面,二次齐次多项式,f,(,x,y,z,) =,a,11,x,2,+,a,22,y,2,+,a,33,z,2,+ 2,a,12,xy,+ 2,a,13,xz,+ 2,a,23,yz,称为,实二次型,.,其中,a,ij,为实常数.,一、二次型的矩阵表示,1,、二次型及其标准形,取,a,21,=,a,12,a,31,=,a,13,a,32,=,a,23,从而,2,a,12,xy,=,a,12,xy + a,21,yx,2,a,13,xz,=,a,13,xz + a,31,zx,2,a,23,yz,=,a,23,yz + a,32,zy .,f,=,a,11,x,2,+,a,12,xy,+,a,13,xz,+,a,21,yx,+,a,22,y,2,+,a,23,yz,+,a,31,zx,+,a,32,zy,+,a,33,z,2,=,x,(,a,11,x,+,a,12,y,+,a,13,z,),+,y,(,a,21,x,+,a,22,y,+,a,23,z,),+,z,(,a,31,x,+,a,32,y,+,a,33,z,),定义第七章 二次型与二次曲面二次齐次多项式f (x, y,第七章 二次型与二次曲面,1,、二次型及其标准形,= X,T,AX .,称,A,为二次型,f,的矩阵，它是一个对称矩阵.,三元实二 次型,f,三阶实对称矩阵,A,一一对应,A,X,第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形= XT AX,例,2,第七章 二次型与二次曲面,例,1,1,2,5,1,1,1,1,解,上一页,例 2 第七章 二次型与二次曲面例 11251111解上一页,例,2,第七章 二次型与二次曲面,上一页,例,2,若二次型,f,的矩阵为,试写出,f,.,解,例 2 第七章 二次型与二次曲面上一页例 2若二次型 f 的,例,2,第七章 二次型与二次曲面,练习,1,3,4,1,0,1,0,解,上一页,例 2 第七章 二次型与二次曲面练习1341010解上一页,例,2,第七章 二次型与二次曲面,上一页,练习,若二次型,f,的矩阵为,试写出,f,.,解,例 2 第七章 二次型与二次曲面上一页练习若二次型 f 的矩,定义,1,第七章 二次型与二次曲面,1,、二次型及其标准形,n,元二次型及其矩阵表示,称,n,元实二次齐次式,为,n,元,实二次型,.,记,a,ij,=,a,ji,则,记,X,= (,x,1,x,2, ,x,n,),T,A,=(,a,ij,),n,n,则,f,(,x,1,x,2, ,x,n,) =,X,T,AX,其中,A,称为二次型的矩阵，,A,的秩称为二次型的秩.,定义1第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形n 元二,第七章 二次型与二次曲面,由于,a,ij,=,a,ji,所以,A,T,= A,A,中,a,ii,是,x,i,2,的系数,a,ij,是交叉项,x,i,x,j,系数的一半.,注,:,n,元实二次型,f,n,阶实对称矩阵,A,一一对应,定义,2,称只含平方项的二次型,为,标准二次型,.,n,元标准二次型,f,n,阶对角 矩 阵,一一对应,第七章 二次型与二次曲面 由于aij = aji ,第七章 二次型与二次曲面,1,、二次型及其标准形,二、矩阵间的合同关系,思考：,二次型,f,=,X,T,AX,经过满秩线性变换,X,=,CY,后还是二次型吗?,对于二次型,f,=,X,T,AX,，作满秩变换,X,=,CY ,则,f,=,X,T,AX,= (,CY,),T,A,(,CY,) =,Y,T,(,C,T,AC,),Y .,而,(,C,T,AC,),T,=,C,T,A,T,(,C,T,),T,= C,T,AC ,所以,f,=,Y,T,(,C,T,AC,),Y,仍是关于新变量,Y,的二次型,且二次型的矩阵为对称矩阵,B,=,C,T,AC .,满秩变换,X,=,CY,f,=,X,T,AX,F,=,Y,T,BY,B,=,C,T,AC,第七章 二次型与二次曲面1、二次型及其标准形二、矩阵间的合,定义,3,第七章 二次型与二次曲面,对于,n,阶实对称矩阵,A,和,B,，,若存在可逆矩阵,P,使,P,T,AP,=,B,则,称,A,合同于,B,，,记作,A B,因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的,.,上一页,合同矩阵的性质：,X,T,AX,Y,T,BY,经满秩的线性变换,X=PY,A,B,左乘以,P,T,且右乘以,P,定义3第七章 二次型与二次曲面对于 n 阶实对称矩阵 A 和,定义,如果满秩变换,X,=,CY,将二次型,f,=,X,T,AX,化成了标准二次型,的一个,标准形,.,为,f,=,X,T,AX,上一页,1,、二次型及其标准形,三、二次型的标准形,这样的矩阵,C,是否存在？,定理,1,对任意的实二次型,f =X,T,AX,一定存在满秩,线性变换,X=CY,使二次型化为标准形,.,推论,1,任意给定一个实对称矩阵,A,一定存在可逆矩阵,C,使得,C,T,AC,为对角矩阵,.,定义如果满秩变换 X = CY 将二次型 f =,定义,2.,正交变换法化二次型为标准形,回顾：正交变换的概念,设,是,n,维欧氏空间,R,n,上的线性变换，若对任意的,X,Y,R,n,有,|,(,X,),(,Y,) | = |,X,Y,| ,则称,为,R,n,上的,正交变换,.,第七章 二次型与二次曲面,定理,设,是欧氏空间,R,n,上的线性变换，则下列四个条件等价(互为充分必要条件),.,(1),为正交变换,.,(2),把,R,n,的标准正交基变为标准正交基,.,(3) |,(,),| = |, ,R,n,(,保持向量长度不变,),.,(4) (,(,X,),(,Y,),=,(,X,Y,) (,保内积不变,) .,定义2. 正交变换法化二次型为标准形回顾：正交变换的概念设,定义,正交矩阵,正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为,正交矩阵,.,第七章 二次型与二次曲面,定理,A,是正交矩阵,A,T,A,=,E,(,或,AA,T,=,E,) .,正交矩阵有如下性质：,定理,定理,设,A,是正交矩阵,，则,(1) |,A,| =,1 .,(2),A,1,=,A,T .,设,A,是正交矩阵,A,的列(行)向量组为相互正交的单位向量组.,定义正交矩阵正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵.,2.,正交变换法化二次型为标准形,一、实对称方阵的对角化,定理,1,实对称方阵的特征值都是实数,.,证,设,是实对称方阵,A,的特征值，,X,是对应的特征,向量，即,将上式两边同时转置，由,A,的对称性，得,而,因此，,2. 正交变换法化二次型为标准形一、实对称方阵的对角化定理,定理,2,实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交,.,证,设,1,2,是实对称方阵,A,的两个不同的特征值，,X,1, X,2,是对应的特征向量，即,因为,A,的对称性，得,从而，,因此，,定理 2实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量必正交.证设,定理,3,若,是,n,阶实对称方阵,A,的,k,重特征值，则,A,对应于,的线性无关特征向量的最大个数均为,k,.,实对称方阵相似于一 个对角阵吗？,回答是肯定的！