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单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,引 言,虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，,是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束,的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚,位移原理求解比列平衡方程更方便。,虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍,方程，又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍,的方法。这些理论构成分析力学的基础。,17-1,约束及其分类,约 束,物体运动所受到的限制,1.,几何约束与运动约束,y,x,O,A,A,0,l,几何约束,在质点系中，所加的约束只能限,制各质点在空间的位置或质点系的,位形。,C,O,y,x,v,C,C,*,运动约束,在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。,O,y,x,A,x,B,y,B,x,A,y,A,B,v,A,2.,定常约束与非定常约束,定常约束,约束方程中不显含时间的约束：,定常约束,非定常约束,约束方程中显含时间的约束：,y,x,v,O,M,3.,单,面约束与双面约束,双面约束,约束方程可以写成等式的约束。,B,y,x,O,单面约束,约束方程不能写成等式、但是可以写成,不等式的约束。,B,y,x,O,4.,完整,约束与非完整约束,完整约束,约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。,C,O,y,x,v,C,C,*,圆轮所受约束为完整约束。,非完整约束,约束方程包含质点速度、且约束方程不,可以积分的约束。,约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。,O,y,x,A,x,B,y,B,x,A,y,A,v,A,B,17-2,广义坐标与自由度,y,x,O,l,A,(,x,y,),y,x,O,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),a,b,广义坐标,确定质点,系位形的独立参变量。,广义坐标,确定质点系位形的独立参变量。,用,q,1,，,q,2,，,表示。,自 由 度,在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变,量的数目等于系统的自由度数。,对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的,函数形式,N=,3,n,s,17-3,虚位移和理想约束,1.,虚 位 移,x,y,O,B,A,M,F,质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移,虚位移,（,1,）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；,（,2,）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；,（,3,）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；,（,4,）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。,虚位移与实位移的区别和联系,（,1,）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；,实位移,质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。,（,2,）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。,M,M,1,d,r,d,r,e,r,d,r,实位移,r,虚位移,2.,虚 功,质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功,虚功,。,W,=,F,r,3.,理想约束,质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。,W,=,M,F,N,i,r,i,=,0,17-4,虚位移原理,F,i,F,N,i,m,1,m,2,m,i,r,i,F,i,主动力,F,N,i,约束反力,r,i,虚位移,F,i,+F,N,i,=,0,F,i,r,i,+F,N,i,r,i,=,0,F,i,r,i,+,F,N,i,r,i,=,0,F,N,i,r,i,=,0,F,i,r,i,=,0,对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：,作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零,虚位移原理,F,i,r,i,=,0,上式称为虚位移原理的,解析表达式,应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：,（,1,）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；,（,2,）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。,曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度和,。不计机构自身重量，求平衡时主动力,F,A,和,F,B,的大小应满足的关系。,例 题,1,B,A,O,F,B,F,A,解：,以,r,A,和,r,B,分别代表主动力,F,A,和,F,B,作用点的虚位移，如图所示。,因,AB,是刚杆，两端位移在,AB,上的投影应相等，即,可见,A,，,B,两点的虚位移大小之比等于,由虚功方程有,从而解得,B,A,O,练习,已知：,OA=r,AB=l,不计各杆质量,。,求：,平衡时,F,与,M,间的关系。