微积分模型-水塔供水

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5讲 微积分模型,水塔流量的估计,轮船搁浅问题,本 讲 内 容,一、问题的提出,二、问题的分析,三、模型假设,四、估计流量,五、算法设计与编程,六、计算结果,七、分析与改进,问题一,水塔流量的估计,一、问题的提出,某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约,2h(,小时,)。,12.2m,17.4m,10.8m,8.2m,水塔是一个高为,12.2m,直径为,17.4m,是正圆柱,。,按照设计,水塔水位降至约,8.2m,时,水泵自动启动,水位升到约为,10.8m,时水泵停止工作,。,表1是某一天的水位测量记录(符号“/”表示水泵启动)，,试估计,任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的,水流量,及,一天的总用水量,。,时刻,0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,水位,968,948,931,913,898,881,896,852,839,822,时刻,9.98,10.92,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,水位,/,/,1082,1050,1021,994,965,941,918,892,时刻,19.04,19.96,20.84,22.01,22.96,23.88,24.99,25.91,水位,866,843,822,/,/,1059,1035,1011,表1:水位测量记录（时刻：h，水位：cm）,二、问题的分析,流量,是单位时间流出的水的体积,，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是,如何估计水泵供水时段的流量,。,水泵供水时段的流量,只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。,这些流量大体可由,两种方法计算,:,一是,直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。,二是,先用表中数据拟合,水位时间函数,，求导数即可得到连续时间的流量。,有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。,一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。,下面我们用第二种方法处理。,其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从,t=0,到,t=8.97,(h)水位下降了,968 822=146(cm)，,乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。,三、,模型假设,1.,流量只取决于水位差，与水位本身无关,。按照,Torricelli(,托里切利,1608-1647,意大利数学家、物理学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是,8.2m,和,10.8m(,设出口的水位为零),因为,所以可忽略水位对速度的影响,。,2.,水泵第,1,次供水时段为,t=9,到,t=11(h),第,2,次供水时段为,t=20.8,到,t=23(h)。,这是根据最低和最高水位分别是,8.2m,和,10.8m,及表,1,的水位测量记录作出的假设,。,其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。,时刻,0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,水位,968,948,931,913,898,881,896,852,839,822,时刻,9.98,10.92,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,水位,/,/,1082,1050,1021,994,965,941,918,892,时刻,19.04,19.96,20.84,22.01,22.96,23.88,24.99,25.91,水位,866,843,822,/,/,1059,1035,1011,3.水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。,4.流量是对时间的连续函数。,5.流量与水泵是否工作无关。,6.由于水塔截面积是常数,S=(17.4/2),2,=237.8m,2,为简单起见，计算中,将流量定义为单位时间流出的水的高度,，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），,最后给出结果时再乘以S即可,。,即：水位是时间的连续函数,h=h(t),水位对时间的变化率(,流量,),任何时刻的流量：,v(t)=-h,(t)S,四、估计流量,1.拟合水位时间函数,从表1 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称,第1供水时段,和,第2供水时段,）和3个水泵不工作时段(以下称,第1用水时段,t=0到t=8.97，,第2用水时段,t=10.95到t=20.48和第3用水时段t=23以后)。,对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数 h,1,=h,1,(t)和h,2,=h,2,(t)。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用36次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。,2.确定流量时间函数,对于第1、2用水时段，只需将水位函数h,i,=h,i,(t),i=1,2 求导数即可，,对于两个供水时段的流量，,则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到,，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，,需要拟合四个流量函数。