,单击,此处,可查阅进一步内容,定理,4,对于任一个,n,阶实对称方阵,A,必存在一个正交方阵,P,使,P,T,AP,为对角形，且,P,T,AP,的对角线上的元素均为,A,的,n,个特征值(,重数计算在内),P,的列向量为相应于,n,个特征值的标准正交特征向量.,证,定理 3 若 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值,证,设实对称方阵,A,的特征值为,（重根计算在内），则由定理,3,知，,证设实对称方阵 A 的特征值为（重根计算在内），则由定理3,记,从而，,记从而，,定理,5,任意一个,n,元,实二次型,都存在正交变换,X = QY,使得,其中,1, ,2, , ,n,就是,A,的全部特征值,Q,的,n,个列向量是,A,的对应于特征值,1, ,2, , ,n,的标准正交特征向量.,定理 5任意一个 n 元实二次型都存在正交变换 X = Q,第七章 二次型与二次曲面,例,1,求正交矩阵,Q,使,Q,T,AQ,成对角形矩阵，并求此,对角形矩阵.,其中,解,= (, 2)(,2, 6,+ 5,) = 0 ,A,的特征值为,1,= 1,2,= 2,3,= 5.,1,= 1,时, 由,(,E,A,),X,= 0,即,上一页,第七章 二次型与二次曲面例 1求正交矩阵 Q 使 QTAQ,第七章 二次型与二次曲面,解得对应的特征向量为,1,= (0, 1, 1),T,;,2,= 2,时, 由,(2,E,A,),X,= 0,解得对应的特征向量为,2,= (1, 0, 0),T,;,3,= 5,时, 由,(5,E,A,),X,= 0,解得对应的特征向量为,3,= (0, 1, 1),T,.,上一页,将,1,2,3,单位化，得,故所求的正交变换矩阵为,第七章 二次型与二次曲面解得对应的特征向量为 1 = (,Q,=,0,1,0,0,0,对应于特征值,1,对应于特征值,2,对应于特征值,5,且,Q,T,AQ,=,第七章 二次型与二次曲面,上一页,Q =01000对应于特征值1对应于特征值2对应于特征值5且,2.,正交变换法化二次型为标准形,第七章 二次型与二次曲面,二、正交变换法化二次型为标准形,1.,写出二次型,f,的矩阵,A,并求,A,的全部特征值,1,2, ,n,(,重数计算在内,),.,2.,求出各特征值的特征向量；若,i,是,k,重根时，找出,i,的,k,个线性无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化.,步骤：,3.,将所得的,n,个正交向量再单位化，得,n,个两两正交的单位向量,P,1,P,2, ,P,n,记,P,= ,P,1,P,2, ,P,n, .,则,X,=,PY,为所求正交变换，,f,的标准形为,2. 正交变换法化二次型为标准形第七章 二次型与二次曲面二,例,1,求一个正交变换,X=QY,化二次型,成标准形,.,二次型的矩阵,解,A,的特征值是,1,=,2,=,3,=,1,4,=,-,3,.,上一页,例 1求一个正交变换 X=QY 化二次型成标准形.二次型的矩,对于,4,=,-3,从而可取特征向量,1,= ( 1, 1, 0, 0),T,2,= ( 0, 0, 1, 1),T,和,3,=,( 1, -1, 1, -1),T,.,上一页,对于,1,=,2,=,3,=,1,通过求齐次线性方程组,(,A,-,E,),X,=0,得到其基础解系,并正交化,:,对于 4= -3,从而可取特征向量 1= ( 1, 1,从而可取特征向量,4,=,( 1, -1, -1, 1),T,.,将上述相互正交的特征向量单位化，得,则在正交变换,下，二次标准形为,从而可取特征向量4 = ( 1, -1, -1, 1)T.,第七章 二次型与二次曲面,例,2,求一个正交变换化二次型,成标准形,.,二次型的矩阵,解,A,的特征多项式为,A,的特征值是,1,=,2,= 0,3,= 9.,上一页,第七章 二次型与二次曲面例 2求一个正交变换化二次型成标准形,第七章 二次型与二次曲面,对于,1,=,2,= 0,从而可取特征向量,p,1,= (0, 1, 1),T,及与,p,1,正交的另一特征向量,p,2,= (4, 1,1),T,.,上一页,对于,3,= 