高考中的轨迹问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高考中的轨迹问题（1）,扬州一中 曹阳,求曲线的方程是解析几何的基本内容，常用方法有：定义法、待定系数法、直接法（直译法）、代入法、参数法，必须理解各种方法在什么情况下使用，,在解题时考虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序。,1、定义法及待定系数法,若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程。,例1、,已知线段 长为2，其端点 、分别在 轴、轴上滑动，试求 中点的轨迹方程。,例2、,已知直角坐标平面上点 和圆,，动点 到圆 的切线长与,的比等于常数 ，求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。,分析：运用求曲线方程的一般方法解决问题，其间步骤可适当简化。,解：设 ，,切点设为 ，则,，,即 ，,将 代入，有,整理得,当时 ，方程为 ，为一直线；,当时 ，方程为,，为一个圆。,点评：本例中的 是一待定的正常数，因此在说明曲线时，一定要展开必要的讨论。,2、直接法（直译法）,若动点轨迹的几何特征，可直接通过动点的坐标间的代数关系表示出来，这类轨迹的方程可用直接法（直译法）求解。,直接法求轨迹方程的五个步骤为：,（1）设点：建立适当的坐标系，用 表示曲线上任一点 的坐标；,（2）列式：写出适合条件 的点 的集合,；,（3）代换：用坐标表示 ，列出方程,；,（5）证明：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。,（4）化简：化方程 为最简形式；,例3、一圆被两直线,x+2y=0，x-2y=0,截得的弦长分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程。,点评：本例中动点的几何特征并不是直接给定的，而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的。,3、相关点法（代入法、坐标代换法）,当互相联系着的两动点 、中的一个动点 在定曲线上运动时，求另一动点,的轨迹方程时，可用相关点法。,具体做法是：,建立用 表示 的式子，而后代入定曲线方程，可得 的轨迹方程。,例4、,已知直线 ，是直线 上的一个动点，过 作 轴和 轴的垂线，垂足分别为 ，,求把有向线段 分成的比 的动点 的轨迹方程。,解：设 ，则,分有向线段 所成的比,即 。,又 在直线 上,例5、已知 是圆 内的一点，、是圆上两动点，且满足 ，求矩形 的顶点 的轨迹方程。,点评：,在某些复杂的探求轨迹方程的问题中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。,例6、过定点 任作两条互相垂直的直线 ，且 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求线段 中点 的轨迹方程。,