资源描述
1.3.3,最大值与最小值,第,1,章,1.3,导数在研究函数中的应用,1.3.3最大值与最小值第 1章1.3导数在研究函数中,1.,理解最值的概念，了解最值与极值的区别,.,2.,会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值,.,学习目标,1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.学习目标,栏目索引,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,当堂检测,自查自纠,栏目索引知识梳理 自主学习题型探,知识梳理,自主学习,知识点一函数最值的概念,如果在函数,f,(,x,),定义域,I,内存在一点,x,0,，使得对任意的,x,I,，总有,，那么称,f,(,x,0,),为函数的定义域上的最大值,.,如果在函数,f,(,x,),定义域,I,内存在一点,x,0,，使得对任意的,x,I,，总有,，那么称,f,(,x,0,),为函数在定义域上的最小值,.,答案,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,),f,(,x,0,),知识梳理,思考,函数的极值与最值的区别是什么？,答案,函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间,内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值,.,函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必,定是极值,.,当连续函数,f,(,x,),在开区间,(,a,，,b,),内只有一个导数为零的点时，若在这一点处,f,(,x,),有极大值,(,或极小值,),，则可以判定,f,(,x,),在该点处取得最大值,(,或最小值,),，这里,(,a,，,b,),也可以是无穷区间,.,答案,思考函数的极值与最值的区别是什么？答案,知识点二求函数的最值,1.,求,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最值的步骤：,(1),求,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上的极值；,(2),将,(1),中求得的,与,比较，得到,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最大值与最小值,.,2.,函数在开区间,(,a,，,b,),的最值,在开区间,(,a,，,b,),内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数,f,(,x,),在开区间,I,上只有一个极值，且是极大,(,小,),值，则这个极大,(,小,),值就是函数,f,(,x,),在区间,I,上的最大,(,小,),值,.,答案,极值,f,(,a,),，,f,(,b,),知识点二求函数的最值答案极值f(a)，f(b),思考,(1),函数,f,(,x,),在,(1,2),上有最值吗？,答案,没有,.,(2),函数,f,(,x,),ln,x,在,1,2,上有最值吗？,答案,有最大值,ln 2,，最小值,0.,答案,返回,思考(1)函数f(x)在(1,2)上有最值吗？答案,题型探究,重点突破,解析答案,题型一求函数的最值,例,1,求下列各函数的最值：,(1),f,(,x,),x,4,2,x,2,3,，,x,3,2,；,解,f,(,x,),4,x,3,4,x,，,令,f,(,x,),4,x,(,x,1)(,x,1),0,，得,x,1,，,x,0,，,x,1.,当,x,变化时，,f,(,x,),及,f,(,x,),的变化情况如下表：,x,3,(,3,，,1),1,(,1,0),0,(0,1),1,(1,2),2,f,(,x,),0,0,0,f,(,x,),60,极大值,4,极小值,3,极大值,4,5,当,x,3,时，,f,(,x,),取最小值,60,；当,x,1,或,x,1,时，,f,(,x,),取最大值,4.,题型探究,解析答案,(2),f,(,x,),x,3,3,x,2,6,x,2,，,x,1,1,.,解,f,(,x,),3,x,2,6,x,6,3(,x,2,2,x,2),3(,x,1),2,3,，,f,(,x,),在,1,1,内恒大于,0,，,f,(,x,),在,1,1,上为增函数,.,故,x,1,时，,f,(,x,),最小值,12,；,x,1,时，,f,(,x,),最大值,2.,即,f,(,x,),的最小值为,12,，最大值为,2.,反思与感悟,一般地，在闭区间,a,，,b,上的连续函数,f,(,x,),必有最大值与最小值，在开区间,(,a,，,b,),上的连续函数,f,(,x,),不一定有最大值与最小值,.,反思与感悟,解析答案(2)f(x)x33x26x2，x1,解析答案,跟踪训练,1,设函数,f,(,x,),ax,3,bx,c,(,a,0),为奇函数，其图象在点,(1,，,f,(1),处的切线与直线,x,6,y,7,0,垂直，导函数,f,(,x,),的最小值为,12.,(1),求,a,，,b,，,c,的值；,解,f,(,x,),为奇函数，,f,(,x,),f,(,x,).,即,ax,3,bx,c,ax,3,bx,c,，,c,0.,f,(,x,),3,ax,2,b,的最小值为,12,，,a,0,，,b,12.,又直线,x,6,y,7,0,的斜率为,，,因此,f,(1),3,a,b,6,，,故,a,2,，,b,12,，,c,0.,解析答案跟踪训练1设函数f(x)ax3bxc(a0,解析答案,(2),求函数,f,(,x,),的单调递增区间，并求函数,f,(,x,),在,1,3,上的最大值和最小值,.,当,x,3,时，,f,(,x,),取得最大值为,18.,解析答案(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x),解析答案,题型二含参数的函数的最值问题,例,2,已知,a,是实数，函数,f,(,x,),x,2,(,x,a,),，求,f,(,x,),在区间,0,2,上的最大值,.,反思与感悟,解析答案题型二含参数的函数的最值问题反思与感悟,解,f,(,x,),3,x,2,2,ax,.,f,(,x,),在,0,2,上单调递增，从而,f,(,x,),max,f,(2),8,4,a,.,f,(,x,),在,0,2,上单调递减，从而,f,(,x,),max,f,(0),0.,反思与感悟,解f(x)3x22ax.f(x)在0,2上单调递,反思与感悟,由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决这类问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解,.,反思与感悟由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调,解析答案,跟踪训练,2,a,为常数，求函数,f,(,x,),x,3,3,ax,(0,x,1),的最大值,.,解析答案跟踪训练2a为常数，求函数f(x)x33ax,解,f,(,x,),3,x,2,3,a,3(,x,2,a,).,若,a,0,，则,f,(,x,),0,，函数,f,(,x,),单调递减，,当,x,0,时，有最大值,f,(0),0.,解析答案,解f(x)3x23a3(x2a).