工程力学-第7章作业题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,TSINGHUA UNIVERSITY,第二篇 材料力学,工程力学,第二篇 材料力学工程力学,1,第,7,章 梁的强度计算,第二篇 材料力学,工程力学,第7章 梁的强度计算第二篇 材料力学工程力学,2,工程力学-第7章作业题课件,3,工程力学-第7章作业题课件,4,杆件承受,垂直于其轴线的外力,或,位于其轴线所在平面内的力偶作用,时，,其,轴线将弯曲成曲线,。,这种受力与变形形式称为,弯曲,。,主要承受,弯曲的杆件,称为,梁,。,第,7,章 梁的强度计算,杆件承受垂直于其轴线的外力第7章,5,第,7,章 梁的强度计算,根据内力分析的结果，梁弯曲时，,将在弯矩最大的横截面处发生失效,。,这种最容易发生失效的截面称为“,危险截面,”。,但是，,危险截面的哪一点最先发生失效,？,怎样才能保证梁不发生失效？,这些就是,本章所要讨论的问题,。,第7章 梁的强度计算 根据内力分析的,6,第,7,章 梁的强度计算,要知道横截面上,哪一点最先发生失效,，必须知道横,截面上的应力是怎样分布的,。,第,5,章,中已经分析了梁,承受弯曲时横截面上将有剪力和弯矩,两个内力分量。,第7章 梁的强度计算 要知道横截面上哪一点最,7,第,7,章 梁的强度计算,与这两个内力分量相对应，横截面上将,有连续分布的剪应力和正应力,。,第,5,章中所介绍的是,应用平衡原理与平衡方法,，,确定梁的横截面上的剪力和弯矩,。,但是，剪力和弯矩只是横截面上分布剪应力与正应力的简化结果。,怎样确定梁的横截面上的应力分布？,第7章 梁的强度计算 与这两个内力分量相对,8,第,7,章 梁的强度计算,应力是不可见的，而变形却是可见的，而且,应力与应变存在一定的关系,。,因此，为了确定,应力分布,，,必须分析和研究,梁的变形,，,必须研究材料,应力与应变之间的关系,，,即必须涉及,变形协调,与,应力应变关系,两个重要方面。,二者与,平衡原理,一起组成分析弹性杆件应力分布的基本方法,。,第7章 梁的强度计算 应力是不可见的，而变,9,第,7,章 梁的强度计算,绝大多数,细长梁的失效,，主要,与正应力有关,，剪应力的影响是次要的。,本章将主要确定,梁横截面上正应力,以及,与正应力有关的强度问题,。,第7章 梁的强度计算 绝大多数细长梁的失效，,10, 7.1,工程中的弯曲构件, 7.2,与应力分析相关的截面图形几何性质, 7.3,平面弯曲,时梁横截面上,的正应力, 7.4,平面弯曲正应力公式应用举例,7.8,结论与讨论, 7.5,梁的强度计算, 7.6,斜弯曲, 7.7,弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第,7,章 梁的强度计算,返回总目录, 7.1工程中的弯曲构件 7.2与应力分析相关的截面,11,A:,与应力分析相关的截面图形几何性质,B:,平面弯曲,时梁横截面上,的正应力,C:,梁的强度计算,D:,弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第,7,章 梁的强度计算,返回总目录,重点内容,A:与应力分析相关的截面图形几何性质第7章 梁的强度计算返回,12,返回, 7.1,工程中的弯曲构件,第,7,章 梁的强度计算,返回总目录,返回 7.1工程中的弯曲构件第7章 梁的强度计算返回总目,13, 7.1,工程中的弯曲构件,工程中可以看作梁的杆件是很多的,:,桥式吊车的大梁可以简化为,两端铰支的简支梁,。,在,起吊重量,(,集中力,F,P,),及,大梁自身重量,(,均布载荷,q,),的作用下,大梁将发生,弯曲,。, 7.1 工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:,14, 7.1,工程中的弯曲构件,工程中可以看作梁的杆件是很多的,:,石油、化工设备中各种,直立式反应塔,，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为,一端固定的悬臂梁,。在,风力载荷,作用下，反应塔将发生,弯曲变形,。, 7.1工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:,15, 7.1,工程中的弯曲构件,工程中可以看作梁的杆件是很多的,:,火车轮轴支撑在铁轨上，,铁轨对车轮的约束,，可以看作,铰链支座,，因此，火车轮轴可以简化为,两端外伸梁,。由于,轴自身重量,与,车厢以及车厢内装载的人货物的重量相比,要小得多，可以忽略不计，因此，,火车轮轴将发生弯曲变形,。, 7.1 工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:,16,工程力学-第7章作业题课件,17,返回, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,第,7,章 梁的强度计算,返回总目录,返回 7.2与应力分析相关的截面第7章 梁的强度计算返回总,18,讨论,拉伸和压缩,杆件横截面上应力时，根据拉伸和压缩时,均匀变形,的特点，推知,杆件横截面上的正应力均匀分布,，从而得到正应力表达式,:,其中,A,为杆件的横截面面积。, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质, 讨论拉伸和压缩杆件横截面上应力时，根据拉伸和压缩时,19,F,P1,F,P2,y,x,z,正应力与轴力、弯矩之间的关系,d,A,x,M,y,F,N,x,M,z, 4.4.2,正应力、剪应力与内力分量之间的关系, 4.4,杆件横截面上的应力,FP1FP2yxz正应力与轴力、弯矩之间的关系dAxMyF,20,F,P1,F,P2,y,x,z,d,A,xy,xz,M,x,F,Qy,F,Qz,剪应力与扭矩、剪力之间的关系, 4.4.2,正应力、剪应力与内力分量之间的关系, 4.4,杆件横截面上的应力,FP1FP2yxzdAxyxzMxFQyFQz剪应力与扭,21,静力方程,提供信息,:,内力和哪些应力关联,相依关系的量化,静力方程提供信息:内力和哪些应力关联相依关系的量化,22,当杆件横截面上，除了,轴力,以外还存在,弯矩,时，其上之,应力不再是均匀分布,的，这时得到的,应力表达式,，仍然与横截面上的,内力分量,以及,横截面的几何量,有关。,但是，这时的,几何量,将,不再是横截面的面积,，而是,其它形式,。,7.2,与应力分析相关的截面图形几何性质,当杆件横截面上，除了轴力以外还存在弯矩时，其上之应力不,23,不同的分布内力系，组成不同的内力分量,时，将产生,不同的几何量,。这些,几何量,不仅,与截面的大小,有关，而且与,截面的几何形状,有关。,F,N,M,z, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,惯性矩, 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何,24,研究杆件的,应力与变形,，研究,失效问题,以及,强度、刚度、稳定问题,，都要涉及到,与,截面图形的,几何形状,和,尺寸,有关的量,。,这些量统称为,几何量,。,包括：,形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质, 研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳,25,重心,-,形心,-,质心,重心,是物体重力的合力作用点。,形心,是物体几何形状的中心。,质心,是反映质点系质量分布情况的一个几何点,。,均质物体的,重心,与几何中心,形心,重合,。,非均质物体的,重心,与,形心,一般是,不重合,的。,均质刚体的,质心,和,形心,的位置是,重合,的,三心,重心-形心-质心重心是物体重力的合力作用点。三心,26,质心和重心是两个不同的概念,重心是地球对物体作用的平行引力的合力（物体重力）的作用点，它只在重力场中才有意义，,一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；,而,质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，,无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。,在,重力场,中，物体的,重心,和,质心,的位置是重合的,质心和重心是两个不同的概念 重心是地球对物体作用的平行,27,7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质, 7.2.1,静矩、形心及其相互关系, 7.2.2,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 7.2.3,惯性矩与惯性积的移轴定理, 7.2.4,惯性矩与惯性积的转轴定理, 7.2.5,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩,7.2与应力分析相关的截面 7.2.1静矩、形心及其相互,28, 7.2.1,静矩、形心及其相互关系,7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质, 7.2.1静矩、形心及其相互关系 7.2 与应力分析相,29,z,y,O,d,A,y,z,图形对于,y,轴的静矩,(,一次矩,),图形对于,z,轴的静矩, 7.2.1,静矩、形心及其相互关系, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,定义,:,(,一次矩,),静矩的单位,:m,3,对于任意平面几何图形，在其上面取,面积微元,dA,建立坐标系：,zyOdAyz图形对于 y 轴的静矩(一次矩)图形对于 z,30,图形几何形状的中心,:,形心,.,若将,面积,看做,垂直于图形平面的力,则,形心,为,合力的作用点,.,z,y,O,d,A,y,z,分力之矩之和,合力之矩定理, 7.2.1,静矩、形心及其相互关系, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,如果,dA,视为垂直于图形面积的,力,则,ydA,和,zdA,分别为,dA,对于,z,和,y,轴的力矩,分别为,A,对,z,轴和,y,轴之矩,.,A,z,y,O,z,C,C,y,C,形心,形心坐标,图形几何形状的中心:形心. zyOdAyz分力之矩之和合力之,31,静矩与形心坐标,之间的关系,已知静矩可以确定图形的形心坐标,已知图形的形心坐标可以确定静矩, 7.2.1,静矩、形心及其相互关系, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,形心坐标,静矩与形心坐标之间的关系 已知静矩可以确定图形的形心坐标,32, 7.2.1,静矩、形心及其相互关系, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,静矩,与,坐标轴,有关，,同一平面图形,对于,不同的坐标轴,有,不同的静矩,。,对,某些坐标轴静矩,为,正,； 对另外一些坐标轴静矩则,可能为负,；,对于通过,形心的坐标轴,，,图形对其静矩等于零,。,若图形对,某坐标轴的静矩等于零,则,该轴必须通 过形心,。