数学分析ppt课件--平面点集与多元函数

返回,后页,前页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学分析课件 平面点集与多元函数,数学分析课件 平面点集与多元函数,例如：,(2),(3),例如： (2)(3),图,16 1,(a),圆,C,(b),矩形,S,图,16 2,(a),圆邻域,(b),方邻域,图 16 1 (a) 圆 C (b) 矩形 S,由于点,A,的任意圆邻域可以包含在点,A,的某一,方邻域之内,(,反之亦然,),因此通常用“点,A,的 邻,用记号 或 来表示,.,点,A,的,空心邻域,是指,:,或,并用记号,来表示,.,域” 或 “点,A,的邻域” 泛指这两种形状的邻域,并,由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一方邻域之内(,注意,:,不要把上面的空心方邻域错写成,: (,请指,出,点和点集之间的关系,以下三种关系之一,:,任意一点,与任意一个点集,之间必有,是,E,的内点,;,由,E,的全体内点所构成的集合称为,(i),内点,若,则称点,A,E,的,内部,记作,int,E,.,错在何处,? ),注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出 点和,(ii),外点,若,则称,点,A,是,E,的外点；由,E,的全体外点所构成的集合,(iii),界点,若,恒有,(,其中,),则称点,A,是,E,的界点,;,由,E,的全体界点所构成的集合称为,E,的,边界,;,记作,注,E,的内点必定属于,E,;,E,的外点必定不属于,E,;,E,的界点可能属于,E,也可能不属于,E,.,并请注意,:,称为,E,的,外部,.,(ii) 外点若 则称 点 A 是 E 的外点；由 E,只有当,时,E,的外部与,才是两,个相同,的集合,.,图,16 3,例,1,设平面点集（见图,16 3,）,于,D,;,满足 的一切点也,是,D,的内点,;,满足,的一切点是,D,的界点,它们都属,满足,的一切点都,是,D,的界点,但它们都不属于,D,.,只有当时, E 的外部与 才是两个相同的集合. 图,点,A,与点集,E,的上述关系是按 “内,-,外” 来区分的,.,此外，还可按 “疏,-,密” 来区分，即在点,A,的近旁,是否密集着,E,中无穷多个点而构成另一类关系,:,(i),聚点,若在点,A,的任何空心邻域,内都,含有,E,中的点，则称点,A,是点集,E,的聚点,注,1,聚点本身可能属于,E,，也可能不属于,E,.,注,2,聚点的上述定义等同于,: “,在点,A,的任何邻域,内都含有,E,中的无穷多个点”,.,注,3,E,的全体聚点所构成的集合称为,E,的导集,记,点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分的.,作,又称,为,E,的,闭包,记作,例如,对于例,1,中的点集,D,它的导集与闭包同为,其中满足,的那些聚点不属于,D,而其余,所有聚点都属于,D,.,(ii),孤立点,若点,但不是,E,的聚点（即,有,某,0,使得,则称点,A,是,E,的孤立点,.,注,孤立点必为界点,;,内点和不是孤立点的界点必,作 又称 为 E 的闭包, 记作 例如, 对于例1 中,为聚点,;,既非聚点,又非孤立点,则必为外点,.,例,2,设点集,显然,E,中所有点,(,p,q,),全为,E,的孤立点,;,并有,一些重要的平面点集,根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一,些重要的点集,.,开集,若,E,所属的每一点都是,E,的内点,(,即,E,=,int,E,),则称,E,为开集,.,为聚点; 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点. 