9,取特征向量,p,3,= (1,2, 2),T,.,第七章 二次型与二次曲面对于 1= 2 = 0,从而可取,第七章 二次型与二次曲面,将上述相互正交的特征向量单位化，得,属于特征值0,属于特征值9,则存在正交变换,使二次型化为标准形,上一页,第七章 二次型与二次曲面将上述相互正交的特征向量单位化，得属,练习,解,第七章 二次型与二次曲面,已知二次型,通过正交变换化成标准形,求参数,a,及,有所用的正交变换矩阵.,二次型,f,的矩阵,特征方程为,= (,2)(,2,6,+ 9 ,a,2,) = 0 ,A,的特征值为,1,= 1,2,= 2,3,= 5 .,练习解第七章 二次型与二次曲面 已知二次型通过正交变换,第七章 二次型与二次曲面,将,= 1 (,或,= 5 ),代入特征方程，得,a,2,4 = 0,a,= 2.,因,a, 0,故取,a,= 2 .,这时，,1,= 1,时, 由,(,E,A,),X,= 0,即,解得对应的特征向量为,1,= (0, 1, 1),T,2,= 2,时, 由,(2,E,A,),X,= 0 ,解得对应的特征向量为,2,= (1, 0, 0),T,第七章 二次型与二次曲面将 = 1 ( 或 = 5,第七章 二次型与二次曲面,3,= 5,时, 由,(5,E,A,),X,= 0 ,解得对应的特征向量为,3,= (0, 1, 1),T,.,将,1,2,3,单位化，得,故所求的正交变换矩阵为,T,=,0,1,0,0,0,上一页,第七章 二次型与二次曲面 3 = 5时, 由,第七章 二次型与二次曲面,练习,解,已知二次型,的秩为,2,(1),求参数,c,及此二次型对应矩阵的特征值.,(2),指出方程,f,(,x,1,x,2,x,3,) = 1,表示何种二次曲面.,(1),此二次型对应矩阵为,因,r,(,A,) = 2,解得,c,= 3.,第七章 二次型与二次曲面练习解已知二次型的秩为 2, (1),第七章 二次型与二次曲面,这时，,=,(,4)(,9),故所求特征值为,= 0,= 4,= 9.,(2),由上述特征值可知二次型,f,通过变换，可化为标准形为,那么,f,(,x,1,x,2,x,3,) = 1,表示椭圆柱面.,第七章 二次型与二次曲面这时， = (4)(9),2.,正交变换法化二次型为标准形,三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用,设,X,=,(,x,y,z,),T,，则三元二次型,X,T,AX,可以看作空间向量,的函数，其中,在标准基,1,，,2,，,3,下的坐标就是,X .,作满秩线性变换,X,=,CY,，所得新的二次型,Y,T,C,T,ACY,就是关于空间向量,在另一组基,1,，,2,，,3,下的坐标,同一空间曲面在不同空间直角坐标系中的方程,2. 正交变换法化二次型为标准形三、正交变换法化二次型为标,3.,化二次型为标准形的其他方法,第七章 二次型与二次曲面,当,n,= 1,时，二次型,已经是标准形,.,证,一、配方法,定理,1,对任意的实二次型,f =X,T,AX,一定存在满秩,线性变换,X=CY,使二次型化为标准形,.,假设对,n,-1,元的二次型，结论成立,.,考虑,n,元二次型,当上面的二次型的矩阵,A,为零矩阵时，结论成立,.,下面假定,A,不为零矩阵,.,分两种情形讨论：,情形,I.,A,的主对角元中至少有一个不为零，不妨设,a,11,不为零,.,这时,3. 