,如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；,反之，,如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。, 7.2.1静矩、形心及其相互关系 7.2与应力分析相,33, 7.2.1,静矩、形心及其相互关系, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,实际计算中，,对于简单的、规则的图形,，其,形心位置可以直接判断,，,例如：,矩形、正方形、圆形、正三角形,等的形心位置是显而易见的。,对于,组合图形,，则先将其分解为,若干个简单图形,（可以,直接确定形心位置,的图,形,）；,然后,分别计算,它们对于,给定坐标轴,的,静矩,，并求其,代数和,。, 7.2.1静矩、形心及其相互关系 7.2与应力分析相,34,对于组合图形, 7.2.1,静矩、形心及其相互关系, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,图形,各组成部分,对,某一轴的静矩的代数和,等于整个图形对同一轴的静矩,.,组合图形,形心位置,对于组合图形 7.2.1静矩、形心及其相互关系 7.2,35,例,1,试确定下图的形心。,解 ： 组合图形，用正负面积法解之。,1.,用,正面积法,求解，图形分割及坐标如图,(,a,),80,120,10,10,x,y,C,2,图,(,a,),C,1,C,1,(0,0),C,2,(-35,60),例1 试确定下图的形心。解 ： 组合图形，用正负面积法解之。,36,2.,用负面积法求解，图形分割及坐标如图,(,b,),图,(,b,),C,1,（,0,0,）,C,2,（,5,5,）,C,2,负面积,C,1,x,y,70,110,120,80,2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,37,例,3,求图示半径为,r,的半圆形对其直径轴,x,的静矩及其形心坐标,y,C,。,O,C,r,x,y,dA,y,C,y,dy,解：过圆心,O,作与,x,轴垂直的,y,轴，在距,x,任意高度,y,处取一个与,x,轴平行的窄条，,所以,由于对称知：,x,C,=0,例3 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩,38,解：将此图形分别为,I,、,II,、,III,三部分，,以图形的铅垂对称轴为,y,轴，,过,II,、,III,的形心且与,y,轴垂直的轴线取为,x,轴，则,例,4,求图示图形的形心。,150,y,C,x,O,x,1,y,1,200,10,y,C,300,I,II,III,10,由于对称知：,x,C,=0,解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形,39, 7.2.2,惯性矩、极惯性矩、惯性积、,惯性半径, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质, 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、 7.2与应力分,40,图形对,y,轴的惯性矩,(,二次轴矩,),图形对,z,轴的惯性矩,(,二次轴矩,),图形对,y z,轴的,惯性积,图形对,O,点的,极惯性矩,z,y,O,d,A,y,z,r,A, 7.2.2,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,定义,(,二次极矩,),图形对 y 轴的惯性矩(二次轴矩)图形对 z轴的惯性矩(,41,图形对,y,轴的,惯性半径,z,y,O,d,A,y,z, 7.2.2,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,定义,图形对,z,轴的,惯性半径,图形对 y 轴的惯性半径zyOdAyz 7.2.2惯性矩,42,0,0,0,0,0,z,y,O,d,A,y,z, 7.2.2,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,当整个图形在第一象限内：,y0,z0,当整个图形在第二象限内：,y0,z0,I,yz,0,I,yz,0,y,z轴如何取, 可使Iyz=0轴对称图形y轴为对称轴yzI,45,已知：,圆截面直径,d,求：,I,y,，,I,z,，,I,P,C,y,z, 7.2.2,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径,d,r,d,r,d,A,例 题,1,解：,取圆环微元面积, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,重点掌握,已知：圆截面直径dCyz 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性,46,已知：,矩形截面,b,h,求：,I,y,，,I,z,b,h,z,d,z,d,A,y,d,y,d,A, 7.2.2,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径,解：,取平行于,x,轴和,y,轴的微元面积,例 题,2, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,重点掌握,C,y,z,已知：矩形截面b hbhzdzdAydydA 7.2.2,47,证明坐标系的,两个坐标轴,中只要,有一个,为,图形的对称轴,，则图形对这,一坐标系,的,惯性积为零,z,y,C,d,A,d,A,y,y,z,-z,对称轴,I,yz,0,I,yz,0,I,yz,0,当图形有一根对称轴时，,对称轴,及,与之垂直的任意轴,即为过二者交点的主轴,.,又因为,C,为形心,所以,y,z,轴为形心主轴,。