,解：,取系统为研究对象,F,i,r,i,=,0,由运动学关系可知：,M,F,根据虚位移原理有,C,B,A,D,M,例 题,2,已知：,菱形边长为,a,求：,物体,C,所受到的压力。,螺距为,h,，顶角为,2,，主动力偶为,M.,F,N,r,A,r,C,解：,(1),取系统为研究对象,(2),建立虚位移间的关系,x,y,解法二：,取建立图示坐标系,C,B,A,D,M,F,N,r,C,O,A,B,C,D,P,Q,例 题,3,图示操纵汽门的杠杆系统，,已知,OA/OB,=1/3,，求此系统平衡时主,动力,P,和,Q,间的关系。,r,B,r,A,解：,(1),取系统为研究对象,由运动学关系可知：,如图所示椭圆规机构，连杆,AB,长为,l,，杆重和滑道、铰链上的摩擦力均忽略不计。求在图示位置平衡时，主动力,F,A,和,F,B,之间的关系。,例 题,4,x,y,O,A,B,F,A,F,B,y,x,y,O,A,B,F,A,F,B,r,A,r,B,解,:,研究整个机构平衡，系统的约束为理想约束，取坐标轴如图所示。根据虚位移原理，可建立主动力,F,A,和,F,B,的虚功方程,由于,AB,杆不可伸缩，,AB,两点的虚位移在,AB,线上的投影应该相等，由图有,(a),(b),将式（,b,）代入式（,a,），解得,因,r,B,是任意的，因此得,杆,AB,作平面运动，,C,v,为其瞬心，由瞬心法可建立,B,，,A,两点的速度关系,y,x,y,O,A,B,F,A,F,B,r,A,r,B,C,v,为求虚位移间的关系，也可以用所谓的,“虚速度”,法。,给系统某个虚位移,r,A,，,r,B,，如图所示。这样,B,，,A,两点虚位移大小之比也就等于虚速度大小之比，即,这个方法中的速度也是虚设的，所以称为,虚速度法,。,因此有,同样解得,代入式,如图所示。忽略摩擦及各构件重量，求平衡时力偶矩,M,与水平拉力,F,之间关系。,例 题,5,分析,M,O,A,C,B,F,x,h,x,C,如图所示。忽略摩擦及各构件重量，求平衡时力偶矩,M,与水平拉力,F,之间关系。,例 题,5,解：由虚位移原理得,利用运动学关系分析可得,M,O,A,C,B,F,x,h,x,C,A,B,C,D,E,G,F,A,B,C,D,E,G,F,例 题,6,已知图所示结构，各杆都以光滑铰链连接，且有,AC=CE=BC=CD=DG=GE=l,。在点,G,作用一铅直方向的力,F,，求支座,B,的水平约束反力,F,Bx,。,此题可用虚位移原理来求解。用约束力,F,Bx,代替水平约束，并将,F,Bx,当作主动力。,分析,y,x,A,B,C,D,E,G,F,y,x,解：此题可用虚位移原理来求解。用约束力,F,Bx,代替水平约束，并将,F,Bx,当作主动力。,其变分为,因坐标,设,B,，,G,二点沿,x,，,y,的虚位移为,x,B,和,y,G,，根据虚位移原理，有,代入得,解得,A,B,C,D,E,G,F,y,x,如果此题在,G,，,C,二点之间再连上一根弹簧，弹簧刚度为,k,，且在图示瞬时弹簧已有伸长量 。此弹簧对,G,，,C,二点的拉力,F,G,，,F,C,为系统内力，如图所示。,A,B,C,D,E,G,F,y,x,s,其变分为,令,s=GC,，由图有,解得有弹簧时，,B,处的水平约束反力为,A,B,C,D,E,G,F,y,x,图示位置，弹簧有伸长量 ，则弹簧拉力为,F,C,=F,G,=F,CG,=k,。当,G,，,C,二点间有相对伸长的虚位移 时，弹簧力所作虚功为负。根据虚位移原理，,将下面这些值代入,如图所示为连续梁。载荷,F,1,=800 N,，,F,2,=600 N,，,F,3,=1000 N,，尺寸,a=2 m,，求固定端,A,的约束力。,a,a,a,a,a,a,a,A,B,C,D,E,F,G,H,例 题,7,先考虑求固定端的力偶,A,B,C,D,E,F,G,H,a,a,a,a,a,a,a,A,B,C,D,E,F,G,H,用几何法求各点的虚位移。由图可知：,解：,1.,为了求出固定端,A,的约束力偶,M,A,，可将固定端换成铰链，而把固定端的约束力偶视作为主动力。,设杆系的虚位移用广义坐标的独立变分表示 ，有,a,a,a,a,a,a,a,A,B,C,D,E,F,G,H,再考虑求固定端的竖向力,E,a,a,a,a,a,a,a,A,B,C,D,E,F,G,H,2.,为了求出固定端,A,的约束力,F,A,，应将,A,端约束换成铅直滚轮，而把固定端的铅直约束力,F,A,视作为主动力。,设杆系的虚位移用广义坐标的独立变分,y,A,表示,A,B,C,D,F,G,H,用几何法求各点的虚位移。因杆,AB,只能平动，故：,例 题,8,求图示连续梁的支座反力。,P,M,q,l,l,2,l,A,B,C,D,解：,(1),解除,D,处约束，,代之以反力,F,D,，并将,其视为主动力。,P,M,q,A,B,C,D,F,D,s,E,s,D,其中,解得,例 题,8,各杆的长度均为,l,，弹簧原长为,l,0,。求图示平衡位置时,P,、,Q,满足的关系。,A,B,C,P,Q,A,B,C,P,Q,解：用两个主动力代替弹簧的弹力，并建立如图所示的坐标系,x,y,列虚功方程,其中,所以,结论与讨论,1.,虚 位 移,质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移,虚位移,作用在质点上的力在虚位移上所做的功,虚功,2.,理想约束,质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为,理想约束。,F,i,r,i,=,0,具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零,虚位移原理,3.,虚位移原理,通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，,代之以约束反力，并将此约束反力当作主动力，可和其它主动,力一起应用虚位移原理求解。,（,1,）,通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；,（,2,）,建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。,5.,建立虚位移关系间的方法,4.,广义坐标与自由度,广义坐标,确定质点系位形的独立参变量。用,q,1,，,q,2,，,表示。,自 由 度,在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变,量的数目等于系统的自由度数。,
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