化二次型为标准形的其他方法第七章 二次型与二次曲面当,其中，,令,或,其中，令或,显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为,由归纳假定，对于,n,-1,二次型,存在满秩线性变换,使之成为标准形，即,显然上述变换为一个满秩的线性变换，将原二次型化为由归纳假定，,于是满秩的线性变换,将原二次型化为标准形，即,情形,II.,A,的主对角元全为零,.,此时,A,中至少有一个元素,a,ij,（,i j,）不为零，不妨设,a,12,0.,令,于是满秩的线性变换将原二次型化为标准形，即情形 II.A 的,则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为,这时，上式右端关于变量,的二次型中,的系数不为零，故可视为情形,I,处理,.,定理得证,.,则它是一个满秩线性变换，且使得原二次型化为这时，上式右端关于,第七章 二次型与二次曲面,例,1,化二次型,因为标准形,中只含有平方项.,因此逐个将变量,配成一个完全平方的形式.,令,解,为标准形，并写出所作的满秩线性变换,.,则,第七章 二次型与二次曲面例 1化二次型因为标准形中只含有平方,所作的满秩线性变换为,练习,用配方法化二次型,所作的满秩线性变换为练习用配方法化二次型,第七章 二次型与二次曲面,因,f,中含有,x,的平方项. 可将含,x,的项归到一起, 配成一个完全平方的形式.,f,= (,x,2,+ 2,xy +,2,xz,) + 2,y,2,+ 6,z,2,+,6,yz,= (,x,2,+ 2,xy +,2,xz +,2,yz,+,y,2,+,z,2,) + ( 2,y,2,y,2,) + (6,z,2,z,2,) + (6,yz,2,yz,),= (,x,+,y + z,),2,+ y,2,+ 5,z,2,+ 4,yz,= (,x,+,y + z,),2,+,(,y,2,+ 4,yz,) + 5,z,2,= (,x,+,y + z,),2,+,(,y,+ 2,z,),2,+,z,2,令,解,则,第七章 二次型与二次曲面因 f 中含有 x 的平方项. 可将,第七章 二次型与二次曲面,例,2,解,用配方法化,f,= 2,xy,+ 2,xz, 6,yz,为标准形.,令,再令,上一页,第七章 二次型与二次曲面例 2解用配方法化 f = 2xy,练习,用配方法化二次型,解,令,练习用配方法化二次型解令,所用变换矩阵为,所用变换矩阵为,3.,化二次型为标准形的其他方法,第七章 二次型与二次曲面,二、初等变换法,设,A,为,n,阶实对称矩阵，由第一节定理,1,知，存在可逆矩阵,C,使得,C,T,AC,为对角阵，即,而可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积，即,因此，,定理,1,对任意,实对称矩阵,A,存在一系列初等矩阵,P,1,，,P,2, , P,s,使,3. 化二次型为标准形的其他方法第七章 二次型与二次曲面二,由于,说明，若矩阵,A,经过一系列合同变换,(,进行初等列变换后再进行同样的初等行变换,),化为对角矩阵,D,则单位矩阵,E,经过相同的一系列列变换化为矩阵,C,.,这样，我们就得到利用矩阵初等变换化二次型为标准形的方法，即,初等变换法,.,或者，若矩阵,A,经过一系列合同变换,(,进行初等列变换后再进行同样的初等行变换,),化为对角矩阵,D,则单位矩阵,E,经过相同的一系列行变换化为矩阵,C,T,.,由于说明，若矩阵 A 经过一系列合同变换 ( 进行初等列变换,例,3,解,例 3解,故当 时，可使,故当 时，可使,例,4,解,例 4解,所以，,所以，,第七章 二次型与二次曲面,但是通过配方法将二次型,f,化成标准形后, 对应矩阵的秩不变,即二次型,f,的秩就等于它的标准形的秩,也就等于标准形中的项数,.,配方法不能保持,R,3,中向量的长度, 从而不能保持几何图形不变,.,也就是变成了,xy,平面上一个半径为,比如,xy,面上圆周,x,2,+,y,2,=1,在变换,x = x,+ y,y = x, y,下,变成 (,x +y,),2,+ (,x y,),2,=1.,即,上一页,第七章 二次型与二次曲面但是通过配方法将二次型 f 化成,比如, 第二节例题2中所给的二次型,在正交变换下的标准形为 而用配方法得到,故经过满秩线性变换,可将二次型化为标准形,注：,同一个二次型有不同形式的标准形，但标准形的秩相同，即平方项的个数相同，并且正系数的平方项个数也相同！