第三节幂级数45570ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 幂级数,一、函数项级数的一般概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,第三节 幂级数一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性,1,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,设,是定义在,上的函数列,则,称为定义在区间,上的,(函数项)无穷级数,.,一、函数项级数的一般概念1.定义:设是定义在上的函数列,则称,2,2,.收敛点与收敛域,如果,数项级数,收敛,则称,为函数项级数,的,收敛点,（发散点）,.,函数项级数,的所有收敛点的全体,称为,收敛域,.,所有发散点的全体称为,发散域,.,注意,函数项级数在某点,x,的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,(发散)，,2.收敛点与收敛域如果,数项级数收敛则称为函数项级数的收敛点,3,（函数项级数的部分和）,余项,当,x,在收敛域上时，,3.和函数,(定义域是收敛域),在收敛域上,函数项级数的和是,的函数,称,为函数项级数的,和函数,.,（函数项级数的部分和）余项当x在收敛域上时，3.和函数(定义,4,二、幂级数及其收敛性,1.定义,形如,的级数称为,幂级数,.,其中,为幂级数系数.,例如,二、幂级数及其收敛性1.定义形如的级数称为幂级数.其中为幂级,5,2.收敛性,这种情况具有普遍性吗？,（公比为,x,的几何级数）,幂级数在,x,=0处必收敛.,收敛域,发散域,发散域,例,2.收敛性这种情况具有普遍性吗？（公比为x的几何级数）幂级数,6,定理1(Abel定理),如果级数,在,绝对收敛,;,在满足不等式,的一切,处,发散,.,如果级数,在,处,发散,则它,几何说明,收敛,发散,发散,处,收敛,的一切,则它在满足不等式,处,定理1(Abel定理)如果级数在 绝对收敛;在满足不等式的,7,证明,证明,8,由,(1),结论，,收敛,而有一点,适合,使级数收敛,则级数当,时应收敛,这与所设矛盾.,由(1)结论，收敛而有一点适合使级数收敛,则级数当时应收敛,9,几何说明,收敛域,发散域,发散域,总存在一个正数,R,，使幂级数在,收敛，在,内发散.,几何说明收敛域发散域发散域总存在一个正数R，使幂级数在收敛，,10,推论,当,时,幂级数可能收敛，,确定的正数,存在,它具有下列性质:,也不是在整个数轴上都收敛,如果,不是仅在,一点收敛,也可能发散.,当,时,幂级数绝对收敛;,当,时,幂级数发散;,则必有一个完全,推论当时,幂级数可能收敛，确定的正数存在,它具有下列性质:也,11,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,称为幂级数的,收敛区间,.,问题,如何求幂级数的收敛半径?,定义,收敛域：,或,或,或,正数R称为幂级数的收敛半径.称为幂级数的收敛区间.问题如何求,12,如果幂级数,的所有系数,定理2,设,(或,则,(1)当,时,(2)当,时,(3)当,时,收敛半径,规定,如果幂级数的所有系数定理2设 (或 则(1)当时,13,证明,证明,14,（1）由比值审敛法,(2)和(3)为规定.,（1）由比值审敛法,(2)和(3)为规定.,15,求下列幂级数的收敛区间和收敛域:,例1,求下列幂级数的收敛区间和收敛域:例1,16,解,该级数收敛.,该级数发散.,故收敛域是,因此收敛区间是,（收敛域,收敛区间收敛端点,）,解该级数收敛.该级数发散.故收敛域是因此收敛区间是（收敛域,17,级数只在,处收敛,收敛区间,级数只在处收敛,收敛区间,18,发散,；,收敛,故收敛域为(0,1.,发散；收敛,故收敛域为(0,1.,19,解,缺少偶次幂的项,不可直接用公式,例2,的收敛区间.,级数收敛，,级数发散,故收敛区间,求幂级数,由比值法，,解缺少偶次幂的项例2的收敛区间.级数收敛，级数发散,故收敛区,20,三、幂级数的运算,1.代数运算性质,(1)加减法,(其中,三、幂级数的运算1.代数运算性质(1)加减法(其中,21,(2)乘法,(其中,柯西乘积,(2)乘法(其中柯西乘积,22,(3)除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),系数,c,n,按乘法的定义求.,(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),23,2.和函数的分析运算性质:,幂级数,的和函数,在收敛域上,连续,.,(2)幂级数,的和函数,在收敛域上,可积,并可逐项积分.,2.和函数的分析运算性质:幂级数的和函数在收敛域上连续.(2,24,（3）幂级数,的和函数,在收敛,内可导,并可逐项求导任意次.,区间,（3）幂级数的和函数在收敛内可导,并可逐项求导任意次.区间,25,先求收敛域.由,得收敛半径,解,求级数,的和函数.,例3,收敛域为,先求收敛域.由得收敛半径解求级数的和函数.例3收敛域为,26,两边积分得,设,两边积分得设,27,解,收敛区间(-1,1),例4,的和.,求,解收敛区间(-1,1),例4的和.求,28,常用已知和函数的幂级数,常用已知和函数的幂级数,29,小 结,2.幂级数的收敛性：,收敛半径,R,的求法,3.幂级数的运算：,分析运算性质,1.函数项级数的概念,4.,求幂级数的和函数,小 结2.幂级数的收敛性：收敛半径R的求法3.幂级数的运算,30,思 考 题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思 考 题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的,31,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,32,作 业,习题,11-3 p.215,1.(1);(3);(7);(8);2.(1);(3).,作 业习题11-3 p.2151.(1);(3);,33,练 习 题,练 习 题,34,第三节幂级数45570ppt课件,35,练习题答案,练习题答案,36,解,例4,求幂级数,的和函数.,解例4 求幂级数的和函数.,37,第三节幂级数45570ppt课件,38,