解析答案,则当,0,x,1,时，,f,(,x,),0,，函数,f,(,x,),在,0,1,上单调递增，,当,x,1,时，,f,(,x,),有最大值,f,(1),3,a,1.,综上可知，当,a,0,，,x,0,时，,f,(,x,),有最大值,0,；,当,a,1,，,x,1,时，,f,(,x,),有最大值,3,a,1.,则当0 x1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上,解析答案,题型三函数最值问题的综合应用,例,3,已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,bx,c,在,x,与,x,1,处都取得极值,.,(1),求,a,，,b,的值与函数,f,(,x,),的单调区间；,解析答案题型三函数最值问题的综合应用,解,对,f,(,x,),x,3,ax,2,bx,c,求导，得,f,(,x,),3,x,2,2,ax,b,.,f,(,x,),3,x,2,x,2,(3,x,2)(,x,1).,当,x,变化时，,f,(,x,),，,f,(,x,),的变化情况如下表：,解对f(x)x3ax2bxc求导，得f(x)3,解析答案,(2),若对,x,1,2,，不等式,f,(,x,),c,2,恒成立，求,c,的取值范围,.,而,f,(2),2,c,，则,f,(2),2,c,为最大值,.,要使,f,(,x,),c,2,(,x,1,2),恒成立，只需,c,2,f,(2),2,c,，解得,c,1,或,c,2.,c,的取值范围是,(,，,1),(2,，,).,反思与感悟,解析答案(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成,反思与感悟,由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型，这种题型的解法有很多，其中最常用的方法就是分离参数，将其转化为函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数来求解,.,反思与感悟由不等式恒成立求参数的取值范围是一种常见的题型，这,解析答案,跟踪训练,3,设函数,f,(,x,),2,x,3,9,x,2,12,x,8,c,，,(1),若对任意的,x,0,3,，都有,f,(,x,),c,2,成立，求,c,的取值范围；,解,f,(,x,),6,x,2,18,x,12,6(,x,1)(,x,2).,当,x,(0,1),时，,f,(,x,),0,；,当,x,(2,3),时，,f,(,x,),0.,当,x,1,时，,f,(,x,),取极大值,f,(1),5,8,c,.,又,f,(3),9,8,c,f,(1),，,x,0,3,时，,f,(,x,),的最大值为,f,(3),9,8,c,.,对任意的,x,0,3,，有,f,(,x,),c,2,恒成立，,9,8,c,c,2,，即,c,1,或,c,9.,c,的取值范围为,(,，,1),(9,，,).,当,x,(1,2),时，,f,(,x,),0,；,解析答案跟踪训练3设函数f(x)2x39x212x,解析答案,(2),若对任意的,x,(0,3),，都有,f,(,x,),c,2,成立，求,c,的取值范围,.,解,由,(1),知,f,(,x,),f,(3),9,8,c,，,9,8,c,c,2,，即,c,1,或,c,9,，,c,的取值范围为,(,，,1,9,，,).,解析答案(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成,例,4,求函数,f,(,x,),x,3,2,x,2,1,在区间,1,2,上的最大值与最小值,.,易错易混,求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误,解析答案,返回,防范措施,例4求函数f(x)x32x21在区间1,2上的,错解,由已知得,f,(,x,),3,x,2,4,x,，,当,x,(,1,0),时，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),单调递增，,函数,f,(,x,),在,x,0,处取得最大值,f,(0),1,，,错因分析,求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误,.,解析答案,防范措施,错解由已知得f(x)3x24x，当x(1,0)时,正解,由已知得,f,(,x,),3,x,2,4,x,.,当,x,(,1,0),时，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),单调递增，,函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极大值,f,(0),1,，,又,f,(,1),2,，,f,(2),1,，,函数,f,(,x,),的最大值是,1,，最小值是,2.,防范措施,正解由已知得f(x)3x24x.当x(1,0)时,若连续函数,y,f,(,x,),在,a,，,b,上为单调函数，则其最值必在区间端点处取得；若该函数在,a,，,b,上不单调，即存在极值点，则最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得,.,返回,防范措施,若连续函数yf(x)在a，b上为单调函数，则其最值必在,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.,函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最大值是,M,，最小值是,m,，若,M,m,，则,f,(,x,)_0.(,填,“,”,或,“,”,或,“,”,),解析,据题,f,(,x,),为常数函数，故,f,(,x,),0.,当堂检测1234
展开阅读全文