,这就是所谓的惯性定理,.,比如, 第二节例题2中所给的二次型在正交变换下的标准形为,定义,1,4,二次型的分类,第七章 二次型与二次曲面,一、惯性定理和二次型的规范形,定理,1,一个,n,元,二次型,f = X,T,AX,经过不同的满秩线性变换化为标准形后，标准形中正平方项的项数,p,和负平方项的项数,q,都是由原二次型唯一确定的，且,其中,r,(,A,),为矩阵,A,的秩,.,称二次型,f,的标准形中正平方项的项数,p,为二次型,f,的正惯性指数，负平方项的项数,q,为负惯性指数,.,若二次型,f,的标准形为如下形式,则称为,规范标准形,，简称,规范形,.,其中,r,为二次型的秩,.,（,规范形是唯一的,）,定义14 二次型的分类第七章 二次型与二次曲面一、惯性定理,定义,2,第七章 二次型与二次曲面,对于两个,n,元二次型,若它们的秩,r,相同，且正惯性指数,p,相同（从而负惯性指数也相同），则这两个二次型可以通过满秩线性变换相互转化,.,也就可以归为一类,.,参数,r,和,p,提供的分类的一个标准,.,设秩为,r,的,n,元二次型,f,=,X,T,AX,经满秩线性变换化为规范形,则,(2),若,p,=,r, 0 ;,因,A,是正定阵, 存在可逆阵,P,使,P,T,AP,=,E,X,R,n,X, 0,而,P,可逆，,即,A,= (,P,T,),1,P,1,故,X,T,AX,=,X,T,(,P,T,),-,1,P,1,X,=,X,T,(,P,1,),T,P,1,X,= (,P,1,X,),T,(,P,1,X,) 0 .,故,PX, 0,同理,P,1,X, 0,(1),A,是正定矩阵,;,(2),对任意的非零向量,X,有,X,T,AX, 0 .,证,(3),A,的所有特征值都大于零,.,正定二次型的规范形的矩阵显然是,个单位矩阵,.,即单位矩阵是正定矩阵,.,那么，,怎么判断正定矩阵？,定理 2第七章 二次型与二次曲面若 A 是实对称矩阵，则下列,第七章 二次型与二次曲面,若,A,有一个非正的特征值，不妨设,i, 0,存在正交阵,P,使得,(2),对任意的非零向量,X,有,X,T,AX, 0 ;,(3),A,的所有特征值都大于零,.,令,X,=,P,1,其中,=,(,0, 0, , 0, 1, 0, , 0,),X,T,AX,= (,P,1,),T,A P,1,则,的第,i,个分量是,1，其余分量全为,0.,=,i, 0.,=,T,(,P,1,),T,AP,1,=,T,矛盾,!,=,T,P,AP,T,证,上一页,第七章 二次型与二次曲面 若A有一个非正的特征值，不妨设,第七章 二次型与二次曲面,因为,A,的全部特征值都大于,0,， 则,A,所对应的二次型的规范形的正惯性指数就是,n ,故,A,是正定矩阵.,(1),A,是正定矩阵,(3),A,的所有特征值都大于零,.,证,上一页,例,1,解,f,的矩阵为,所以,f,是正定二次型,.,第七章 二次型与二次曲面因为 A 的全部特征值都大于 0 ，,第七章 二次型与二次曲面,(1),设,证,定理,3,若二次型,X,T,AX,正定，则,上一页,(2),又因为,A,正定，故存在可逆矩阵,C,使,C,T,AC=E,即,第七章 二次型与二次曲面(1) 设证定理 3,第七章 二次型与二次曲面,例,2,故,A,B,C,D,不是,正定矩阵.,解,上一页,另外，,C,的对角元,第七章 二次型与二次曲面例 2故 A, B, C, D 不是,第七章 二次型与二次曲面,定理,4,n,元二次型,f = X,T,AX,正定的充要条件是,A,的各阶顺序主子式,|,A,k,| 0,k,=1, 2, ,n .,其中, ,上一页,第七章 二次型与二次曲面定理 4 n 元二次型,例,2,解,f,的矩阵为,因为,A,的顺序主子式为,所以，二次型,f,是正定的,.,例 