,3.一天总用水量的估计,总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到,。,t=0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97,9.98,10.92,10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93,19.04 19.96 20.84,22.01 22.96,23.88 24.99 25.91,;,五、算法设计与编程,1.拟合第1用水时段0,9 的水位、流量,设t、h为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻不输入):,h=968 948 931 913 898 881 869 852 839 822,0 0,1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822,0 0,1059 1035 1018,;,10,13,23,26,28,第1用水时段各时刻的流量可由如下程序代码得到：,c1,=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);,%用3次多项式拟合第1用水时段,水位h,1,=h,1,(t),，c1输出3次多项式的系数,a1,=polyder(c1);,%,a1,输出多项式（系数为,c1,）导数的系数，,x1,=-polyval(,a1,t,(1:10);,%给出水位变化率h,1,=h,1,(t)在,t(1)-t(10)上的离散值，即流量,tp1=0:0.1:9;,%将第一用水时段0,9细分,x11,=-polyval(,a1,tp1);,%x11输出多项式,a1,在tp1点的函数值(取负后边为正值)，即tp1时刻的流量(,水位下降的速率,)。,t,i,0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,h,1,22.11,19.81,17.91,16.14,15.12,14.42,14.28,14.64,15.38,16.69,用程序shuitagongshui1.m进行计算，求得在0，9内,各时刻的流量值(,水位变化率,)如下表：,第一用水时段流量(水位变化率)曲线图。,2.拟合第2用水时段11,20.8的水位、流量,c2,=polyfit(t(13:23),h(13:23),3);,%用3次多项式拟合第2用水时段水位,水位h,2,=h,2,(t),，c2输出3次多项式的系数,a2,=polyder(,c2,);,%,a1,输出多项式（系数为,c2,）导数的系数,给出水位变化率h,2,=h,2,(t),tp2=11:0.1:20.8;,%将第二用水时段11,20.8细分,x2,=-polyval(,a2,tp2);,%,x2,输出多项式（,a2,）在tp2点的函数值(取负后边为正 值)，即tp2时刻的流量(,水位下降的速率,)。,t,i,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,19.04,19.96,20.84,h,1,20.61,23.52,26.43,29.79,34.28,38.47,43.12,49.14,55.79,61.75,67.81,用程序shuitagongshui2.m进行计算，求得在11,20.8内,各时刻的流量值(,水位变化率,)如下表：,第二用水时段流量(水位变化率)曲线图。,3.拟合第1供水时段9，11的流量,在第1供水时段（t=911）之前（即第1用水时段）和之后（第2用水时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量。为使流量函数在t=9 和t=11连续我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下：,xx1=-polyval(a1,8 9,%取第1时段在t=8,9的流量,xx2=-polyval(a2,11 12),%取第2时段在t=11,12的流量,xx12=xx1 xx2;,%将四个点合并,c12=polyfit(8 9 11 12,xx12,3);,%拟合3次多项式,tp12=9:0.1:11;,%将第一供水时段11,20.8细分,x12=polyval(c12,tp12);,%x12输出第一供水时段各时刻,的流量,用程序shuitagongshui3.m进行计算，求得在9,11内,各时刻的流量值(,水位变化率,)如下表：,t,i,9,11,h,1,16.738,31.298,第一供水时段流量(水位变化率)曲线图。,4.拟合第2供水时段20.8,24的流量,在第2供水时段之前取t=20,20.8两点的水流量，在该时刻之后（第3用水时段）仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下：,dt3=diff(t(26:28);,%最后3个时刻之后的两两之差,dh3=diff(h(26:28);,%最后3个水位的两两之差,dht3=-dh3./dt3;,%t(22)和t(23)的流量（,差商代替微商,）,t3=20 20.8 t(26)t(27)；,%取第二供水时段前后各两点,xx3=-polyval(a2,t3(1:2),dht3;,%求得t3各时刻的流量,c3=polyfit(t3,xx3,3);,%拟合3次多项式,tp3=20.8:0.1:24；,%将第二供水时段和第三用水时段细分,x3=polyval(c3,tp3);,%x3输出第2供水时段及第三用水,时刻的流量,用程序shuitagongshui4.m进行计算，求得在20.8,24内,各时刻的流量值(,水位变化率,)如下表：,t,i,22.01,22.96,23.88,24.99,25.91,h,1,25.574,23.937,21.622,18.478,16.08,第2供水时段和第三用水时段的流量(水位变化率)曲线图。,4.一天总用水量的估计,第1、2用水时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析的算出，这里仍用数值积分计算。,(1).第一用水时段的用水量