拉格朗日方程的第一积分课件

,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,单击此处编辑母版标题样式,第二类拉格朗日方程及其应用,第8章,第2节,拉格朗日方程的第一积分,第2节拉格朗日方程的第一积分,1,对于定常约束,T,0,=0;,T,1,=0,动能的结构,对于定常约束动能的结构,由于主动力有势：,如果系统,主动力皆有势,，且拉格朗日函数,L,不显含时间,t,：,广义能量积分,，或,广义能量守恒,广义能量积分,由于主动力有势：如果系统主动力皆有势，且拉格朗日函数L不显含,欧拉齐次式定理：,拉格朗日函数可写为：,对于定常约束，有 ，故,机械能守恒仅是广义能量守恒的特殊情形。,广义能量积分,欧拉齐次式定理：拉格朗日函数可写为：对于定常约束，有,如系统中,主动力皆有势,，且拉格朗日函数,L,不显含某广义坐标,q,j,：,刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?,V,与广义速度无关,循环积分,p,j,广义动量,循环积分,如系统中主动力皆有势，且拉格朗日函数L不显含某广义坐标qj：,请思考,本题中是否存在循环积分和广义能量积分？为什么？,请思考本题中是否存在循环积分和广义能量积分？为什么？,例6 椭圆摆,例6,例6 解,取,x,和,为广义坐标,a,).,x,为循环坐标，存在循环积分,水平方向动量守恒,b,).,L,不显含,t,，存在广义能量积分,将以上结果与拉氏方程比较：,首次积分就是微分方程积分一次的结果！,机械能守恒,例6,试分析第一积分。,O,x,C,例7,试分析第一积分。OxC例7,例7 解,系统的拉格朗日函数为:,广义能量积分为,与循环坐标,x,相对应的循环积分为,例7,小车的车轮在水平地面上作纯滚动，每个轮子的质量为,m,1,，半径为,r,，车架质量不计。车上有一质量弹簧系统，弹簧刚度系数为,k,，物块质量为,m,2,。试分析拉格朗日方程的首次积分。,例8,小车的车轮在水平地面上作纯滚动，每个轮子的质量为m1，半径为,选取,x,和,x,r,为广义坐标。,广义能量积分为,循环积分为,讨论：广义动量守恒，但动量不守恒。,例8 解,选取x和xr为广义坐标。广义能量积分为循环积分为讨论：广义动,半径为,R,的圆环以角速度,匀速转动，质量为,m,的小环可在圆环上自由滑动，如下图所示。已知圆环对,y,轴的转动惯量为,J,，忽略摩擦力。试分析系统的第一积分。,例9,半径为R的圆环以角速度 匀速转动，质量为m的小环可在圆环上,取,为广义坐标。,例9 解,取为广义坐标。例9,1.匀速转动约束为理想约束,2.广义能量守恒，但机械能不守恒,3.无外力矩作用情况,系统动量矩守恒,a,).,为循环坐标，存在循环积分,b,).,L,不显含,t,，存在能量积分(,系统能量守恒,),例9 讨论,1.匀速转动约束为理想约束系统动量矩守恒a).为循环坐,例10 二滑块相对滑动问题,分析拉格朗日方程的首次积分,例10 二滑块相对滑,例10 解,a,.广义能量积分,T,+,V,=,const,b,.对,x,的循环积分,系统机械能守恒,系统水平方向动量守恒,c,.联立求解得 和 ，再积分后既得系统运动规律,系统的拉格朗日函数为:,例10,T H E E N D,返回,T H E E N D返回,