,注意特别,有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIyz= (,82,例 题,10,已知：图形尺寸如图所示。,求：图形的形心主矩,50,270,30,300, 7.2.5,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,例 题 10 已知：图形尺寸如图所示。502703,83,解 ：,1,将所给图形分解为简单图形的组合,C,1,C,2,50,270,30,300, 7.2.5,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩,例题,3, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,解 ：1将所给图形分解为简单图形的组合 C1C2502,84,C,1,C,2,2.,建立初始坐标，确定形心位置,y,z,y,C,150,50,270,30,300,C, 7.2.5,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩,例题,3, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,C1C22.建立初始坐标，确定形心位置 yzyC1505,85,I,y,0,=,I,y,0,()+,I,y,0,(II),90,C,1,C,2,C,y,z,150,60,3.,确定形心主惯性矩,y,0,z,0, 7.2.5,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩,例题,3, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,主轴（,惯性积等于零,）,(,对称轴,),形心主轴（,主轴过形心,）,Iy0=Iy0()+Iy0(II) 90C1C2Cyz,86,I,z,0,=,I,z,0,()+,I,z,0,(),3.,确定形心主惯性矩,90,C,1,C,2,C,y,z,150,60,y,0,z,0, 7.2.5,主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩,例题,3, 7.2,与应力分析相关的截面,图形几何性质,Iz0=Iz0()+Iz0() 3. 确定形心主惯性矩,87,例,I,-11,求图示,T,型截面对形心轴的惯性矩。,5,30,5,30,例I-11 求图示T型截面对形心轴的惯性矩。530530,88,30,30,5,5,C,C,2,C,1,y,2,2,1,y,1,z,C1,z,C2,求,T,形截面对形心轴的惯性矩,先求形心的位置：,取参考坐标系如图，则：,再求截面对形心轴的惯性矩,：,y,C,z,y,C,z,C,303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形,89,例,12,在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。,(,b,=1.5,d,),解：,建立坐标系如图。,求形心位置。,建立形心坐标系；求：,I,yC,，,I,xC,，,I,xCy,d,b,2,d,x,y,O,x,C,y,C,x,1,例12 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b,90,d,b,2,d,x,y,O,x,C,y,C,x,1,db2dxyOxCyCx1,91,120,10,10,10,70,例,I-13,计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩,I,II,I,III,C,x,y,y,0,x,0,a,0,图形的对称中心,C,为形心，在,C,点建立坐标系,xCy,如图,将整个图形分成,I,、,II,、,III,三个矩形，如图,整个图形对,x,、,y,轴的惯性矩和惯性积分别为,形心主惯,性矩大小,12010101070例I-13 计算图示截面的形心主轴和,92,d,y,z,h,z,b,y,I,xy,=0,I,xy,=0,I,xy,=0,重点掌握,dyzhzbyIxy=0Ixy=0Ixy=0重点掌握,93,A:,对于通过,形心的坐标轴,，,图形对其静矩等于零,。,若图形对,某坐标轴的静矩等于零,则,该轴必须通过形心,。,B:,坐标系的,两个坐标轴,中只要,有一个,为,图形的对称轴,，则图形对这,一坐标系,的,惯性积为零,C:,过一点存在这样一对坐标轴，,图形对于其惯性积等于零,，这样一对坐标轴,-,主轴,。,图形对与,主轴,的惯性矩为,主轴惯性矩（主惯性矩）,重点理解,A:B:C: 重点理解,94,E,这里所说的,平面图形,是杆件的,横截面,，则截面的,形心主惯性轴,与,杆件轴线,所确定的,平面,，称为,形心主惯性平面,。,F,截面对于对称轴的惯性积,等于,零,，,截面形心,又必然在,对称轴,上，所以截面的,对称轴,就是,形心主轴,。,D,对于,任意一点,（图形内或图形外）都有,主轴,，而通过,形心的主轴,称为,形心主轴,，图形对,形心主轴,的惯性矩,I,y,I,x,称为,形心主惯性矩,，简称,形心主矩,。,重点理解,E D 重点理解,95,简单总结,形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。,主惯性矩,形心主惯性矩,移轴定理,转轴定理,主轴,形心主轴,简单总结 形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极,96,