资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 向量范数与矩阵范数,2.4,矩阵的条件数,1,第二章 向量范数与矩阵范数2.4 矩阵的条件数1,考虑线性方程组,它有准确解为,:,如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的变化，得,它有准确解,:,，可以看出，方程组的解变化非常大。,2,考虑线性方程组 2,定义,1,：,设 ，,|.|,是,C,n,x,n,上的一个矩阵范数,.,矩阵,A,的,条件数,定义为,矩阵的条件数,3,矩阵的条件数3,常用的条件数有：,-,条件数：,1-,条件数：,2-,条件数：,矩阵的条件数,4,矩阵的条件数4,常用的条件数有：,特别地，当,A,是一个正规矩阵时，,矩阵的条件数,5,矩阵的条件数5,例,1,：,设,求,A,的条件数,矩阵的条件数,6,矩阵的条件数6,矩阵条件数的性质：,(1),矩阵的条件数,(2),(3),(4),当,U,是酉矩阵时，则,(5),当,A,、,B,是可逆矩阵时，则,7,矩阵条件数的性质：(1)矩阵的条件数(2)(3)(4)当U是,n,阶,Hilbert,矩阵,矩阵的条件数,Hilbert矩阵常常出现在数据拟合和函数逼近的研究中,.,8,n阶Hilbert矩阵矩阵的条件数Hilbert矩阵常常出现,1.,若条件数,cond(,A,),较小（接近,1,），就称,A,关于求逆矩阵或解线性方程组为,良态的,或,好条件的,.,误差估计中的应用,2.,若条件数,cond(,A,),较大，就称,A,关于求逆矩阵或解线性方程组为,病态的,或,坏条件的,.,注：,cond(,A,),多大,A,算病态，通常没有具体的定量标准；,9,1.若条件数cond(A)较小（接近1），就称A关于求逆矩阵,注：,当矩阵,A,十分病态时，就说明,A,已十分接,近一个奇异矩阵。,误差估计中的应用,10,注：当矩阵A十分病态时，就说明A已十分接 误差估计中的应用,1.,对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响,误差估计中的应用,定理,1,设 是一个可逆矩阵，,是一个矩阵，,|.|,是,C,n,x,n,上的一个矩阵范数,.,若 则 可逆，且有,11,1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响误差估计中的应用,1.,对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响,误差估计中的应用,推论,1,设 ，,若存在,C,n,x,n,上的一个矩阵范数,|.|,使得 则有,12,1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响误差估计中的应用,2.,在解线性方程组,Ax,=,b,时系数矩阵,A,和向量,b,的数据误差对解的误差的影响,误差估计中的应用,定理,2,设 ，,而,C,n,上的向量范数 与,C,n,x,n,上的矩阵范数,|.|,相容,.,设,x,是线性方程组,Ax,=,b,的解，是线性方程组 的解若 ，则,13,2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解,2.,在解线性方程组,Ax,=,b,时系数矩阵,A,和向量,b,的数据误差对解的误差的影响,误差估计中的应用,14,2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解,2.,在解线性方程组,Ax,=,b,时系数矩阵,A,和向量,b,的数据误差对解的误差的影响,误差估计中的应用,定理,3,设 ，,而,C,n,上的向量范数 与,C,n,x,n,上的矩阵范数,|.|,相容,.,若向量 分别满足,Ax,=,b,，,，则有,15,2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解,例,2.,设,证明对任意范数，当 时有,.,因而矩阵,A,是病态的,.,误差估计中的应用,16,例2.设 误差估计中的应用1,例,3.,设,为使线性方程组,Ax,=,b,的解,x,与 的解 的相对误差 ，试问,应不超过何值？,误差估计中的应用,17,例3.设 误差估计中的应用1,1.,设 ，,求,A,的条件数,作业,18,1.设,2.,设,且 试估计线性方程组,Ax,=,b,的解,x,与,Ax,=,b,1,的解,x,1,的相对误差,.,作业,19,2.设 作业19,
展开阅读全文