例2,E,为闭集,.,例如前面列举的点集中, (2),式所示的,C,是开集,; (3),式所示的,S,是闭集,; (4),式所示的,D,既非开集,又,非闭集,;,而,(1),式所示的,R,2,既是开集又是闭集,.,在,平面点集中,只有,R,2,与,是既开又闭的,.,开域,若非空开集,E,具有连通性,即,E,中任意两,点之间都可用一条完全含于,E,的有限折线相连接,闭集,若,E,的所有聚点都属于,E,则,称,E,为闭集,.,若,E,没有聚点,这时也称,E 为闭集.,则称,E,为开域,.,简单地说,开域就是非空连通开集,.,闭域,开域连同其边界所成的集合称为闭域,.,区域,开域、闭域、开域连同其一部分界点所,成的集合,统称为区域,.,不难证明,:,闭域必为闭集,;,而闭集不一定为闭域,.,在前述诸例中, (2),式的,C,是开域, (3),式的,S,是闭,域, (1),式的,R,2,既是开域又是闭域, (4),式的,D,是区,域,(,但既不是开域又不是闭域,).,又如,则称 E 为开域. 简单地说, 开域就是非空连通开集.,它是,I,、,III,两象限之并集,.,虽然它是开集,但因,不具有连通性,所以它既不是开域,也不是区域,.,有界点集,对于平面点集,E,若,使得,其中,O,是坐标原点,(,也可以是其他固定点,),则称,E,为有界点集,.,否则就为无界点集,(,请具体写出定义,).,前面,(2), (3), (4),都是有界集, (1),与,(5),是无界集,.,E,为有界点集的另一等价说法是,:,存在矩形区域,它是 I、 III 两象限之并集. 虽然它是开集, 但因,此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集,E,的,直径,就是,其中,(,P,1,P,2,),是,P,1,(,x,1,y,1,),与,P,2,(,x,2,y,2,),之间的距,离,即,于是,当且仅当,d,(,E,),为有限值时,E,为有界点集,.,根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式,:,此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映, 所谓点集,举例讨论上述点集的性质,例,3,证明,:,对任何,恒为闭集,.,证,如图,16 4,所示,设,的任一聚点，欲证,（即 亦为,的界,点）,.,为此,由聚点定义，存在,图,16 ,再由,为界点的定义,在, 举例讨论上述点集的性质例3 证明: 对任何恒为闭集.,的点,.,由此推知,在,内既有,的点,又有非,的任意性,为,的界点,即,也就证,得,为闭集,注,类似地可以证明,:,对任何点集,亦恒为闭集,.,(,留作习题,),例,4,设,试证,E,为闭集的充要条件是：,内既有,的点,又有非,的点,.,所以,由,的点. 由此推知在 内既有的点, 又有非 的任意性, 为的界,证,下面按循环流程图,16 5,来分别作出证明,.,已知,为闭集,(,即,),欲证,反之显然有,图,16 5,证 下面按循环流程图16 5 来分别作出证明.,综合起来,便证得,已知,欲证,为此,外点,反之显然,综合起来, 便证得 已知 欲证 为此 外点, 反,注,此例指出了如下两个重要结论,:,(i),闭集也可用,“,”,来定义,(,只是使用,起来一般不如 “,”,方便,因为有关聚点,有许多便于应用的性质,),(ii),闭集与开集具有对偶性质,闭集的余集为开,集,;,开集的余集为闭集,.,利用此性质,有时可以通,过讨论,来认识,E,.,注 此例指出了如下两个重要结论:,例,5,以下两种说法在一般情形下为什么是,错,的,?,(i),既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是,“,非空连通闭集”；,(,ii),要判别一个点集,是否是闭域,只要看其去除,边界后所得的是否为一开域,即,答,(,i),例如取,这是一个非空连,通闭集,.,但因它是前面,(5),式所示的集合,G,与其边,界,(,二坐标轴,),的并集,(,即,),而,G,不是,例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的? (i),开域,故,S,不是闭域,(,不符合闭域的定义,).,(a) (b) (c),图,16 6,(,ii),如图,16 6,所示,集为,(c),中的点集为,易见,E,为一开域,据定义,F,则为闭域；然而,(a),中的点集为,D,; (b),中的点,开域, 故 S 不是闭域 (不符合闭域的定义).,显然不符合它为闭域的定义,.,由此又可见到,:,二、,R,2,上的完备性定理,平面点列的收敛性定义及柯西准则,反映实数,系完备性的几个等价定理,构成了一元函数极限理,论的基础,.,现在把这些定理推广到,R,2,它们同样是,二元函数极限理论的基础,.,显然不符合它为闭域的定义.,定义,1,设,为一列点,为一固定点,.,则称点列,P,n,收敛于点,P,0,记作,同样地有,定义1 设 为一列点, 为一固定点. 