2解f 的矩阵为因为 A 的顺序主子式为所以，二次型 f,第七章 二次型与二次曲面,练习,f,的矩阵,由于,A,1,= 1 0,|A,3,| = |,A,| = 3,A,2,= 3 0.,故,f,正定.,解,上一页,第七章 二次型与二次曲面练习f 的矩阵由于 A1 = 1,定义,3,4,二次型的分类,第七章 二次型与二次曲面,若,p,= 0,r,n,时, 则称,f,为,半负定二次型,，,A,为,半负定矩阵,.,(2),若,p,= 0,r,=,n,时, 则称,f,为,负定二次型,，,A,为,负定矩阵.,(3),若,0,p,r,n,时, 则称,f,为,不定二次型,，,A,为,不定矩阵.,三、二次型的其他类型：,设秩为,r,的,n,元二次型,f,=,X,T,AX,经满秩线性变换化为规范形,定义34 二次型的分类第七章 二次型与二次曲面若 p =,定理,5,设,A,是,n,阶实对称矩阵,则下列命题等价,:(i),X,T,AX,是负定二次型,(,或,A,是负定矩阵,);(ii),对任意的非零向量,X,，,X,T,AX, 0,故取,a,= 2 .,这时，,1,= 1,时, 由,(,I,A,),X,= 0,即,解得对应的特征向量为,1,= (0, 1, 1),T,；,第七章 二次型与二次曲面将 = 1 ( 或 = 5,第七章 二次型与二次曲面,2,= 2,时, 由,(2,I,A,),X,= 0 ,解得对应的特征向量为,2,= (1, 0, 0),T,3,= 5,时, 由,(5,I,A,),X,= 0 ,解得对应的特征向量为,3,= (0, 1, 1),T,.,将,1,2,3,单位化，得,故所求的正交变换矩阵为,T,=,0,1,0,0,0,上一页,第七章 二次型与二次曲面 2 = 2 时,练习,解,已知二次型,的秩为,2,(1),求参数,c,及此二次型对应矩阵的特征值.,(2),指出方程,f,(,x,1,x,2,x,3,) = 1,表示何种二次曲面.,(1),此二次型对应矩阵为,因,r,(,A,) = 2,解得,c,= 3.,这时，,=,(,4)(,9),故所求特征值为,= 0,= 4,= 9.,练习解已知二次型的秩为 2, (1) 求参数 c 及此二,(2),由上述特征值可知二次型,f,通过变换，可化为标准形为,那么,f,(,x,1,x,2,x,3,) = 1,表示椭圆柱面.,(2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准,第七章 二次型与二次曲面,X,T,AX,为正定二次型,实对称方阵,A,为正定矩阵,A,合同于单位阵,下面三个命题等价：,第七章 二次型与二次曲面XTAX 为正定二次型实对称方阵,第七章 二次型与二次曲面,n,阶实对称方阵,A,有,n,个实特征值(重数计算在内),.,n,阶实对称方阵必有,n,个线性无关的特征向量.,矩阵,A,的属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.,实对称方阵一定可以对角化 (相似于对角矩阵).,矩阵,A,的可对角化的充要条件是,A,有,n,个线性无关特征向量,.,A,的对应于,k,重特征值,的线性无关特征向量最大个数为,k .,A,相似于对角阵，即存在在可逆矩阵,P,，,使得,若,P,又是正交阵, 则,第七章 二次型与二次曲面n 阶实对称方阵 A 有 n 个实特,第七章 二次型与二次曲面,n,阶实对称方阵,A .,A,有,n,个实特征值,i,(,重数在内,),.,A,有,n,个线性无关的特征向量,X,i,分别属于,I .,将,X,i,单位化正交化后得,P,i,P,i,仍是属于,I,的特征向量,.,记,P,= ,P,1,P,2, ,P,n,P,是一个正交矩阵,.,Ap,i,=,i,P,i,(,i,= 1, 2,n,) ,AP,=,P, .,证明思路：,第七章 二次型与二次曲面n 阶实对称方阵 A .A 有 n,