线性方程组有解的判定定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、线性方程组有解的判定条件,问题：,证,必要性,.,(,),n,D,n,A,n,A,R,阶非零子式,中应有一个,则在,设,=,(,),根据克拉默定理,个方程只有零解,所对应的,n,D,n,从而,这与原方程组有非零解相矛盾，,(,),.,n,A,R,即,充分性,.,(,),n,r,A,R,=,设,.,个自由未知量,从而知其有,r,n,-,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,即可得方程组的一个非零解,.,证,必要性,有解,设方程组,b,Ax,=,(,),(,),B,R,A,R,设,则,B,的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,这与方程组有解相矛盾,.,(,),(,),.,B,R,A,R,=,因此,并令 个自由未知量全取,0,，,r,n,-,即可得方程组的一个解,充分性,.,(,),(,),B,R,A,R,=,设,(,),(,),(,),n,r,r,B,R,A,R,=,=,设,证毕,其余 个作为自由未知量,把这,行的第一个非零元所对应的未知量作为,非自由未知量,小结,有唯一解,b,Ax,=,(,),(,),n,B,R,A,R,=,=,(,),(,),n,B,R,A,R,=,有无穷多解,.,b,Ax,=,齐次线性方程组,：系数矩阵化成行阶梯形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：,增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，便可写出其通解；,例,1,求解齐次线性方程组,解,二、线性方程组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例,求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵,B,进行初等变换，,故方程组无解,例,求解非齐次方程组的通解,解,对增广矩阵,B,进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例,解证,对增广矩阵,B,进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例,设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,(,),(,),n,B,R,A,R,=,=,(,),(,),n,B,R,A,R,=,有无穷多解,.,b,Ax,=,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,三、小结,思考题,思考题解答,解,故原方程组的通解为,