则称点列 Pn,由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限,因,此立即得到下述关于平面点列的收敛原理,.,定理,16.1(,柯西准则,),收敛的充要条件是,:,证（必要性）,由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因 此立即得,应用三角形不等式,立刻得到,(,充分性,),当,(6),式成立时,同时有,这说明,x,n,和,y,n,都满足关于数列的柯西准则,所以它们都收敛,.,由点列收敛概念,推知,P,n,收敛于点,P,0,(,x,0,y,0,).,应用三角形不等式, 立刻得到(充分性) 当 (6) 式成,(,这是一个重要命题,证明留作习题,.),下述区域套定理,是区间套定理在,R,2,上的推广,.,定理,16.2(,闭域套定理,),设,D,n,是,R,2,中的一列闭,域,它满足：,( 这是一个重要命题, 证明留作习题.) 下述区域套,注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必,), 则称点 A 是 E 的界点; 由 E,例11 是定义在 R2 上的函数, 值域,有界点集对于平面点集 E, 若,此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.,注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域,有界, 由聚点定理 ,由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一,显然不符合它为闭域的定义.,单位圆域 , 值域为区间 0, 1 ,4(有限覆盖定理) 设,图,16 7,则存在惟一的点,证,如图,16 7,所示,任取点列,从而有,由柯西准则知道存在,注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必图 16 ,任意取定,n,对任何正整数,p,有,再令,由于,D,n,是闭域,故必定是闭集,因此,D,n,的聚点必定属于,D,n,则得,最后证明,的惟一性,.,若还有,则由,任意取定 n, 对任何正整数 p, 有 再令由于 Dn,推论,对上述闭域套,Dn,注,把,D,n,改为闭集套时,上面的命题同样成立,.,定理,16.3(,聚点定理,),若,为有界无限点集,则,E,在,R,2,中至少有一个聚点,.,证,现用闭域套定理来证明,.,由于,E,有界,因此存,在一个闭正方形,.,如图,16 8,所示,把,D,1,分成四个相同的小正方形,则在其中至少有一小闭,正方形含有,E,中无限多个点,把它记为,D,2,.,再对,推论 对上述闭域套 Dn , 注 把 Dn,图,16 8,D,2,如上法分成四个更小,的正方形,其中又至少有,一个小闭正方形含有,E,的无限多个点,.,如此下去,得到一个闭正方形序列：,很显然,D,n,的边长随着,而趋于零,.,于是由,闭域套定理,存在一点,图 16 8 D2 如上法分成四个更小 的,最后,由区域套定理的推论,又由,D,n,的取法,知道,含有,E,的无限多,个点,这就证得了,M,0,是,E,的聚点,.,推论,任一,有界无限点列,必存在收敛子,定理,16.4(,有限覆盖定理,),设,为一有界闭域,为一族开域,它覆盖了,D,中必存在有限个开域,它们,同样覆盖了,D,即,(,证明可仿照,R,中的相应命题去进行,.,),列,最后, 由区域套定理的推论, 又由 Dn 的取法, 知道含,本定理的证明与,R,中的有限覆盖定理,(,定理,7.3 ),相仿,在此从略,.,注,将本定理中的,D,改设为有界闭集,而将,改,设为一族开集,此时定理结论依然成立,.,例,7,设,试证,E,为有界闭集的充要条件,是,:,E,的任一无穷子集,E,q,必有聚点,且聚点恒属,本定理的证明与 R 中的有限覆盖定理 ( 定理 7.3 ),证,(,必要性,),E,有界,有界,由聚点定理,必有聚点,.,又因,的聚点亦为,E,的聚点,而,E,是,闭集,所以该聚点必属于,E,(,充分性,),先证,E,为有界集,.,倘若,E,为无界集,则,存在各项互异的点列,易见,这个子集无聚点,这与已知条件相矛盾,.,再证,E,为闭集,.,为此设,P,0,为,E,的任一聚点,由聚,点的等价定义,存在各项互异的点列,使,证 (必要性) E 有界 有界, 由聚点定理 ,必有聚点,现把,看作,由条件 的聚点,(,即,),必,属,于,E,所以,E,为闭集,.,三、二元函数,函数,(,或映射,),是两个集合之间的一种确定的对,应关系,. R,到,R,的映射是一元函数, R,2,到,R,的映,射则是二元函数,.,现把 看作 , 由条件,定义,2,设平面点集,若按照某对应法则,f,D,中每一点,P,(,x,y,),都有惟一确定的实数,z,与之,对应,则称,f,为定义在,D,上的二元函数,(,或称,f,为,D,到,R,的一个映射,),记作,也记作,或点函数形式,定义2 设平面点集 , 若按照某对,与一元函数相类似,称,D,为,f,的定义域,;,而称,为,f,在点,P,的函数值,;,全体函数值的集合为,f,的,值域,记作,.,通常把,P,的坐标,x,与,y,称,为,f,的自变量,而把,z,称为因变量,.,当把,和它所对应的,一起组成,三维数组,(,x,y,z,),时,三维点集,便是二元函数,f,的图象,.,通常该图象是一空间曲,与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称,面,f,的定义域,D,是该曲面在,xOy,平面上的投影,.,例,8,函数,的图象是,R,3,中的一个平面,其定义域是,R,2,值域是,R .,例,9,的定义域是,xOy,平面上的,单位圆域,值域为区间, 0, 1 ,它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分,(,图,16 9 ).,例,10,是定义在,R,2,上的函数,它的图象是过,原点的双曲抛物面,(,图,16 10 ).,面, f 的定义域 D 是该曲面在 xOy 平面上的投影,图,16 9,图,16 10,图,16 11,图16 9 图16 10 图16 11,例,11,是,定义在,R,2,上的函数,值域,是全体非负整数,它的图象示于图,16 11.,若二元函数的值域 是有界数集,则称函数,在,D,上为一有界函数,(,如例,9,中的函数,) .,否则,若,是无界数集,则称函数,在,D,上为一无界,函数,(,如例,8,、,10,、,11,中的函数,).,与一元函数类似地,设,则有,例11 是,例,12,设函数,(,此函数在以后还有特殊用处,),试用等高线法讨论曲面,的形状,.,解,用,为一系列常数,),去截曲面,得等高线方程,例12 设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处 ) 试用,当,时,得,平面上的四条直线,当,时,由等高线的直角坐标方程难以看出它,的形状,.,若把它化为极坐标方程,即令,得到,如图,16 12,所示,为,所对应的一,族等高线,.,当 时, 得 平面上的四条直线,图,16 12,图 16 12,图,16 13,由此便可想象曲面的大致形状如图,16 13,所示,坐标原点是曲面的一个鞍点,四道 “山谷” 与四道,“,山脊” 在鞍,点处相汇,.,图 16 13由此便可想象曲面的大致形状如图 16 ,四、,n,元函数,所有,n,个有序实数组,的全体称为,n,维向量空间,简称,n,维空间,记作,R,n,.,其中每个有,序实数组,称为,R,n,中的一个点,;,n,个,实数,是这个点的坐标,.,设,E,为,R,n,中的点集,若有某个对应法则,f,使,E,中每一点,都有惟一的一个实数,y,与之对应,则称,f,为定义在,E,上的,n,元函数,记作,四、n 元函数所有 n 个有序实数组 的全,身体健康，学习进步！,身体健康，学习进步！,